Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский государственный архитектурно-строительный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

MIRONOFF

.DOC

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

233.47 Кб

Скачать

☆

ЛЕКЦИЯ 4. Численные методы линейной алгебры(продолжение)

Итерационные методы решения СЛАУ

Один из методов решения СЛАУ

{

. (1)

состоит в следующем. Преобразуем систему (1) к виду

{

(2)

где буквы и означают новые значения коэффициентов.Это можно сделать многими способами,например,можно перенести все члены уравнений (1) в правую часть и затем прибавить к обеим частям i-того уравнения неизвестное . Далее, зададим начальное (нулевое) приближение корней

и построим последовательность приближений по правилу

{

(3)

Если существуют пределы

, j=1,2,... n, (4)

то они являются искомыми корнями. Действительно, переходя в (3) к пределу мы видим, что должны заменить величинами и числа в правой части, и в левой. Значит, пределы (4) удовлетворяют СЛАУ (2), а тогда - и эквивалентной системе (1).

Таким образом, мы получили следующий алгоритм:

1. Выбираем начальное (нулевое) приближение.

2. Вычисляем первое приближение, положив в формуле (3) i=0.

3. Вычисляем второе приближение, положив в формуле (3) i=1.

m. Вычисляем (m+1)-ое приближение, положив в (3) i=m. Если это приближение отличается от предидущего м-того менее чем на e, где e- заранее заданная допустимая погрешность, то мы останавливаемся и полагаем, j=1,2,... n.

Здесь многократно повторяются вычисления по формуле (3). Результат каждого вычисления (левая часть) на следующем шаге подставляется в правую часть в качестве аргумента. Такие вычислительные процессы называются итерационными, а каждый шаг процесса называется итерацией.

Сушествует много итерационных методов решения СЛАУ. Рассмотреный выше метод называется методом простых итераций.

Итерационные методы не являются прямыми, поскольку количество шагов нельзя определить заранее.

В связи с каждым итерационным методом возникают следующие вопросы:

а) при каких условиях метод сходится, т.е. когда мы можем быть уверены в существовании предела (4)?

б) насколько обоснованно правило остановки?

Последний вопрос означает следующее. Вообще говоря, возможжна ситуация, когда m-тое и (m+1) приближенияочень близки между собой, но их отклонение от значения предеоа (4) при этом велико, т.е. наше превило остановки может дать недопустимо большую погрешность. Как обезопасить себя от такой неприятности - вот в чем смыл второго вопроса.

Ответ на эти оба вопроса дает следующий результат весьма общего характера.

Принцип сжатых отображений.

Пусть R есть n-мерное векторное пространство, т.е. множество всех n-мерных векторов u=(u₁, u₂, ... u_n). Закон соответствия, связывающий каждый вектор u с некоторым новым вектором v называется отображением пространства на себя. Пишут v=Au, где А обозначение данного отображения. Напомним, что

Определение. Отображение А называется сжатым, если

(5)

для любых двух векторов u,v и некоторого не зависящего от них числа q, причем 0<q<1.

Для сжатых отображений легко выясняются все вопросы, касающиеся решения уравнения

xⁱ=Ax (6)

итерационными методами.

Теорема. Если А есть сжатое отображение, то :

1) уравнение (6) имеет единственное решение х^*,

2) это решение может быть найдено как предел последовательных приближений, построенных по правилу

хⁱ⁺¹=Axⁱ (7)

где начальное приближение х⁰ может быть выбрано произвольно,

3) отклонение m-того приближения от точного решения удовлетворяет оценке

/(1-q) (8)

Первые два из этих утверждений часто называют принципом сжатых отображений.

Доказательство.

Обозначим . Тогда ,

и т.д. В итоге получим

(9)

Очевидно,

x^j+i=x⁰+(x¹-x⁰)+(x²-x¹)+....+(xⁱ⁺¹-xⁱ),

т.е. предел последовательности (7) существует, если сходится ряд

(10)

(сходимость ряда из векторов понимается покоординатно). Но согласно (9) для j -тых координат имеем

и последний ряд сходится, как сумма геометрической прогрессии знаменатель которой меньше единицы. И так, ряд (10) сходится. Значит, предел последовательности (7) существует и равен х⁰+s. Но тогда этот предел дает решение уравнения (6). Таким образом, мы доказали, что уравнение (6) разрешимо, и что одно из его решений может быть получено итерационным методом (7). Нам осталось доказать единственность решения и оценку погрешности (8).

Единственность мы докажем от противного. Допустим, что уравнение (6) имеет два решения х и у. Тогода

Но отсюда

(1-q)<0,

и, поскольку (1-q)>0,

но это возможно лишь если х=у. Единственность доказана.

