Раздел_1

52

1. УРАВНЕНИЕ ФИЗИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА С УЧЕТОМ ЕГО УПРУГИХ, ТЕПЛОВЫХ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ СВОЙСТВ

В общем случае тепловые, электромагнитные и упругие процессы в твёрдом теле взаимосвязаны и взаимообусловлены. Об этом убедительно свидетельствует хотя бы приведённый выше краткий обзор пъезоактивных свойств твёрдых тел. На рис. 1.1.1 схематически представлены связи между характеристиками физических полей в реально существующем деформируемом твёрдом теле. При этом напряжённо-деформированное состояние (упругие поля) характеризуется набором компонентов тензора напряжения и деформации ; магнитное поле описывается с помощью компонентов вектора напряжённости и магнитной индукции ; электрическое поле представлено компонентами векторов напряжённости и индукции , и, наконец, тепловое поле задано с помощью значений температуры и энтропии . Множество двунаправленных стрелок на рис. 1.1.1 подчёркивают то обстоятельство, что все вышеперечисленные величины взаимосвязаны.

Значения и характер изменения представленных на рис. 1.1.1 величин практически полностью определяет состояние твёрдого тела. В рамках симметричной теории упругости (в отличие от теории братьев Коссера [1]) тензоры и имеют всего лишь по шесть, в общем случае, неравных между собой компонентов и поэтому можно утверждать, что состояние твёрдого тела описывается с помощью 26 переменных. Для того чтобы построить функциональные соотношения между этими переменными, разделим их на две группы. Одну группу переменных (обозначим её символом ) будем называть независимыми переменными, вторую, равную первой по числу элементов, группу обозначим символом , а входящие в нее физические величины будем называть зависимыми переменными. Разбитие входящих в схему (рис. 1.1.1) величин на зависимые и независимые переменные осуществляется с известной долей произвола, по усмотрению расчётчика. Примерные варианты разбиения показаны в таблице

	,,,	,,,	,,,	,,,	…
	,,,	,,,	,,,	,,,	…

Особых оснований для того, чтобы отдать предпочтение какому либо конкретному набору величин и не существует, и поэтому выберем в качестве независимых переменных набор из тринадцати величин , , и . Оставшиеся 13 величин будут являться зависимыми переменными, т. е. функциями независимых переменных: , , и .

Предположим, что при некоторой температуре в твёрдом теле отсутствуют деформации, электрические и магнитные поля, т. е. =0, =0, =0. При таком наборе независимых переменных будем полагать, что , , и . Определённый выше набор независимых и зависимых переменных описывает некоторое начальное состояние твёрдого тела, которое будем в дальнейшем называть естественным.

Предположим, что с помощью каких-либо устройств в твёрдом теле, пребывающем в естественном состоянии, возбуждаются электрические, магнитные и тепловые поля, т.е. появляются отличнее от нуля компоненты ,, и . При этом будем считать, что возмущения независимых переменных невелики. Последнее предположение позволяет разложить функции , ..., в ряды Тейлора, ограничившись при этом лишь линейными членами разложения. Принимая во внимание определение естественного состояния, можно записать, что

,

,

, (1.1.1)

,

где запись обозначает константу, определённую при фиксированных значениях (в режиме постоянства) величин , и ; соответственно, аналогичный смысл имеют другие подобного рода записи; ; .

Следует обратить внимание на то, что система уравнений (1.1.1) записана в предположении о линейной связи между напряженно-деформированным состоянии и электромагнитным полем, т.е. уравнения (1.1.1) описывают состояния линейного пьезоактивного твёрдого тела.

В уравнения (1.1.1) входят 16 констант. Вполне вероятно, что некоторые из этих 16 констант как-то связанны между собой. Для выявления связей между константами в системе уравнений (1.1.1) обратимся к методам термодинамики – науки, которая по образному выражению всемирно известного физика Ричарда Филипса Фейнмана занимается «поисками соотношений между различными свойствами вещества, не углубляясь в изучение его внутреннего строения».

Прежде всего, запишем первый закон термодинамики, согласно которому приращение запасаемой в твёрдом теле энергией (приращение внутренней энергии) складывается из притока тепла и приращения работы внешних сил , т.е.

. (1.1.2)

В любом из курсов термодинамики (см., например, [2, 3]) доказывается, что . Что касается приращения работы внешних сил, то эту величину можно представить как сумму трех составляющих. Первая составляющая ‑ – представляет работу внешних сил, которая производится над единичным объемом твердого тела при изменении деформации на малую величину . Второе слагаемое − − полная работа электрических сил, связанная с изменением поляризации материала в единичном объеме деформируемого твердого тела. Третья составляющая − − работа сил магнитного поля.

