Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Учебник по Лире / Lira_9_0_Kniga_1_Osnovnye_teoreticheskie_i_ras.pdf
Скачиваний:
280
Добавлен:
12.05.2015
Размер:
2.23 Mб
Скачать

12. ПРОВЕРКА ПРОЧНОСТИ ПО РАЗЛИЧНЫМ ТЕОРИЯМ

Вычисление главных и эквивалентных напряжений в стержневых, плоскостных и объемных конечных элементах по усилиям от отдельных загружений, а также по расчетным сочетаниям загружений (РСН) или по РСУ производится при помощи системы ЛИТЕРА.

12.1 Главные напряжения

Главные напряжения вычисляются в соответствии с видом напряженно-деформированного состояния (НДС), полученного в результате расчета схемы. Каждый тип конечных элементов обладает определенными особенностями, соответствующими тому НДС, которое ими моделируется при создании расчетной схемы. Так, например, КЭ балки- стенки моделируют плоское напряженное состояние и т.п.

В общем случае НДС в точке тела описывается шестью осевыми компонентами тензора напряжений:

N

x

,

T

,

T

 

 

 

 

xy

 

xz

 

SH = Txy ,

N y ,

Tyz

(12.1)

T

 

,

T

 

,

N

 

 

yz

 

xz

 

 

 

 

z

 

Возможны случаи, когда какие-либо напряжения равны нулю. Для плоского НДС, например, тензор напряжений принимает вид:

 

 

,

Txy ,

 

 

 

N x

0

 

SH

= Txy ,

N y ,

0

(12.2)

 

 

 

0,

 

 

 

0,

 

0

 

В любом

случае

главные напряжения

выстраиваются так:

N1N2N3.

12.2 КЭ плоской задачи теории упругости

Моделируется плоское напряженное состояние в плоскости X1OZ1. Главные напряжения вычисляются в центре тяжести каждого

элемента в его срединной поверхности:

 

 

 

 

N

x

+ N

z

 

 

N

x

+ N

z

2

 

12

N

 

 

=

 

 

 

±

 

 

 

+T 2

(12.3)

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

1,

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

xz

 

Угол наклона наибольшего главного напряжения N1 к оси X1:

 

 

 

 

 

 

 

 

N1

N x

 

 

 

ϕ = arctg

 

 

 

 

 

 

(12.4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Txz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12.3 КЭ плиты

Моделируется напряженное состояние в плоскости X1OY1, характеризуемое изгибными усилиями. Осевые напряжения вычисляются

107

для нижней и верхней поверхностей:

н

 

6 M

н

 

6 M y

 

н

6 Mxy

 

 

N x

в = ±

x

;

N y

в = ±

 

;

Txyв = ±

 

;

(12.5)

h2

h2

h2

h-толщина плиты.

Главные напряжения и углы их наклона вычисляются по формулам

(12.3) и (12.4).

В срединной поверхности возникают касательные напряжения:

T =15.

Q

x

;

T

 

=15.

Qy

,

(12.6)

 

 

yz

 

xy

h

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

которые при вычислении главных напряжений игнорируются.

12.4 КЭ объемного НДС

Определение главных напряжений в этом случае производится из решения кубического уравнения.

S 3 + pS + q = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(12.7)

где :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p = −(Sx S y S y Sz Sz Sx +Txy2 +Txz2 +Tyz2 );

 

q = −(Sx S y Sz + 2TxyTxz Tyz SxTyz2 S yTxz2 SzTxy2 );

 

Sx = N x N0 ;

 

S y = N y N0 ; Sz = N z N0 ;

 

N0

=

 

N x

+ N y

+ N z

; Sx + S y + Sz = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Корни уравнения (12.7):

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cosϖ ,

 

 

 

 

 

 

 

S1 = 2

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

12

 

 

 

 

 

π

 

 

 

S3

= −2

 

3

 

cos(ϖ

+ 3 ),

 

 

 

(12.8)

 

 

 

p

 

 

12

 

 

 

 

 

π

 

 

 

S2

= −2

 

 

3

 

cos(ϖ

3 ),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где : ϖ =

 

arccos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

p

 

 

 

 

p

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

3

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Главные напряжения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ni

= Si + N0,i

=1,2,3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(12.9)

Затем вычисляются направляющие косинусы углов наклона осей к осям местной системы координат КЭ из системы уравнений вида:

108

(Nx Ni )li + Txy mi + Txz ni = 0

 

 

 

 

 

Txy li +(N y Ni )mi + Tyz ni = 0

(12.10)

 

 

T l + T m +(N N )n

xz i yz i z i i

где i=1,2,3.

Решив систему трижды, получим матрицу направляющих косинусов:

 

,

m1

,

n1

 

 

l1

 

 

A = l2 ,

m2 ,

n2

 

(12.11)

 

 

 

 

 

 

l3

,

m3 ,

n3

 

В этом случае вычисляются три угла Эйлера, определяющие положение трех главных напряжений относительно местной системы координат (рис. 12.1):

θ (тета)- угол (нутации) между положительными направлениями осей

OZ1 и N3 (0 θ π);

ψ (пси) - угол (прецессии) между осью OX1 и осью OA (линия

пересечения плоскостей X1OY1 и

N1ON2),

положительное

направление которой выбирается так,

что OA, OZ1 и N3 образуют

правую тройку. Угол ψ отсчитывается от оси OX1 к OY1 (0 ψ 2π) ϕ - (фи) - угол (чистого вращения) между осями N1 и ОA

отсчитывается от оси N1 к N2

(0 ϕ 2π).

Значения углов Эйлера определяются так:

θ = arccos (n3)

(12.12)

При θ = 0, ϕ = 0, ψ = arcsin (m1),

 

причем если l1 < 0, то ψ = π-arcsin (m1).

Если ψ < 0, то ψ =ψ +2π .

(12.13)

 

 

l3

 

 

 

m3

 

 

 

ψ = arcsin

 

 

 

 

При θ 0

2

, причем если

 

 

< 0 ,

 

 

1n3

 

 

 

1n32

 

 

l3

 

то ψ = π arcsin

 

 

2

 

1n3

 

Если ψ < 0, то ψ =ψ +2π .

(12.14)

Далее ϕ = arcsin 1n3n32

причем если 1n2n32 < 0 ,

то ϕ = π arcsin 1n1n32 .

Если ϕ < 0, то ϕ = ϕ +2π .

109

Рис. 12.1

12.5 КЭ оболочки

Моделируется напряженное состояние (в плоскости X1OY1), характеризуемое нормальными и касательными напряжениями в срединной поверхности, а также изгибными усилиями.

Осевые напряжения вычисляются для нижней и верхней поверхностей:

н

 

M

н

 

My

 

н

Mxy

 

N x

в = N x ± 6

x

;

N y

в = N y ± 6

 

;

Nxyв = N xy ± 6

 

; (12.15)

h2

h2

h2

Главные напряжения для этих поверхностей вычисляются по формулам (12.3) и (12.4).

В срединной поверхности игнорируется влияние напряжений Txy, Tyz

от перерезывающих сил.

 

12.6 Вид НДС

 

Для объемных конечных

элементов производится вычисление

параметра Лоде-Надаи, характеризующего вид НДС.

 

N N

 

µ = 2

2 3

1

(12.16)

N1N3

Значение

110