
- •Т е о р і я й м о в і р н о с т е й т а
- •03056, Київ-56, просп. Перемоги, 37 Зміст
- •1. Елементи комбінаторики
- •2. Біноміальні тотожності
- •3. Формула включень та виключень
- •4. Класичне означення ймовірності
- •5. Геометричний метод знаходження ймовірності
- •6. Умовні ймовірності, незалежні події, формула повної ймовірності, формула Байєса
- •Дискретні випадкові величини, математичне сподівання та дисперсія
- •Загальне поняття випадкової величини, функції від випадкових величин
- •Граничні теореми
- •0.74 1.12 3.75 4.33 5.71 6.09 7.89 8.03 9.55 10.22.
- •Список використаної літератури
5. Геометричний метод знаходження ймовірності
Розглядається
експеримент з рівноможливими наслідками,
які можна зобразити точками деякої
області
-вимірного
простору
;
– це простір елементарних подій. Подіями
є всі вимірні підмножини області
.
“Рівноможливість” наслідків означає,
що ймовірність попадання точки у будь-яку
підмножину
пропорційна її мірі (довжині, площі,
об’єму тощо) і не залежить від розташування
та форми
.
У цьому випадку може бути використаний
геометричний метод знаходження
ймовірності, згідно з яким ймовірність
події
визначається за формулою:
,
(19)
де
– міра Лебега на
.
Розглянемо деякі типові приклади.
Приклад
1 (задача
про зустріч). Два приятелі домовилися
зустрітися протягом певного часу
.
Перший приятель може чекати другого не
більше ніж час
,
а другий чекає першого лише час
.
Чому дорівнює ймовірність зустрічі
приятелів, якщо кожен з них незалежно
від іншого може прийти рівноймовірно
у будь-який момент проміжку часу
.
Розв’язання.
Позначимо моменти приходу першого та
другого приятелів через
та
відповідно. Тоді простір елементарних
подій
має вигляд (рис. 2):
Рис. 2.
Множина
точок, що сприяють зустрічі, визначається
нерівностями
Очевидно, що
,
Тому згідно з (19) маємо
Приклад
2 (голка
Бюффона).
Розглянемо
площину, що розділена паралельними
прямими, які знаходяться на відстані
одна від одної (рис. 3). На площину навмання
кидається голка, що має довжину
.
Треба знайти ймовірність того, що голка
перетне хоча б одну з прямих (у випадку
голка може перетнути декілька прямих).
Рис. 3.
Розв’язання.
Положення голки однозначно визначається
відстанню
від центра голки до найближчої прямої
та кутом
,
що утворює голка з цією прямою. Очевидно,
що
і
,
тобто простір елементарних подій
є прямокутником (рис. 4 та 5):
Для
того, щоб голка перетнула одну з прямих
необхідно і достатньо виконання умови
,
тобто
Розглянемо два випадки.
А.
(рис. 4). Очевидно, що
,
В.
(рис. 5). У цьому випадку маємо
У
випадку
за допомогою голки Бюффона можна
наближено обчислити число
.
Дійсно, нехай було проведено
експериментів, в кожному з яких
досліджувалось чи перетнула голка
пряму, чи ні. Позначимо через
кількість експериментів, у яких відбувся
перетин. Згідно з посиленим законом
великих чисел
з
ймовірністю 1.
Звідси випливає, що
з
ймовірністю 1,
тобто
за допомогою достатньої кількості
експериментів можна обчислити число
з будь-якою точністю.
Приклад 3 (парадокс Бертрана). У колі навмання будується хорда. Чому дорівнює ймовірність того, що її довжина перевищує довжину сторони рівностороннього трикутника, вписаного в це коло?
Розв’язання
1.
Розглянемо коло з довільним діаметром
.
З міркувань симетрії можна наперед
визначити напрямок хорди
(рис. 6). Проведемо діаметр
,
що перпендикулярний цьому напрямку.
Хорда
може перетнути діаметр
у будь-якій його точці (міра цих точок
дорівнює
).
В той же час лише точки, що лежать у
проміжку від
до
задовольняють умові задачі. Тобто шукана
ймовірність дорівнює
.
Рис. 7.
Розв’язання
2.
З міркувань симетрії можна наперед
зафіксувати один з кінців хорди на колі
у деякій довільній точці
(рис. 7). Побудуєморівносторонній
трикутник
,
вписаний у коло. Легко бачити, що дотична
до кола у точці
та дві сторони трикутника
і
розбивають кут у
на три рівні частини. Довжина хорди
перевищує довжину сторони рівностороннього
трикутника тоді і тільки тоді, коли ця
хорда проходить всередині кута
.
Тому ймовірність бажаної події дорівнює
.
Розв’язання
3.
Для того, щоб визначити положення хорди,
достатньо задати місцезнаходження її
середини (рис. 8). Хорда задовольняє умову
задачі, якщо її центр попадає в середину
кола, вписаного у правильний трикутник
.
Радіус цього кола удвічі менший за
радіус описаного кола.Оскільки
площа круга пропорційна квадрату його
радіуса, то ймовірність
бажаної події дорівнює
.
З’ясуємо, чому були отримані три різні відповіді, на перший погляд, однієї й тієї ж задачі. Відповідь криється у першій же фразі у постановці задачі: “У колі навмання будується хорда”. Термін “навмання” допускає неоднозначність інтерпретації. В залежності від інтерпретації розв’язуються фактично три різні задачі.
У
першому випадку центр хорди рухається
уздовж фіксованого діаметру кола
(одновимірна задача), у той час як у
третьому випадку центр хорди може
попасти у будь-яку точку круга (двовимірна
задача). У другому ж випадку хорда
закріплюється на шарнірі у точці
кола і її положення визначається кутом
із дотичною до кола у точці
,
який може приймати значення від
до
(також одновимірна задача).