Определение напряжений

Ранее получены формулы для определения оти:,. По аналогии можно записать формулу дляот(а). В этих формулаххиукоординаты точки сечения бруса, где определяется. Очевидно, что при(сжатие) получается. Поэтому в формуле (а) стоит знак минус. При одновременном действие в сечении бруса,исуммарные напряжения в любой точки сечения с координатамихиу можно определить так

(7.2)

Это одна из основных формул сопротивления материалов. В (7.2) ,,и координаты точки сеченияхиунадо подставлять со своими знаками. Еслиполучится, значит в этой точке сечения – растяжение, еслито сжатие. Это важно при оценке прочности хрупких материалов.

От в сечении бруса возникают, определяемые по известной формуле Журавского. Аналогично, отвозникают, определяемые по формуле. От кручениякруглых валов возникают, определяемые известной формулой. Направления касательных напряжений от,ибыли выяснены раньше. В каждой точки сечения эти напряжения надо суммировать геометрически (векторно), т.е. суммарные напряжения

0  Рис.7.4

На рис. 7.4 показаны правила геометрического сложения напряжений ,ив т.Вкруглого сечения бруса. Определив в этой же точке «В»отпо (7.2), можно оценить прочность в точке «В» сечения по одной из теорий прочности. Например, поIIIтеории прочности получим

Рассмотрим подробнее частные случаи сложного сопротивления бруса.

I. Косой изгиб

Здесь в поперечных сечениях бруса могут быть ,,, а. Косой изгиб может бытьчистым, когда вдоль бруса отсутствуют=ипоперечным, когдаи, апеременны по длине бруса. Косой изгиб может бытьплоским, когда вся внешняя нагрузка лежит в одной плоскости ине плоским, когда нагрузки в плоскостяхиизменяются произвольно по длине бруса.

Величины и знаки ,,ив любом сечении бруса определяются из эпюр. Введем понятиеполный изгибающий момент, определяемый так

(7.3)

Если ипредставить в виде векторов (длина векторов определяет величинуи, а направления по правилу правого «буравчика»), тоесть геометрическая суммаи, что показано на рис. 7.5. Положениеудобно определять углом, который он составляет с осью(отсчитывается от осипротив хода часовой стрелки). Из рис. 7.5 видно:

Рис.7.5

(1) Отсюда (2) Нормальное напряжение в любой точки сечения с координатамииопределяется по формуле (7.2), полагая в ней (7.4)

С учетом (1) (7.5)

Рис.7.6

В формулы (7.4) и (7.5) все надо подставить со своими знаками: знаки иберутся из эпюр,всегда. Величина и знакопределяется из формулы (2). Во многих случаях известны величина и направле-ние поперечной нагрузки (или), направлениях их будем определять углом, отсчи-тываемый от оси(рис. 7.6),

против хода часовой стрелки. В произвольном сечении балки на расстоянии от торца отвозникнет, который с направлениемсоставляет угол 90, а с осьюугол, т.е.. Знаяи,можно вычислять по (7.5). Но проще силуразложить по осями, т.е.,(видно из рис. 7.6). Отстроят эпюру, а отэпюруи далееопределяют по формуле (7.4). Аналогично и от погонной нагрузки:, отэпюру, отэпюру.

Нейтральная ось (Н.О)

Нейтральная ось – линия в сечении балки, относительно которой сечение поворачивается, оставаясь плоским (гипотеза Бернулли). Обозначим координаты точек на нейтральной оси через . Согласно определения Н.О в этих точках. Подставляя,в (7.5), сокращая наполучим

(3)

Это уравнение Н.О. Видно, что это уравнение прямой линии проходящей через начало координат, т.к. при должно быть. Положение Н.О удобно определять через угол ее наклона к одной из осей координат. Обозначимугол наклона Н.О к оси(рис. 7.7),против хода часовой стрелки.

Рис.7.7

Из рис. 7.7 видно (4) Из (3) следует (5) С учетом (4) получим (7.6) Плоскость изгибающей нагрузки перпендику-лярна , а плоскость изгиба (прогибов) пер-

пендикулярна Н.О. При эти плоскости не совпадают, поэтому эту деформацию и назвали «косой изгиб». При(сечение квадратное, круглое и т.д.)и косого изгиба не будет.

Определение напряжений. Расчеты на прочность.

а Рис.7.8

Для исследования напряженного состояния в сечении бруса строят эпюры в аксонометрии (Эп.) или в плоскости сечения (Эп.), используя формулы (7.4) или (7.5), эпюры показаны на рис. 7.8. Для построения эпюр вычисляютв угловых точках сечения () и откладывают их в масштабе с учетом знаков (– растяжение, наружу от сечения, (–) – сжатие - противоположно).

Далее точки соединяют прямыми линиями, т.к. из (7.4) и (7.5) видно, что линейны по координатами. Итак, Н.О делит сечение на две зоны, растянутуюи сжатую (–) (рис. 7.8).

Для построение эпюры перпендикулярно Н.О проводят линию. В т. «» в масштабе откладывают, а в т. «а»и далее соединяют их прямой линией.

Из эпюр видно, что экстремальные напряжения возникают в точках сечения, наиболее удаленных от Н.О. Это будут т.1 и т.3. В нихи по (7.4)

где

Итак, в т.1 и т.3 сечения равны по величине и противоположны по знаку

(7.7)

Здесь знак выбирают по физическому смыслу, в растянутой зоне, (–) в сжатой. Аналогично определяются в других сечения с выступающими углами.

Для балок из пластичных материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие, условие прочности в опасном сечении бруса можно записать так с учетом (7.7)

(7.8)

При подборе размеров сечения балки используем вторую формулу (7.8), при этом надо задать отношение с учетом рационального расположения сечения: для прямоугольника при(размервдоль оси) еслито; если, то размервдоль оси(т.е. повернуть на 90) и. Условие прочности одно, а неизвестных дваи, поэтому сами задаем отношение. Знаяпо (7.8) вычисляем необходимый, а по нему размерыис учетом отношения. При подборе стандартных двутавров и швеллеров аналогично: еслисечение располагаем вертикально, как в таблицах ГОСТа и берем: для двутавров, для швеллеров; еслисечение располагаем горизонтально и для двутавров, для швеллеров. Далее по (7.8) находимый необходимыйи по нему стандартный номер профиля (в первом случае, во втором). Определив номер профиля, делаем его проверку по первой формуле (7.8), подставляя табличные значенияииз ГОСТа с учетом вышеуказанного в скобках. Можно учесть, добавив.

Для произвольного сечения условия прочности имеют вид : надо найти наиболее удаленные от Н.О точки сечения, найти в них и сравнить их с допускаемыми.

Для балок из хрупких материалов отдельно делается проверка прочности в растянутой (р) и сжатой (сж) зонах, т.к. для них . Размеры произвольного сечения определяются методом попыток (подбором). При каждой попытке необходимо уточнить положение Н.О и координаты точек сечения с .

Определение прогибов

Определяют закон изменения прогибов в плоскостикак указано в разделе 5, используя известное уравнениеи метод Клебша. Далее определяют прогибыв горизонтальной плоскостииспользуя метод Клебша и аналогичное уравнение. Полный прогиб «» в любом сечении балки найдем геометрическим сложеним прогибовив каждом сечении:. Вычислив «» в нескольких сечениях по длине балки, строят изогнутую ось балки и проверяют ее жесткость.