Раздел 12 анализ напряженно-деформированного состояния в точке тела

I. Объемное напряженное состояние

1. Полное, нормальное и касательное напряжения на наклонной площадке

На рис. 11.3 показаны компоненты полного напряжения на наклонной площадке . Очевидно, что его численное значение определяется так

Подставляя сюда формулы (11.4) найдем

(12.1)

Здесь и – направляющие конусы нормали к площадке . Полное напряжение можно разложить на нормальное и касательное напряжения на наклонной площадке. Очевидно, что . Напряжение можно найти, проектируя и на нормаль , т.е. . С учетом формул (11.4) получим

(12.2)

Касательное напряжение можно найти так

(12.3)

2. Главные напряжения, главные площадки

На наклонной площадке, у которой орт нормали совпадает с направлением , величина , а будет экстремально и равно . Такая площадка называется главной (ее направление определяют направляющие косинусы, которые обозначим ). А напряжения на ней обозначим . Все его проекции на оси будут . Подставим их в формулы (11.4)

или (1)

Надо найти и при известных напряжениях в точке тела .

Очевидно, что .

Из этого следует, что одновременно не могут быть равны нулю. Тогда система уравнений (1) имеет решение, если ее определитель , т.е.

(3)

Раскрывая этот определитель получим, с учетом закона парности касательных напряжений:

(4)

(5)

После перемножений и приведения подобных членов найдем

(12.4)

Где:

(12.5)

Величины и называются инвариантами тензора напряжений (легко убедится, что есть определитель ). При повороте осей компоненты меняются, но и при этом не должны меняться, т.к. , определяемые из (12.4), не зависят от выбора положения осей , а зависят от нагружения тела.

Решение кубического уравнения (12.4) дает три корня для , которые и называются главными напряжениями. Итак, имеем три главных напряжения, которые действуют на трех главных площадках, определяемых . Например, найдем главной площадки, где действует . Для этого составим три уравнения: и любых два уравнения из системы (1), подставляя в них . Решая эти три уравнения, найдем . Аналогично определяются две другие площадки, где действуют и . Можно показать, что главные площадки взаимно ортогональны.

Инварианты напряженного состояния через главные напряжения определяются с учетом (12.5) так:

Здесь учтено, что на главных площадках нет касательных напряжений.

3. Экстремальные касательные напряжения

Вырежем из тела малый тетраэдр, у которого координатные оси совпадают с направлениями главных напряжений, т.е. на невидимых площадках действуют только и (см. рис. 11.3). Найдем касательное напряжение на наклонной площадке с ортом .

Полное напряжение на ней и нормальное получим из зависимостей (12.1) и (12.2), полагая в них: , , т.к. на главных площадках касательных напряжений нет

(6)

Касательные напряжения на наклонной площадке найдем по (12.3), подстановкой (6)

После преобразований, получим

(7)

Условие экстремальности по параметрам и дает три решения, которые определяют три площадки с экстремальными :

Третьему решению соответствуют рис.а, т.е. это площадка под углами 45 к осям с и и проходящая через ось 3. Подставляя и в выражение (7), получим

Рис.а

Окончательно

(8)

Аналогично, на площадках с решениями 1) и 2), можно найти экстремальные и .

Итак, имеем три площадки, на которых действуют экстремальные касательные напряжения:

(12.6)