Практикум № 4. Вивчення особливостей апроксимації за допомогою поліному функцій, які швидко змінюються

Мета роботи - вивчення особливостей апроксимації поліномами швидкозмінних функцій.

Завдання

По заданим варіантам виконати наступні завдання.

1. Для заданих функцій виконати апроксимацію поліномом змінюючи степінь поліному (від другої до четвертої), кількість точок апроксимації (від чотирьох до шести) і розташування точок апроксимації (рівномірне та в інформаційно важливих позиціях).

2. Побудувати графіки залежностей для всіх варіантів.

3. Виконати статистичний аналіз отриманої апроксимації.

4. Висновки.

Таблиця 1. Варіанти завдань

№ варіанту	Назва функції	Формула
1	Експонента
2	Логарифм
3	Логістична
4	Корінь квадратний
5	Гіпербола
6	Степенева функція

Практикум №5. Оптимізація осащення виробничої ділянки методом лінійного програмування

Мета роботи - вивчення методики лінійного програ- мування стосовно оптимізації процесів і конструкцій при проектуванні і експлуатації систем технологічного осна- щення.

Загальні положення

Метод лінійного програмування широко застосовуєть- ся в машинобудуванні для оптимізації різних технічних рішень при проектуванні, виготовленні і експлуатації засо- бів технологічного оснащення. Метод дозволяє скласти оптимальний план оснащення технологічним устаткуван- ням у ряді випадків без проведення спеціальних дорогих експериментів.

Застосовують метод лінійного програмування, коли необхідно оптимізувати (знайти максимум або мінімум) одну з характеристик системи, конструкції або процесу, яка описується лінійною функцією типу

^{A  C}₁^X₁ ^{ C} ₂ ^X ₂ ^{ ... C}_i ^X _i ^{ ... C} _n ^X _n ^,

де A - цільова функція (наприклад, продуктивність, яку треба максимізувати, або собівартість, яку треба мі- німізувати);

Xi - параметр системи, конструкції або процесу, який впливає на величину цільової функції;

Ci - ціна (числовий коефіцієнт, що описує ступінь впливу змінної на цільову функцію).

При цьому на параметри системи накладаються лінійні обмеження

^P₁₁^X₁ ^{ P}₁₂ ^X ₂ ^{   P}_1i ^X _i ^{  }P_1n X _n  B₁ ;

P21X1  P22 X2   P2i X i   P2n X n  B2 ;

Pj1 X1 Pj2 X 2   Pji X i   P2n X n  B_j ;

Pt1X1  Pt2X 2   PjnX n   PtnX n  Bt ;

X₁  0, X ₂  0, X _i  0,, X _n  0,

де Bj - обмеження, що накладається на конструкцію або процес умовами виготовлення, експлуатації або ремонту технологічної системи;

Pji - коефіцієнт впливу параметра системи на величину обмеження.

Такий запис обмежень разом з умовою знайти мінімум цільової функції називається канонічною формою завдання лінійного програмування.

Відзначимо, що вся множина завдань лінійного програмування може бути зведена до канонічної форми.

Завдання лінійного програмування, в якому потрібно максимізувати цільову функцію, може бути зведене до канонічної форми мінімізацією зворотної функції A" = - A, у якої знаки при цінах Ci змінені на протилежні:

^{A"  - C}₁^X₁ ^{ - C}₂ ^X ₂ ^{  - C}_i ^X _i ^{  - C} _n ^X _n ^.

_{Якщо в завданні обмеження дані як нерівності}

^P_j1^X₁ ^{ P}_j2 ^X ₂ ^{   P}_ji ^X _i ^{  } P_jn X _n  B _j ,

aбо

P_j1 X₁  P_j2 X ₂    P_ji X _i    P_jn X _n  B _j ,

то вона зводиться до канонічної форми відповідно відні- манням або збільшенням додаткових змінних Xn+k (з ці- ною Cn+k = 0):

^P_j1^X₁ ^{ P}_j2 ^X ₂ ^{   P}_ji ^X _i ^{  } P_jn X _n - X _{n k}  B _j ;

P_t1X₁  P_t2 X ₂    P_ti X _i    ^Ptn ^X n ^{ X} t  m ^{ B}t ^;

_при

A  C₁ X₁  C _j2X₂^{   C}_i ^X_i^{   C}_n ^X_n^{ 0  X} _{n k} ^{ 0  X} _{t m}

Методика виконання роботи

Завдання зводиться до канонічної форми і вирішується симплекс - методом в такій послідовності:

_{ Складання початкової симплекс - таблиці.}

Визначається початковий план, в який включаються вільні члени Bj з обмежень - рівності, що має один з коефіцієнтів Pji, дорівнює +1, за умови, що в решті обмежень - рівностей коефіцієнт Pji = 0. При цьому відповідна змінна Хi виключається з цільової функції (обмеження-рівність вирішується відносно Хi, і даний вираз підставляється в цільову функцію).

