Техническая механика - 1 семестр / Лекции Мартышев В.П / 13 раздел

Раздел 13

физические уравнения.

теории прочности

Физическим уравнениями называются соотношения, устанавливающие зависимости между напряжениями и деформациями. Экспериментально легко получить зависимость в случае осевой нагрузки (см. диаграммы растяжения-сжатия, приведенные в разделе 3 – механические свойства материалов). Сложные эксперименты с трубчатыми образцами позволяют получить такие зависимости для плоского напряженного состояния. Для трехмерного тела в общем случае нагружения, физические уравнения можно получить на основе одномерных экспериментов, используя некоторые гипотезы, проверенные практикой.

Обобщенный закон Гука

Рассмотрим трехмерное изотропное тело. Пусть в некоторой его точке возникают , которым соответствуют деформации . Найдем связь между ними, используя следующие гипотезы, подтвержденные экспериментально:

1. Деформации малы, поэтому напряжения и деформации связаны линейно.

2. Сдвиги не влияют на линейные деформации и наоборот.

Найдем деформации в направлении оси х от и :

от получим продольная деформация по простому закону Гука;

от получим поперечная деформация по эффекту Пуассона;

от получим поперечная деформация.

При одновременном действии и суммарная деформация

.

Аналогично можно найти и .

Согласно гипотезе 2 сдвиг будет определяться напряжением , которые связаны законом Гука при сдвиге . Здесь: продольный модуль упругости, модуль сдвига, коэффициент Пуассона материала.

Итак, в итоге получается шесть уравнений, которые и называются обобщенным законом Гука:

(13.1)

Объемный закон Гука

Сложим первые три зависимости (13.1)

(1)

В разделе 12 формула (12.19) определяет относительное изменение объема, а формула (12.7) гидростатическое давление, которое можно записать еще и так . С учетом этих обозначений (1) можно записать так

или (2)

Обозначим

(13.2)

Тогда (2) запишется в виде, который и носит название объемный закон Гука.

(13.3)

Здесь К – объемный модуль упругости материала.

Из формулы (13.3) с учетом (13.2) следует, что

Допустим, что . Тогда из (13.2) следует, что и при (всестороннее растяжение) из (13.3) получим , т.е. объем тела уменьшается. А это противоречит опыту. При , тело при нагружении не меняет объема, т.е. ведет себя как несжимаемая жидкость.

Энергия деформации

1. Полная энергия деформации.

Ранее были получены формулы для удельной потенциальной энергии при осевой нагрузке , при сдвиге . При трехмерном (объемном) нагружении, в теле возникают напряжения и деформации . В этом случае используют принцип сложения

Подставляя сюда деформации по обобщенному закону Гука (13.1) получим

или

(13.4)

Для элемента тела, вырезанного по главным площадкам, полагая , найдем

(13.5)

Полную энергию можно представить так

(3)

энергия, идущая на изменение объема тела; энергия, идущая на изменение формы тела.

2. Энергия изменения объема

Очевидно, что от гидростатического давления

происходит только изменение объема тела и удельная энергия деформации при этом определяется так

(4)

Подставляя сюда (13.3) и (13.2) получим

или

(13.6)

3. Энергия изменения формы

Ее найдем как разность из (3)

Подставим сюда (13.4) и (13.6), найдем

(5)

Найдем:

С учетом полученного окончательно найдем

(13.7)

Через главные напряжения запишется так

(13.8)

Теории прочности

Наиболее важным этапом расчета конструкции является выполнение условий прочности конструкции.

Введем обозначения: НДС – напряженно-деформированное состояние; опасное напряжение; предел текучести для пластичных материалов; предел прочности для хрупких материалов; допускаемые напряжения при растяжении; допускаемые напряжения при сжатии; и коэффициенты запаса прочности. Для пластичных материалов , для хрупких материалов .

Для одноосного НДС (растяжение или сжатие) условие прочности имеет вид .

В большинстве конструкций возникает сложное НДС, характеризуемое главными напряжениями и главными деформациями (см. раздел 12). При этом возможны различные сочетания их величин и знаков. В каждом конкретном случае оценить прочность конструкции – очень сложная задача. Поэтому, на практике, приходится использовать здесь результаты опытов при одноосном НДС, вводя различные гипотезы о причине разрушения материала.

