12. ПРОВЕРКА ПРОЧНОСТИ ПО РАЗЛИЧНЫМ ТЕОРИЯМ
Вычисление главных и эквивалентных напряжений в стержневых, плоскостных и объемных конечных элементах по усилиям от отдельных загружений, а также по расчетным сочетаниям загружений (РСН) или по РСУ производится при помощи системы ЛИТЕРА.
12.1 Главные напряжения
Главные напряжения вычисляются в соответствии с видом напряженно-деформированного состояния (НДС), полученного в результате расчета схемы. Каждый тип конечных элементов обладает определенными особенностями, соответствующими тому НДС, которое ими моделируется при создании расчетной схемы. Так, например, КЭ балки- стенки моделируют плоское напряженное состояние и т.п.
В общем случае НДС в точке тела описывается шестью осевыми компонентами тензора напряжений:
N |
x |
, |
T |
, |
T |
|
|
|
|
|
xy |
|
xz |
|
|||
SH = Txy , |
N y , |
Tyz |
(12.1) |
|||||
T |
|
, |
T |
|
, |
N |
|
|
|
yz |
|
||||||
xz |
|
|
|
|
z |
|
||
Возможны случаи, когда какие-либо напряжения равны нулю. Для плоского НДС, например, тензор напряжений принимает вид:
|
|
, |
Txy , |
|
|
|
N x |
0 |
|
||
SH |
= Txy , |
N y , |
0 |
(12.2) |
|
|
|
|
0, |
|
|
|
0, |
|
0 |
|
|
В любом |
случае |
главные напряжения |
выстраиваются так: |
||
N1≥N2≥N3.
12.2 КЭ плоской задачи теории упругости
Моделируется плоское напряженное состояние в плоскости X1OZ1. Главные напряжения вычисляются в центре тяжести каждого
элемента в его срединной поверхности:
|
|
|
|
N |
x |
+ N |
z |
|
|
N |
x |
+ N |
z |
2 |
|
12 |
|
N |
|
|
= |
|
|
|
± |
|
|
|
+T 2 |
(12.3) |
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1, |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
xz |
|
||||
Угол наклона наибольшего главного напряжения N1 к оси X1: |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
N1 − |
N x |
|
|
|
|||||
ϕ = arctg |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
(12.4) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Txz |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
12.3 КЭ плиты
Моделируется напряженное состояние в плоскости X1OY1, характеризуемое изгибными усилиями. Осевые напряжения вычисляются
107
для нижней и верхней поверхностей:
н |
|
6 M |
н |
|
6 M y |
|
н |
6 Mxy |
|
|
|
N x |
в = ± |
x |
; |
N y |
в = ± |
|
; |
Txyв = ± |
|
; |
(12.5) |
h2 |
h2 |
h2 |
|||||||||
h-толщина плиты.
Главные напряжения и углы их наклона вычисляются по формулам
(12.3) и (12.4).
В срединной поверхности возникают касательные напряжения:
T =15. |
Q |
x |
; |
T |
|
=15. |
Qy |
, |
(12.6) |
|
|
yz |
|
||||||
xy |
h |
|
|
h |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
которые при вычислении главных напряжений игнорируются.
12.4 КЭ объемного НДС
Определение главных напряжений в этом случае производится из решения кубического уравнения.