Наприклад, для завдання

AC₁X₁ C₂X₂ C₃X₃; P₁₁X₁  P₁₂ X ₂  P₁₃ X₃  B₁ ; P₂₁X₁  P₂₂ X ₂  P₂₃ X₃  B₂ ;

^P₃₁^X₁ ^{ P}₃₂ ^X ₂ ^{ P}₃₃ ^X ₃ ^{ B}₃ ^,

якщо P11=1, Р21=0, Р31=0, то значення B1 включається в опорний план і проводяться перетворення

Виконуються аналогічні перетворення, і значення В1 включаються в опорний план, якщо P12=1, Р22=0, Р32=0 або P13=1, Р23=0, Р33=0.

Значення В2 включається в план, якщо P21=1, Р11=0, Р31=0 або P22=1, Р12=0, Р32=0 або P23=1, Р13=0, Р33=0 . Значення В3 включається в план, якщо P31=1, Р11=0, Р21=0 або P32=1, Р12=0, Р22=0 або P33=1, Р13=0, Р23=0;

Якщо при складанні початкового плану є обмеження - рівність, в якій більше одного коефіцієнта Pji = +1 або він один, але в інших обмеженнях - рівностях є значення Pji, що не дорівнюють нулю, то включають штучну змінну Xn+k+r з ціною Cn+k+r = M (М =  - скільки завгодно ве- лике додатне число), тобто

^P_j1^X₁ ^{ P}_j2 ^X ₂ ^{   P}_ji ^X _i ^{   P}_jn ^X _n ^{ X} _{n  k} ^{ X} _{n  k r} ^{ B} _j ^;

  C₁X₁  C ₂ X ₂    C_iX _i    C _n Xn  0  X _{n k}  MX _{n k r}

- початковий план записують у стовпець «B» початковою симплекс - таблиці (таблиця 1);

- заповнюють решту клітинок початкової симплекс таблиці:

а) у стовпець «V» - записують умовні позначення параметрів Xi, за якими формувався початковий план;

б) у стовпець «С» - записують ціну, що стоїть в цільовій функції перед параметрами, за якими формувався початковий план;

в) у вільні клітинки верхнього рядка послідовно записують умовні позначення параметрів Xi і відповідні їм значення ціни Ci з рівняння цільової функції;

г) у рядки з номерами від 1 до t послідовно записують значення коефіцієнтів Pji;

д) у рядку з номером t+1 першу і другу клітинки не заповнюють, в третю записують значення , якщо воно визначалося, або 0, а в решту клітинок послідовно записують значення Ci з рівняння цільової функції, узяті з протилежним знаком;

е) заповнюють рядок з номером t+2, елементи якої ви- значають як відрядкову (з номерами рядків 1 ... t) суму відповідних елементів, що стоять в цьому самому стовпці. При складанні враховують тільки ті рядки, у яких у стовп- ці «С» знаходиться нескінченно велике число М, тобто

_{u u}

^W0 ^  ^Bi ^W_i ^  ^P_ij ^,

i v i v

де j - номер рядка, у якого в стовпці «С» стоїть число «М»;

- при вирішенні завдань, що не вимагають включення штучних змінних з ціною М (М = ), рядок з номером t+2 не будується, а елементи рядка з номером t+1 визначають- ся так як описано вище.

_{Таблиця 1 - Форма початкової симплекс-таблиці}

 Оптимізація початкової симплекс - таблиці.

Оптимізація здійснюється у декілька етапів (ітерацій) шляхом перебудови початкового плану і знаходження нового опорного плану із значенням цільової функції не більшим, ніж у попереднього.

