Раздел 2. Геометрические характеристики плоских сечений

площадь является простейшей геометрической характеристикой поперечного сечения. На практике легко убедиться, что сопротивление прямых стержней при растяжении (сжатии) пропорционально площади поперечного сечения.

При расчетах же на изгиб, кручение, сложное сопротивление, при расчетах на устойчивость используются более сложные геометрические характеристики сечений. Знание только площади поперечного сечения стержня при этих видах деформации недостаточно. В этом нетрудно убедиться на практике. На рис. 2.1 видно, что при одной и той же площади в зависимости от ориентировки поперечного сечения, стержень по разному сопротивляется действию одной и той же поперечной силы .

Рис. 2.1

К более сложным геометричес-ким характеристикам сечения относятся: статический момент, осевой, полярный и центробежный моменты инерции. Эти геометрические характеристики зависят от формы, размеров сечения, от положения осей и точек (полюсов), относительно которых они вычисляются. Статическим моментом сече-ния относительно некоторой оси называется взятая по всей его площади сумма произведений

элементарных площадок на их расстояния до этой оси, т.е.

(2.1)

Рис. 2.2

Статические моменты выража-ются в см3, м3 и т.д. Из теоретической механики известно, что координаты центра тяжести фигуры определяются по формулам: (2.2)

Поэтому

(2.3)

Из выражения (2.3) видно, что статические моменты фигуры относительно осей, проходящих через центр тяжести этой фигуры, равны нулю. Оси координат, проходящие через центр тяжести фигуры называются центральными осями.

Осевым (или экваториальным) моментом инерции сечения относительно некоторой оси называется взятая по всей его площади А сумма произведений элементарных площадок на квадраты их расстояний от этой оси, т.е.

(2.4)

Полярным моментом инерции сечения относительно некоторой точки (полюса) называется взятая по всей его площади А сумма произведений элементарных площадок на квадраты их расстояний от этой точки, т.е.

(2.5)

Центробежным моментом инерции сечения относительно некоторых двух взаимно перпендикулярных осей называется взятая по всей его площади А сумма произведений элементарных площадок на их расстояния от этих осей, т.е.

(2.6)

Моменты инерции имеют размерность см⁴, м⁴ и т.д.

Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны, т.к. под интегралом координаты х, у и берутся в квадратах. Полярный момент инерции

(2.7)

равен сумме двух осевых моментов инерции.

Здесь , что следует из рис. 2.2.

Рис. 2.3

Если через какую-либо т.О фигуры (рис. 2.3) провести две системы прямоугольных координат и и определить моменты инерции относительно этих осей, то получим равенство (2.8) Это равенство следует из того, что каждая из указанных сумм порознь равна полярному моменту относительно т.О.

Центробежный момент инерции берется относительно двух осей. Он может быть положительным, отрицательным и равным нулю. Случай, когда центробежный момент инерции равен нулю, заслуживает особого изучения и будет рассмотрен ниже.

Рис. 2.4

Известно, что интеграл по площади равен сумме интегралов, взятых по отдельным частям, составляющим эту площадь. Поэтому при вычислении моментов инерции (и статических моментов) сложной фигуры отно-сительно какой-либо оси, можно последнюю разбить на ряд простых фигур (рис. 2.4) и для каждой из них вычислить момент инерции относи-тельно этой оси. Тогда момент

инерции всей фигуры определиться как сумма моментов инерции составных частей:

Аналогично

Замечание: Нельзя суммировать моменты инерции, вычисленные относительно различных осей и точек.

Зависимость между моментами инерции относительно

параллельных осей

a Рис. 2.5

Предположим (рис. 2.5), что площадь фигуры и моменты инерции относительно осей и заданы. Определим моменты инерции относительно новых осей и , параллельных заданным. Из рис.2.5 устанавливаем зависимость между координа-тами: Пользуясь общей формулой для осевых моментов инерции:

аналогично .

Для центробежного момента инерции имеем

Если оси и центральные, то статические моменты относительно них равны нулю (). Тогда формулы для моментов инерции относительно осей, параллельных центральным, примут вид:

(2.9)

Формулы (2.9) часто применяют для вычисления моментов инерции сложных фигур.

Складывая первые два выражения равенств (2.9) и учитывая, что , получим формулу для полярного момента инерции

Если заданными являются моменты инерции относительно произвольных осей, то для центральных осей, параллельных данным осям, путем решения уравнений (2.9) относительно и получим следующие выражения:

(2.10)

Из этих формул видно, что моменты инерции относительно центральных осей имеют наименьшие значения по сравнению с моментами инерции относительно любых других параллельных осей.