S 3 + pS + q = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(12.7) |
|||||||||||
где : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p = −(− Sx S y − S y Sz − Sz Sx +Txy2 +Txz2 +Tyz2 ); |
||||||||||||||||||||
|
q = −(Sx S y Sz + 2TxyTxz Tyz − SxTyz2 − S yTxz2 − SzTxy2 ); |
||||||||||||||||||||
|
Sx = N x − N0 ; |
|
S y = N y − N0 ; Sz = N z − N0 ; |
||||||||||||||||||
|
N0 |
= |
|
N x |
+ N y |
+ N z |
; Sx + S y + Sz = 0. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Корни уравнения (12.7): |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
p |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
cosϖ , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
S1 = 2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
p |
|
|
12 |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
||||||
S3 |
= −2 |
|
3 |
|
cos(ϖ |
+ 3 ), |
|
||||||||||||||
|
|
(12.8) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
p |
|
|
12 |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
||||||
S2 |
= −2 |
|
|
3 |
|
cos(ϖ |
− 3 ), |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где : ϖ = |
|
arccos |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3 |
|
|
|
p |
|
|
|
|
p |
|
12 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Главные напряжения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Ni |
= Si + N0,i |
=1,2,3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(12.9) |
|||||||
Затем вычисляются направляющие косинусы углов наклона осей к осям местной системы координат КЭ из системы уравнений вида:
108
(Nx − Ni )li + Txy mi + Txz ni = 0 |
|
|
|
|
|
Txy li +(N y − Ni )mi + Tyz ni = 0 |
(12.10) |
|
|
T l + T m +(N − N )n
xz i yz i z i i
где i=1,2,3.
Решив систему трижды, получим матрицу направляющих косинусов:
|
, |
m1 |
, |
n1 |
|
|
l1 |
|
|
||||
A = l2 , |
m2 , |
n2 |
|
(12.11) |
||
|
|
|
|
|
|
|
l3 |
, |
m3 , |
n3 |
|
||
В этом случае вычисляются три угла Эйлера, определяющие положение трех главных напряжений относительно местной системы координат (рис. 12.1):
−θ (тета)- угол (нутации) между положительными направлениями осей
OZ1 и N3 (0 ≤ θ ≤ π);
−ψ (пси) - угол (прецессии) между осью OX1 и осью OA (линия
пересечения плоскостей X1OY1 и |
N1ON2), |
положительное |
направление которой выбирается так, |
что OA, OZ1 и N3 образуют |
|
правую тройку. Угол ψ отсчитывается от оси OX1 к OY1 (0 ≤ ψ ≤ 2π) − ϕ - (фи) - угол (чистого вращения) между осями N1 и ОA
отсчитывается от оси N1 к N2 |
(0 ≤ ϕ ≤ 2π). |
Значения углов Эйлера определяются так: |
|
θ = arccos (n3) |
(12.12) |
При θ = 0, ϕ = 0, ψ = arcsin (m1), |
|
причем если l1 < 0, то ψ = π-arcsin (m1). |
|
Если ψ < 0, то ψ =ψ +2π . |
(12.13) |
|
|
l3 |
|
|
|
m3 |
|
|
|
ψ = arcsin |
|
|
|
|
|||
При θ ≠ 0 |
2 |
, причем если |
− |
|
|
< 0 , |
||
|
|
1−n3 |
|
|
|
1−n32 |
|
|
|
l3 |
|
то ψ = π − arcsin |
|
|
2 |
||
|
1−n3 |
|
Если ψ < 0, то ψ =ψ +2π . |
(12.14) |
|
Далее ϕ = arcsin 1n−3n32
причем если 
1n−2n32 < 0 ,
то ϕ = π − arcsin 1−n1n32 .
Если ϕ < 0, то ϕ = ϕ +2π .
109
Рис. 12.1
12.5 КЭ оболочки
Моделируется напряженное состояние (в плоскости X1OY1), характеризуемое нормальными и касательными напряжениями в срединной поверхности, а также изгибными усилиями.
Осевые напряжения вычисляются для нижней и верхней поверхностей:
н |
|
M |
н |
|
My |
|
н |
Mxy |
|
|
N x |
в = N x ± 6 |
x |
; |
N y |
в = N y ± 6 |
|
; |
Nxyв = N xy ± 6 |
|
; (12.15) |
h2 |
h2 |
h2 |
||||||||
Главные напряжения для этих поверхностей вычисляются по формулам (12.3) и (12.4).
В срединной поверхности игнорируется влияние напряжений Txy, Tyz
от перерезывающих сил. |
|
||
12.6 Вид НДС |
|
||
Для объемных конечных |
элементов производится вычисление |
||
параметра Лоде-Надаи, характеризующего вид НДС. |
|||
|
N −N |
|
|
µ = 2 |
2 3 |
−1 |
(12.16) |
N1−N3 |
|||
Значение
110