При переході від плану до плану необхідно:

- вибрати розв’язуючий стовпець за найбільшим додатним елементом ( t + 2 )-го рядка і привласнити йому номер q = i;

- порядково розділити величину Bj на додатний елемент Pjq цього самого рядка, що стоїть у розв’язуючому стовбці q (елементи рядків «t+1» і «t+2» пропускаються, і якщо Pjq  0, то елементи цього рядка теж пропускаються). Знайти мінімальне відношення, тобто обчислити

Якщо з’ясується, що у розв’язуючому стовпці немає додатних елементів, а оптимум ще не досягнутий, то рі- шення припиняється і приймається вирішення про відсут- ність оптимуму цільової функції. Якщо продовження рі- шення можливе, то рядку, що містить елементи Bj і Pjq, що задовольняють цю умову, привласнюється номер s = j, і рядок вважається такими, що розв’язує;

- знайти розв’язуючий елемент Psq, який знаходиться на перетині розв’язуючого стовпця і рядка;

- перейти до нової симплекс - таблиці, що відповідає новому опорному плану, для чого:

а) елементи s-рядки, що стоять у стовпцях «В» і «Xi», _{розділити на розв’язуючий елемент, тобто обчислити:}

б) решта всіх елементів симплекс - таблиці стоїть у стовпцях «В» і «Xi», перерахувати за формулою

в) замінити елемент s-рядка, що стоїть в стовпці «V», на Xi, узяте з верхнього рядка розв’язуючого стовпця;

г) елементу s-рядка, що стоїть в стовпці «С», привласнити значення Ci, узяте з верхнього рядка розв’язуючого стовпця;

д) заповнити вільні місця в стовбцях «V» і «С», переписуючи відповідні елементи цих стовбців з попередньої симплекс - таблиці;

Ітераційний процес продовжують до того часу, поки всі елементи (t+2)-го рядка не стануть такими, що дорівнюють нулю. Якщо при цьому з’ясується, що в даному рядку не залишилося додатних елементів, і не всі вони стали нульовими, то робиться висновок про несумісність обмежень даного завдання і про неможливість скласти оптимальний план.

Якщо висновок про неможливість побудови оптимального плану зробити не можна, то рішення продовжується. Подальші, після витіснення елементів (t+2)-го рядка кроки виконуються за загальним правилом, що, проте, розв’язуючий стовпець вибирається за найбільшим додатним елементом (t+1)-го рядка. (Стовбці, що містять штучні змінні, в цьому випадку нехтуються, оскільки вони виявляються витісненими з початкового плану). При вирішенні завдань, що не вимагають включення в цільову функцію штучних змінних з ціною М =, розв’язуючий стовпець визначається відразу за рядком з номером t+1.

Ітерація закінчується досягненням оптимуму, про що свідчить відсутність додатних елементів в (t+1)-му рядку. У випадку, якщо оптимум не досягнутий, але у розв’язуючому стовпці всі елементи Pjq 0, то робиться висновок про те, що цільова функція не обмежена на даній множині планів.

Приклад виконання роботи

Визначити необхідну кількість одиниць (змін завантажень) устаткування термічного цеху, яке дозволить забезпечити максимальну продуктивність при проведенні гартування, за умови, що можливе оснащення печами двох типів (Х1 і Х2, рисунки 1,2) і для кожної з печей виробни- чими умовами накладаються відповідні обмеження.

Рисунок 1 - Електрична середньотемпературна піч з контрольованою атмосферою для проведення нагріву під гартування (Х1): 1 - заслонка; 2 - механізм підйому заслінки; 3- стрічкові нагрівальні елементи; 4- захисний кожух; 5 - алундові гребені; 6 - жаростійка плита; 7 - трубка підведення забороненого газу

При такій загальній постановці завдання його математична інтерпретація має вигляд

7

0

5

3

₂

8

2

5

7

₄

3

9

5

0

0

¹

1

₁ 6

4

Ç380

Ç380

Ç1100

Ç1100

Рисунок 2 - Електрична піч – ванна С-35 для проведення нагріву під гартування (Х2): 1 – металевий каркас; 2 – робочий простір; 3- електроди; 4- теплоізоляційний матеріал; 5 - циліндричний кожух; 6 - трансформатор; 7 – ковпак; 8 – ланцюгова завіска; 9 – тигелі з жаростійкої сталі

Запишемо умови завдання у канонічній формі, для чого:

- у _{цільовій функції замінимо знаки на зворотні і зна}ходитимемо її мінімум

Y  - 3X₁ - 4X ₂  min ;

- замінимо нерівності на рівність, віднявши в першій і другій нерівностях додаткові змінні Х3 і Х4, а в третій і четвертій нерівностях - додавши додаткові змінні Х5 іХ6,і дописавши в цільову функцію ці самі змінні з ціною, що дорівнює 0:

