2. Біноміальні тотожності

Біноміальні коефіцієнти мають ряд важливих властивостей, які можна подати у вигляді тотожностей. Серед найбільш поширених наведемо такі:

; (8)

; (9)

; (10)

(11)

Тотожність (8) випливає безпосередньо з означення (формула (2)). Рівності (10) та (11) є наслідками бінома Ньютона (формула (3)), якщо покласти тавідповідно. Співвідношення (9) легко доводиться аналітично з використанням означення . В той же час більш цікавим є доведення, що ґрунтується на комбінаторних міркуваннях. Дійсно,– це кількість способів, якими середрізних предметів можна обрати підмножину зпредметів. Візьмемо конкретний предмет. Існує дві можливості: або цей предмет міститься у підмножині зпредметів, або ні. У першому випадку потрібно додатково вибратипредмет з, що залишились (кількість таких комбінацій дорівнює). У другому випадкупредметів потрібно вибрати з(кількість комбінацій дорівнює). Оскільки множини комбінацій, що відповідають першому та другому випадкам, не перетинаються, то за правилом додавання отримуємо формулу (9).

У багатьох випадках біноміальні тотожності занадто складно доводити аналітично, ґрунтуючись на означенні . В той же час комбінаторні або геометричні міркування дозволяють це зробити набагато простіше. В основу доведення покладено такий принцип: одну й ту ж саму задачу розв’язують двома способами, один з яких ґрунтується на безпосередньому використанні комбінаторної формули, в результаті чого отримують просту відповідь, а другий – розбиває розв’язання задачі на декілька кроків, що призводить до відповіді у вигляді деякої суми. Розглянемо три приклади.

Приклад 1 (аналітичний метод). Довести тотожність

(12)

Доведення. Співвідношення (12) випливає безпосередньо з бінома Ньютона (формула (3)). Дійсно, враховуючи те, що

маємо

Приклад 2 (комбінаторний метод). Довести тотожність

(13)

де у випадку

Доведення. Нехай – це всі-елементні підмножини множини

Очевидно, що їх кількість визначається правою частиною рівності (13). Позначимо Розіб’ємонамножину, що не перетинаються, а саме,містить всі ті-елементні підмножини з, у яких рівноелементів належатьтаелементів належать(якщоабо, то– пуста множина). Кількість-елементних підмножин здорівнює. Аналогічно, кількість-елементних підмножин здорівнює. Оскільки кожну-елементну підмножину зможна доповнити будь-якою-елементною підмножиною з, то за правилом множення множинаміститьпідмножин. Множинине перетинаються. Тому за правилом додавання множинамістить кількість елементів, що визначається лівою частиною рівності (13).

Приклад 3 (геометричний метод). Довести тотожність

(14)

де

Доведення. Розглянемо всі найкоротші шляхи, що ведуть з точки у точку(рис. 1).Очевидно, що загальна кількість усіх таких шляхів дорівнює . Розіб’ємо всі мінімальні шляхи на множиниза принципом: шлях належить , якщо він перетинає пряму у точці. Кожен шлях з складається з трьох частин: шлях з точкиу точку, горизонтальний відрізок, що з’єднує точкиі, та шлях з точкиу точку. Таким чином, загальна кількість шляхів у множинідорівнює . Оскільки множинине перетинаються, то за правилом додавання отримуємо ліву частину формули (14).

Рис. 1.