Таким образом, соотношение (1.1.2) приобретает следующий вид:

. (1.1.3)

Необходимо заметить, что левые и правые части уравнений (1.1.2) и (1.1.3) имеют размерность [джоуль/куб. м], т. е. речь идет об объемной плотности энергии.

Теперь рассмотрим термодинамический потенциал Гиббса [3]

,

с помощью которого становиться возможным связать воедино зависимые и независимые переменные. Для каждого конкретного набора независимых переменных существует свой термодинамический потенциал, методика их построения в доступной форме изложена в работе [3]; в монографии [4] приводится ряд конкретных термодинамических потенциалов.

Определим дифференциал потенциала Гиббса (Джозайя Уиллард Гиббс, 11.02.1839–28.04.1903):

. (1.1.4)

Подставляя в выражение (1.1.4) дифференциал внутренней энергии (1.1.3), получаем:

, (1.1.5)

откуда отчетливо видно, что потенциал Гиббса является функцией независимых переменных , , и , и его дифференциал может быть записан в виде:

. (1.1.6)

Сопоставляя выражения (1.1.5) и (1.1.6), приходим к выводу, что

. (1.1.7)

Определенные соотношениями (1.1.7) величины , , и , подставим в производные в разложениях (1.1.1):

,

,

,

. (1.1.8)

Если правые части системы уравнений (1.1.8) представить в виде квадратной таблицы и провести в этой таблице диагональ из левого верхнего угла в правый нижний, то легко заметить, что на самой диагонали расположились величины, в которые в качестве сомножителей входят константы, определяемые при трех фиксированных переменных. Вне главной диагонали константы определяются только лишь при двух фиксированных переменных. Но, пожалуй, самое главное свойство этой таблицы заключается в том, что константы, расположенные симметрично относительно проведенной диагонали, имеют один и тот же физический смысл, т. е. являются различными компонентами одной и гой же физической величины. Действительно, если обозначить: , то .

Отмеченное соответствие между симметрично расположенными относительно диагонали таблицы константами, позволяет утверждать, что физические свойства пьезоактивного твердого тела в общем виде описываются с помощью десяти наборов материальных констант. Введем обозначения:

– модуль упругости, экспериментально определяемый в режиме постоянства температуры и напряженностей электрического и магнитного полей;

– пьезоэлектрический модуль, экспериментально определяемый в режиме постоянства температуры и напряженности магнитного поля;

– компонент тензора диэлектрической проницаемости, экспериментально определяемый в режиме постоянства температуры деформации и напряженности магнитного поля;

– пьезомагнитный модуль;

– магнитоэлектрическая постоянная;

– компонент тензора магнитной проницаемости;

– компонент тензора температурных напряжений;

– пироэлектрическая константа;

– пиромагнитная константа.

Что же касается величины , то в любом курсе термодинамики доказывается, что она в точности равна отношению , где – удельная теплоемкость, взятому с противоположным знаком.

Необходимо подчеркнуть, что постоянство температуры характеризует изотермические процессы, и поэтому все определенные выше материальные константы могут содержать дополнительное прилагательное «изотермический», например: изотермический модуль упругости , изотермический пьезоэлектрический модуль и т. д.

С учетом введенных обозначений систему уравнений (1.1.8) можно записать в следующем виде:

;

;

;

. (1.1.9)

Как правило, пьезоэлектрические и пьезомагнитные свойства одновременно не проявляются, т. е. твердое тело является либо пьезоэлектриком либо пьезомагнетиком.

Полагая в уравнениях состояния (1.1.9) равными нулю все компоненты тензоров пьезомагнитных, магнитоэлектрических и пиромагнитных констант, получаем изотермические уравнения состояния пьезоэлектрика:

;

;

, (1.1.10)

которые дополняются уравнением магнитной поляризуемости среды . В уравнениях физического состояния (1.1.10) отсутствует верхний индекс при символах материальных констант. Тем самым подчеркивается, что магнитное поле не оказывает какого-либо заметного влияния на состояние твердого тела.

Рассуждая аналогичным образом, можно выделить из уравнений состояния (1.1.9) изотермические уравнения состояния пьезомагнитной среды:

;

;

, (1.1.11)

которые дополняются уравнением электрической поляризуемости среды .