^{Y  - 3X}₁ ^{- 4X}₂ ^{ 0  X}₃ ^{ 0  X} ₄ ^{ 0  X} ₅ ^{ 0  X} ₆ ^{ min ;}

 Складання початкової симплекс - таблиці

Оскільки в перших двох рівняннях немає змінних, за якими можна скласти початковий план (коефіцієнти перед Х1 і Х2 дорівнюють +1, але в третьому і четвертому рів няннях коефіцієнти перед ними відмінні від нуля; коефіці єнти перед Х3, Х4 не дорівнюють +1), то вводимо штучні змінні Х7 і Х8 з ціною «М», що дорівнює нескінченно великому додатному числу:

^{Y  3X}₁ ^{ 4X}₂ ^{ 0X}₃ ^{ 0X} ₄ ^{ 0X}₅ ^{ 0X}₆ ^{ MX}₇ ^{ MX}₈ ^{ min}

Складаємо початкову симплекс-таблицю і для зручності обчислень записуємо її у вигляді матриці А розміром 8 х 12:

 Оптимізація початкової симплекс-таблиці.

Оптимізація здійснюється в декілька ітерацій.

На першій ітерації:

- знаходимо найбільше додатне число в рядку «t+2» і приймаємо як розв’язуючий відповідний йому стовпець матриці:

_{max (submatrix (A  8  8  5  12))  1, q  5}

- порядково ділимо елементи стовпця «В» на додатні елементи розв’язуючого стовпця. Беремо як розв’язуючий рядок відповідний мінімальному відношенню рядок матриці:

Для переходу до наступної симплекс – таблиці записуємо функцію перетворень M(m,r,W,J), в якій а) перераховуються елементи, що стоять у стовпцях «Xi» у всіх рядках початкової симплекс – таблиці, а потім коректуються елементи з розв’язуючого рядка, б) елементам розв’язуючого рядка, що стоять у стовпцях «V» і «C», привласнюються відповідні їм елементи з розв’язуючого стовпця

^{Розраховуємо елементи нової симплекс таблиці}

_{Результати першої ітерації зводимо в таблицю:}

Решта ітерацій виконується аналогічним чином. Обчи- слювальний процес закінчується досягненням оптимуму на четвертій ітерації, про що свідчить відсутність додатних елементів в рядку t+1.

Відповідно до результатів четвертої ітерації максима- льна продуктивність (68 виробів) буде забезпечена при ви- користанні 12 печей (змін завантажень) першого типу і 8 печей (змін завантажень) другого типу.

Додаткові змінні Х3 = 2 і Х4 = 3 перетворюють нерів- ності на строгу рівність, проте на величину продуктивності не впливають, оскільки мають нульову ціну.

Вимоги до змісту звіту

Звіт повинен містити:

1 Найменування і мету роботи.

2 Запис завдання в канонічному вигляді.

3 Початкову симплекс – таблицю.

4 Результати проміжних розрахунків – ітерацій.

5 Висновки про результати оптимізації.

Варіанти завдань

Скласти оптимальний план використання чотирьох типів термічних печей і визначити необхідну кількість печей (змін завантажень) кожного типу, яке забезпечувало б мінімальні витрати на експлуатацію для заданих програм обробки заготовок, за умови, що будуть забезпечені обмеження по фонду на придбання печей, кількості використовуваної електричної енергії (для електричних печей) і газу (для газових печей) і вільної корисної площі печей. Вихідні дані вибрати за таблицями 2–4 (приклад вибору завдання для варіанта 1А наведений у таблиці 5).

_{Таблиця 2 - Питомі витрати на експлуатацію}

Стандартна камерна електропіч

_{для гартування}

Стандартна камерна електропіч для гарту- вання, суміщена з во-

Піч-ванна з викорис- танням розплавів солей

Газова нагрівальна піч (паливо- метан)