Теперь докажем оценку (8). Имеем

Очевидно,

Теорема доказана.

Поскольку 1/(1-q)>1, то разность двух последовательных приближений действительно может оказаться меньше реальной погрешности. При вычислениях, требующих высокой точности, мы должны откорректировать правило остановки с учетом формулы (8): останавливаться следует при

Теперь мы должны выяснить, чему равна характеристика q для СЛАУ. Для этого нам сначала придется получить одно обобщение принципа сжатых отображений.

Нормы векторов.

В этом доказательстве мы не использовали геометрических свойств величины , т.е. длины вектора. Нам нужны лишь несколько алгебраических свойств этой величины, в первую очередь неравенство треугольника

а также тот факт, что величина неотрицательна и равна нулю лишь если вектор x нулевой.

Определение.

Пусть задано правило, связывающее с каждым вектором х неотрицательное число . Это число называется нормой вектора, если выполнены три условия:

1) тогда и только тогда, когда х=0,

2) для любых двух векторов выполнено неравенство

3) для любого вектора х и любого числа с выполнено равенство

В частности, нормой является длина. Но существуют и другие векторные нормы. Так, совсем нетрудно показать, что нормой является величина

(11)

Любая такая норма может быть использована в принципе сжатых отображений. Т.о. справедлива

Теорема.

Пусть для отображения А можно указать такую векторную норму что

для любых двух векторов u,w и некоторого фиксированного числа q, причем 0<q<1. Тогда уравнение (6) имеет единственное решение, которое является пределом последовательности (7) при любом начальном приближении, и прогрешность этого итерационного процесса удовлетворяет оценке (8).

Норма матрицы.

С каждой нормой n-мерных векторов можно связать следующую характеристику квадратных матриц размера n на n, также называемую нормой.

Определение. Пусть есть некоторая векторная норма, а М-квадратная матрица. Величина

max ,

где максимум берётся по всем векторам e со свойством ,называется нормой матрицы М (ассоциированной с исходной векторной нормой) и обозначается .

Любой вектор х может быть представлен в виде x=re, где r-его норма, а е-вектор еденичной нормы. Поэтому

т.е. для любого вектора соответствующей размерности имеем

Вычисление нормы матрицы , ассоциированной с длиной вектора, довольно громоздко. Гораздо легче вычисляется матричная норма, ассоциированная с векторной нормой (11).

Теорема.Величина равна наибольшей из сумм абсолютных величин элементов строк матрицы М.

Доказательство.Для простоты докажем это при n=2, в общем случае доказательство совершенно аналогично. Пусть

М=()

e=. Условие означает, что i=1,2. Но

Me={m₁₁e₁+m₁₂e₂, m₂₁e₁+m₂₂e₂}

иmax {, }<=

max {

Пусть, для конкретности, сумма абсолютных величин элементов первой строки больше, чем второй, т. е.

Рассмотрим вектор v={v₁, v₂}, где v₁=+1, если m₁₁ положительно, и

v₁=-1, если m₁₁ отрицательно. Аналогично, v₂=+1 или -1 в зависимости от знака m₁₂ . Очевидно, и .

Теорема доказана.

Сходимость метода простых итераций.

Уравнение (2) можно записать в виде (6), где отображение А определяется как

Ах=Мх+В,

где M-квадратная матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных в правых частях (2), а В-вектор, составленный из свободных членов. Для любых двух векторов u,v и для любой векторной нормы имеем

т. е. это отображение является сжатым, если

где - какая-либо норма матрицы М.

В частности, теперь мы можем сказать, что метод простых итераций сходится, если сумма абсолютных величин коэффициентов при неизвестных в правой части каждого из уровней (2) меньше еденицы. Наибольшая из этих сумм может использоваться в качестве величины q в оценке погрешности (8).

Метод Гаусса-Зейделя является усовершенствованием метода простых итераций, основанным на следующем замечании. При вычислении очередного приближения по формуле (3) мы можем использовать значения x_jⁱ по мере их вычисления, а не дожидаться следующего (i+1)-го шага. Кроме того, метод Гаусса-Зейделя предполагают следующий стандартный путь преобразования системы (1) к виду (2): в i-ом уравнении мы должны перенести в правую часть все члены, кроме a_iix_i и поделить на a_ii. Получается система

{	x₁=(-a₁₂x₂-a₁₃x₃-...-a_1nx_n+b₁)/a₁₁ x₂=(-a₂₁x₁-a₂₃x₃-...-a_2nx_n+b₂)/a₂₂(2) ............................................... x_n=(-a_n1x₁-a_n2x₂-...-a_n,_n-1x_n-1+b_n)/a_nn