Установить единую причину разрушения разных материалов при различных НДС пока не удалось. Поэтому появилось несколько теорий прочности.

I теория прочности

Основана на гипотезе: независимо от вида НДС причиной разрушения материала является наибольшее нормальное напряжение. Для безопасного состояния должно быть выполнено условие

В общем случае, когда и имеют разные величины и знаки, условия прочности надо записать так

Недостаток этой теории в том, что не учитывается влияние двух других главных напряжений (каждое отдельно).

Известно, что хрупкие материалы хорошо работают на сжатие и плохо на растяжение. Практика показала, что эта теория прочности применима для хрупких материалов, когда наибольшим из и является растягивающее напряжение.

При плоском напряженом состоянии (ПНС) в материале возникают два главных напряжения и , определяемые формулами (12.10)

(А)

Условие прочности при ПНС записываются так для хрупких материалов в общем случае

А с учетом (А) получим

(13.9)

Сейчас эта теория не применяется и имеет лишь историческое значение.

II теория прочности

Основана на гипотезе: независимо от вида НДС причиной разрушения материала является наибольшая растягивающая деформация. В объемном НДС в теле возникают три главных деформации (см. раздел12), которые через главные напряжения можно определить по Обобщенному закону Гука (13.1). Например

(Б)

Эта теория справедлива и для одноосного НДС, для которого допускаемая деформация может быть найдена по простому закону Гука

(В)

В общем случае, когда имеют разные знаки и для различных материалов условия прочности следует записать так

С учетом (Б) и (В) получим в общем виде

(13.10)

Эта теория прочности более совершенна, чем первая, т.к. учитывает все главные напряжения и тоже рекомендуется для оценки прочности хрупких материалов, когда разрушение происходит путем отрыва.

Для ПНС, когда =0 условия прочности (13.10) упростятся

(13.11)

Обычно и первое условие (13.11) с учетом формул (А) для и , запишется так

(13.12)

III теория прочности

Основана на гипотезе: независимо от вида НДС причиной разрушения материала являются наибольшие касательные напряжения.

Экспериментально установлено, что со сдвигами связаны пластические деформации, поэтому эта теория прочности применима для пластичных материалов, для которых .

Для одноосного НДС касательные напряжения на наклонной площадке определяются по (3.4)

а будут при . Отсюда можно определить допускаемое напряжение

(Г)

В трехмерном НДС экстремальные находятся по формулам (12.6)

(Д)

Условие прочности в общем случае нагружения тела по этой теории можно записать так с учетом (Д) и (Г)

(13.13)

Для ПНС, когда =0 условия (13.13) примут вид

(13.14)

С учетом формул (А) для и получим

(13.15)

Недостаток этой теории в том, что в случае объемного НДС учитывается только по два главных напряжения.

Эта теория лучше всего подтверждается опытами с пластичными материалами, для которых и рекомендуется.

IV теория прочности

Основана на гипотезе: независимо от вида НДС предельное состояние материала наступает в точке тела, где удельная потенциальная энергия изменения формы тела достигает опасной величины. Как показали эксперименты, этот критерий справедлив для пластичных материалов, т.к. изменение формы тела связано со сдвигами, характерными для пластичных материалов.

В объемном НДС величина определяется формулой (13.8)

(Е)

Этот критерий прочности справедлив и для одноосного НДС, когда , и в этом случае будет

Отсюда можно найти допустимую

(С)

С учетом (Е) и (С) условие прочности для объемного НДС по этой теории можно записать так

(13.16)

Для ПНС, когда условие прочности будет

(13.17)

Подставляя сюда и по (А), после преобразований получим

Окончательно

(13.18)

Эта теория прочности называется еще энергетической.

Итак, III и IV теории прочности применяются для пластичных материалов, для которых за опасное состояния принимаются возникновение пластических деформаций. Поэтому эти теории прочности называют условиями пластичности.

V теории прочности (Мора)

Эта теория прочности является достаточно универсальной, т.к. может применяется как к хрупким материалам с разными пределами прочности на растяжение (р) и сжатие (сж), так и к пластичным материалам.

В общем виде объемного НДС эта теория прочности имеет вид

(13.19)

Здесь и коэффициенты запаса прочности при растяжении и сжатии.

Недостаток этой теории в том, что не учитывается .

Если принять , а для пластичных материалов , то из (13.19) следует . А это, как указано выше, есть условие прочности по III теории.

165