Уравнения физического состояния (1.1.10) и (1.1.11) описывают медленно развивающиеся во времени процессы, при которых изменение напряженно-деформированного состояния и поляризации твердого тела сопровождается перераспределением тепла между отдельными объемами твердого тела. В ультразвуковой технике наблюдается диаметрально противоположная ситуация – напряженно-деформированное состояние и поляризация твердого тела меняют свой знак десятки, сотни тысяч раз в секунду, в устройствах акустоэлектроники частота изменения состояния пьезоактивного твердого тела порядка 10⁶÷10⁸ Гц. Очевидно, что в этом случае за время, равное периоду повторения знака состояния, различные объемы деформируемого пьезоактивного твердого тела не успевают обменяться теплом, и, стало быть, в каждой локальной области вещества происходит изменение состояния без изменения энтропии, – т. е. реализуется так называемый адиабатический процесс.

Уравнения состояния, описывающие адиабатические процессы в деформируемых и поляризуемых твердых телах, конструируются следующим образом: из условия адиабатичности процесса, т. е. из условия , находится локальный перегрев , который впоследствии исключается их двух других уравнений состояния. Так, в случае пьезоэлектриков, из условия находим, что:

. (1.1.12)

Подставляя выражение (1.1.12) в правые части первых двух уравнений состояния (1.1.10), получаем адиабатический вариант уравнений состояния пьезоэлектриков:

(1.1.13)

где , и – адиабатические модуль упругости, пьезомодуль и диэлектрическая проницаемость. Связь адиабатических материальных констант с изотермическими очевидна:

; ;

Аналогичным образом записывается пригодный для расчетов быстротекущих процессов адиабатический вариант уравнений состояния пьезомагнетиков:

(1.1.14)

где ; ; .

Следует заметить, что адиабатические и изотермические материальные константы твердых тел имеют, как правило, мало отличающиеся числовые значения. Так, для кварца при 25˚C адиабатический модуль упругости больше на 4,5% соответствующего изотермического модуля, а значение модуля отличаются друг от друга на 0,189% [5].

Если в уравнениях состояния (1.1.9) положить равным нулю компоненты тензоров , , ,, т. е. разорвать связь между электромагнитными и термоэлектрическими явлениями, то получим изотермические уравнения состояния обычного (не пьезоактивного) твердого тела:

(1.1.15)

которые дополняются уравнениями электрической и магнитной поляризации среды:

Уравнения физического состояния (1.1.15) описывают медленно изменяющиеся во времени термоупругие процессы в деформируемом твердом теле и называются уравнениями Дюамеля-Неймана [1]. Адиабатический вариант уравнений состояния непьезоактивного твердого тела имеет совсем простой вид:

, (1.1.16)

где .

Соотношение (1.1.16) имеет структуру хорошо известного закона Гука () и по этой причине называется обобщенным законом Гука.

Обратимся к уравнениям состояния сред со стрикционными эффектами.

Для того, чтобы построить уравнения физического состояния сегнетоэлектрического материала необходимо выполнить все те же действия, что и при выводе уравнений состояния пьезоэлектриков. Отличия заключаются в том, что при разложении в ряд Тейлора функции необходимо удерживать члены с четными порядками производных по независимой переменной . Производные нечетных порядков должны быть приняты равными нулю в силу четности электрострикционного (сегнетоэлектрического) эффекта. В разложении функции необходимо сохранить слагаемые, которые содержат смешанные производные по независимым переменным и . Выполнение этих процедур не сопряжено с какими-либо трудностями принципиального порядка, но сопровождается весьма громоздкими выкладками.

Чтобы избежать выполнения этой рутинной работы, воспользуется аналогией, которая, как было показано выше, существует между магнитострикционными и электрострикционными (сегнетоэлектрическими) эффектами.

В 1957 г. К. Б. Власов опубликовал статью [6], в которой в наиболее общей и законченной форме были выписаны изотермические уравнения состояния магнитострикционных сред. Эти уравнения, как и рассмотренные выше уравнения состояния пьезоактивных сред, получаются в результате разложения в ряд Тейлора зависимых переменных с удержанием соответствующих членов разложения. Так, результирующее механическое напряжение по К. Б. Власову должно быть представлено разложением следующего вида:

.

Аналогичное по структуре выражение записывается для магнитной индукции.

В подавляющем большинстве практически интересных случаев нет необходимости работать со столь громоздкими уравнениями состояния магнитострикционной среды, достаточно лишь сохранить в разложениях , то составляющие, которые соответствуют качественному содержанию процессов деформирования и магнитной поляризации ферромагнетика. Исходя из этих соображений, были построены усеченные (по сравнению с предложенными К. Б. Власовым) уравнения, которые справедливы в области небольших значений деформаций, и в магнитных полях, напряженность которых существенно меньше напряженности поля насыщения ферромагнетика. Адиабатический вариант этих уравнений состояния имеет вид