C учётом связанного выше, формула (3) для вычисления последующих приближений приобретает вид

{	x₁ⁱ⁺¹=(-a₁₂xⁱ₂-a₁₃xⁱ₃-...-a_1nxⁱ_n+b₁)/a₁₁ x₂ⁱ⁺¹=(-a₂₁x₁ⁱ⁺¹-a₂₃xⁱ₃-...-a_2nx_nⁱ+b₂)/a₂₂ ..................................................... x_nⁱ⁺¹=(-a_n1x₁ⁱ⁺¹-a_n2x₂ⁱ⁺¹-...-a_n,n-1x_n-1ⁱ⁺¹+b_n)/a_nn

Использование (i+1)-го приближения неизвестного x_k при вычислении (i+2)-го приближения для х_m при m>k может существенно ускорить сходимость процесса.

Следует, однако, помнить, что метод Гаусса-Зейделя сходится не всегда. Поскольку этот метод есть разновидность метода простых итераций, то для его сходимости достаточно, чтобы норма матрицы, составленная из коэффициентов при неизвестных в правой части (2) была <1. Эта матрица имеет вид

0, -a₁₂/a₁₁,-a₁₃/a₁₁,...,-a_1n/a₁₁

a₂₁/a₂₂, 0 -a₂₃/a₂₂,...,-a_2n/a₂₂

-a₃₁/a₃₃,-a₃₂/a₃₃, 0 ,...,-a_3n/a₃₃

...............................................

-a_n1/a_nn,-a_n2/a_nn,-a_n3/a_nn,..., 0

и мы получаем условие

или

k=1,2,...,n.

Иначе говоря, для сходимости метода Гаусса-Зейделя достаточно, чтоб

каждый диагональный элемент главной матрицы системы (1) по абсолютной величине превосходил сумму абсолютных величин остальных элементов своей строки. Это условие называется условием доминирования диагонали.

Метод Гаусса-Зейделя очень легко прогаммируетсяю Приведём вариант программы.

10 REM МЕТОД ЗЕЙДЕЛЯ

20 REM ВВОД ИСХОДНЫХ ДАННЫХ

30 DIM A(4,4),B(4),X(4_

40 N=4

51 DATA

52 DATA

53 DATA

54 DATA

60 FOR I=1 TO N

70 FOR J=1 TO N

80 READ A(I,J)

90 NEXT J

100 READ B(I)

110 NEXT I

120 REM КОНЕЦ ВВОДА ИСХОДНЫХ ДАННЫХ

130 FOR I=1 TO N

140 FOR J=1 TO N

150 A(I,J)=A(I,J)/A(I,I)

160 NEXT J

170 B(I)=B(I)/A(I,I)

180 A(I,I)=0

190 NEXT I

200 FOR I=1 TO N

210 FOR J=1 TO N

220 X(I)=B(I)-A(I,J)*X(J)

230 NEXT J

240 PRINT “X(“;I;”)=“;X(I)

250 NEXT I

260 PRINT “ЕСЛИ НУЖНО ПРОДОЛЖАТЬ, ВВЕДИТЕ 1, ЕСЛИ НЕТ- 0”

270 INPUT “ПРОДОЛЖАТЬ” T

280 IF T=1 THEN 200

290 STOP

300 END

Задачи на собственные знания.

Собственное число квадратной матрицы А-это такое число l, для которого можно подобрать такой нулевой вектор х, что

(12)

Такой вектор х тоже называют собственным. Если х-собственный вектор, то сх, где с-любое нулевое число, также есть собственный вектор. Действительно, А(сх)=сАх=сlx=l(сх). Положив с=1/, мы получим собственный вектор сх единичной длины. Такой собственный вектор называется нормированным.

Из линейной алгебры известно, что все собственные значения (числа) матрицы А=(а_ij)-есть корни уравнения

det (13)

Но использование этого уравнения для отыскания собственных значений матрицы обшего вида и высокой размерности приводит к необозримым вычислениям и очень большим погрешностям.

Здесь мы опишем итерационный метод отыскания одного из собственных значений. Он состоит в следующем.

Зададимся начальным (нулевым) приближением собственного вектора Вычислим вектор и положим l⁽¹⁾=. Тогда также есть 1, т. е.это нормированный вектор. Далее вычислим и получим Тогда также . Продолжая процесс, мы получим последовательность векторов и чисел l^к, связанныч соотношением

(14)

Если пределы lim l^(k), lim существуют, то

т. е. l-есть собственное значение матрицы А. Можно доказать, что при удачном выборе начального приближения эти пределы существуют, и, что полученное таким образом собственное значение является наибольшим из собственных значений матрицы А.