que1sem_kpi

3

Питання до іспиту з математичного аналізу (1 семестр 2011/2012 н.р.)

1. Поняття відображення множин (функції). Повні образи та прообрази. Класифікація відображень. Обернене відображення. Композиція відображень, її властивості.

2. Мінімальний та максимальний елементи множини. Точна нижня і точна верхня межі множини. Теорема про існування точних меж у обмежених множин.

3. Критерій існування точних меж непорожньої множини мовою нерівностей.

4. Принцип Архімеда та його наслідки.

5. Теорема про вкладені відрізки (принцип Коші – Кантора).

6. Теорема про скінченне підпокриття (лема Гейне – Бореля).

7. Теорема про граничну точку (принцип Больцано – Вейєрштрасса).

8. Означення числової послідовності. Збіжні та розбіжні послідовності. Обмежені послідовності. Приклади.

9. Границя збіжної числової послідовності: означення, геометричний зміст.

10. Нескінченно великі та нескінченно малі послідовності. Основні властивості нескінченно малих послідовностей.

11. Нескінченно великі послідовності: означення, зв'язок із нескінченно малими.

12. Загальні властивості границі послідовності: єдність границі та обмеженість збіжної послідовності.

13. Арифметичні властивості границі послідовності.

14. Граничний перехід у нерівності та у подвійній нерівності для послідовностей.

15. Монотонні послідовності. Теорема про границю монотонної послідовності. Число е.

16. Поняття підпослідовності та часткової границі заданої послідовності. Теорема Больцано-Вайєрштрасса та її розширення. Критерій існування границі послідовності в термінах часткових границь.

17. Фундаментальні послідовності. Критерій Коші збіжності послідовності.

18. Границя функції в точці: означення мовою послідовностей (за Гейне) та мовою нерівностей (за Коші). Теорема про еквівалентність цих означень.

19. Основні властивості границі функцій.

20. Односторонні границі. Критерій існування границі функції в точці мовою односторонніх границь. Границя на нескінченності.

21. Нескінченно великі та нескінченно малі функції. Основні властивості нескінченно малих функцій.

22. Порівняння функцій в околі точки. Основні властивості еквівалентних нескінченно малих функцій.

23. Перша визначна границя.

24. Друга визначна границя.

25. Таблиця основних границь та таблиця еквівалентних при функцій.

26. Означення неперервності функції в точці та на проміжку. Локальні властивості неперервних функцій.

27. Розриви неперервності функцій. Класифікація точок розриву.

28. Перша теорема Вайєрштрасса (про обмеженість функції, неперервної на відрізку).

29. Друга теорема Вайєрштрасса (про точні межі функції, неперервної на відрізку).

30. Теорема Больцано – Коші про нуль неперервної на відрізку функції.

31. Теорема про проміжні значення неперервної на відрізку функції.

32. Теорема Шаудера про нерухому точку.

33. Односторонні границі монотонних функцій. Теорема про можливий тип розривів монотонної функції.

34. Критерій неперервності монотонної функції.

35. Теорема про монотонність функції, оберненої до строго монотонної.

36. Теорема про неперервність функції, оберненої до неперервної та строго монотонної функції.

37. Рівномірна неперервність функції на проміжку. Теорема Кантора про рівномірну неперервність.

38. Означення диференційовності функції в точці, похідної та диференціалу. Зв'язок цих понять. Геометричний зміст похідної та диференціалу.

39. Односторонні похідні. Зв'язок неперервності та диференційовності.

40. Основні правила диференціювання.

41. Теорема про диференціювання складеної функції. Диференціювання оберненої функції.

42. Диференціювання функції, заданої параметрично або неявно.

43. Логарифмічне диференціювання. Похідна показниково-степеневої функції.

44. Таблиця похідних.

45. Диференціал функції: властивості, інваріантність форми, застосування до наближених обчислень.

46. Похідні вищих порядків. Формули для похідних n-го порядку деяких елементарних функцій. Формула Лейбніца для похідної n-го порядку від добутку двох функцій.

47. Похідні вищих порядків для функцій, заданих параметрично або неявно.

48. Диференціали вищих порядків.

49. Теорема Ферма.

50. Теорема Ролля.

51. Теорема Лагранжа про скінченні прирости.

52. Теорема Коші про дві диференційовні функції.

53. Правила Лопіталя розкриття невизначеностей.

54. Формули Тейлора та Маклорена із залишковим членом у формі Лагранжа.

55. Локальна формула Тейлора із залишковим членом у формі Пеано. Формула Тейлора для многочлена.

56. Локальні формули Маклорена для найважливіших елементарних функцій.