дяним баком NaCl і B aCl₂

3451234512345A5436363944621927645371262519261963253751B216221196221346225192746713725347141		Варіант							1					2					3			4		5
385038303940395039203600130001400016000120001300010002000100030002000108791087,5876101112910Розмір фонду на оснащення цеху печами, тис. гри- веньЛімітована кількість елект- ричної енергії, кВтЛімітована кількість газу м3Розмір першої партії заготовок, тоннРозмір другої партії заготовок, тоннВільна корисна площа печі, дм21934C3754272554542521382726544938732621192525D2562385471384162267125626262563234267162E3437264127373454211937554138213727384171F375425541927544137234162271941372719382712 B A 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 5 4 3 2 Таблиця 3 – Обмеження на виготовлення і експлуатацію Варіант						1						2						3					4		5
70606060707060110120100110120E210210200180160160140150130140160140150140140190190160180170F190180190170180150130160140140150130160140140170180170190160A86777482811221201161091171631601591581572022001981961995123451234512345123456789101112131415161718192021Вартість однієї печі,Стандартна камерна електропіч для гарту- ванняСтандартна камерна еле- ктропіч для гартування суміщена з водяним ба- комПіч-ванна з використан- ням розплавів солей NaCl і BaCl2Газова нагрівальна піч102701070010210106001030063006600630061004500300026002800280023002825242522182119171915161810181022010100101201015010100430054004300620043002200240026002100310025212021151919191521101212121421502210220021902260630056004500440045008009008008001200313029303954525450492521221718211022202150222023104300350053004300530080090010001000800353231322754515153522120192023388038903880389012000110001400011000140001500150020002000250099898,567465910131211 Продуктивність по 1-ій партії, кг/годину Продуктивність по 2-і партії, кг/годину тис. грн Таблиця 4 – Питомі експлуатаційні характеристики F E D C 1	120Варіант									1601										602	503
A170B7779828476118121118121115155163157159160189194199191189C3430292631605458595774726971689693889187D3231283127535752605573747169729492919590E10810110498104306297290296291412406398410400500480495500491F1021069996107300302297306305408410411402409496499491497500Використання енергії,A320310290290300180180170160170180150160170180200170180190200B280320310290280150170180170160160170170180150180190190200170C160130140160140807080607080708060701201001108090D1501501304 B C D E F A B D
C	980				900		130	120		370	300		640		60	160	160			2
1401403003806706801801603950
1201403803906906601901704960950
1501303903606006801701805980910
1401503603806706901601806990940
3903809409001400120048046071900900
38041099096013001200490480822001700
2100	1700				2400		420	400		930	970		1700		1400	470	480			9
40039096098012001200490470101800
410390980900140015005004901119001900
44041017001100140014005405101228001700
2300	2500				2500		420	430		1400	1300		1900		1600	540	520			13
	2600				2900		410	420		1600	1200		2000		1700	530	530			14
	2400				2500		440	410		1100	1500		1800		1400	520	530			15
	2300				2700		420	430		1300	1100		1500		1700	520	510			16
	3300				3200		730	690		2100	1700		2000		2100	750	740			17
	3700				3600		690	720		1900	2300		1900		1700	790	780			18
	3500				3800		700	710		1700	1800		1800		1800	760	770			19
	3400				4100		690	740		1700	1900		2100		1900	780	760			20
	3300				3400		710	720		1900	2300		1700		2000	760	750			21

_{Продовження таблиці 4}

5805605405905008508308908008001400120012001100140014001300100011001400Питоме викорис- тання корисної площіA0,40,40,40,40,40,20,20,20,20,20,10,10,10,10,10,10,10,1590800890870840890900110011001300120010001200150011001500 F		E	500	540
Енергоспоживання, кВтПродуктивністьПродуктивністьПитоме використання ко-Ціна однієї печі, тис. грнЕнергоспоживання, кВтПродуктивністьПродуктивністьПитоме використання ко-Ціна однієї печі, тис. грнЕнергоспоживання, м3ПродуктивністьПродуктивністьПитоме використання ко-863201601200,41221804603800,21631805104100,12022007406900,1Витрати на експлуатацію однієї печі 54грн; 62грн; 71грн; 19грн; відповідно.ПродуктивністьПродуктивністьПитоме використання ко-Ціна однієї печі, тис. грн0,10,1B0,30,30,30,30,30,20,20,20,20,20,10,10,10,10,10,10,10,10,10,1C0,80,70,80,60,80,50,50,40,30,40,40,30,20,20,30,20,20,10,10,2D0,50,80,60,60,70,30,40,50,40,40,20,30,40,20,30,20,20,20,10,1E0,60,50,40,30,40,40,40,30,40,30,30,20,30,20,30,20,10,10,20,2F0,50,60,40,30,40,30,40,20,30,40,20,30,30,20,20,20,20,20,10,1560580 Ціна однієї печі, тис. грн Піч 4-го виду Піч 3-го виду Піч 2-го виду Таблиця 5 – Приклад вибору завдання Піч 1-го виду
Фонд на придбання і монтаж печей – 3860 тис. грн Лімітована кількість електричної енергії - 13000 кВт Лімітована кількість газу - 1000 м3Енергоспоживання, кВт Розмір 1-ої партії заготовок - 10000 кг Розмір 2-ої партії заготовок - 8000 кг Вільна корисна площа печі - 10 дм2