Расчеты на прочность. Подбор сечений вала

Условие прочности вала с учетом (6.5) имеет вид

(6.7)

Это условие должно выполняться для каждого участка вала (при переменных ). Если диаметр вала постоянный, то в (6.7) берут из эпюры . Допускаемые напряжения для различных материалов приводятся в справочниках.

Из (6.7) находят необходимый , а по нему определяют размеры сечения вала:

1. Для сплошного круглого сечения радиуса отсюда

2. Для кольцевого сечения (трубы) надо задать отношение , т.к. подставим , , отсюда .

Следует иметь ввиду, что кольцевое сечение более экономично по весу.

В необходимых случаях валы рассчитываются не только на прочность, но и на жесткость.

Условие жесткости вала на кручение с учетом (6.6а) и (6.6в) имеет вид

Здесь допускаемый угол закручивания вала, для различных случаев приводятся в справочниках и нормативной литературе. Например, при обычном кручении на один метр длины вала. Если условие жесткости не выполняется, увеличивают размеры сечения вала, т.е. и снова проверяют условие жесткости с учетом (6.6а) и (6.6в).

Примечание: по (6.6)(6.6в) определяется в радианах.

Статически неопределимые задачи при кручении

Задачи на кручение являются статически неопределимыми, если внутренние крутящие моменты в поперечных сечениях вала нельзя найти только из уравнений равновесия (6.2). Рассмотрим пример на рис. 6.2.

Рис.6.2

От внешнего момента в заделках появятся неизвестные опорные моменты и . Для их определения можно составить уравнение равновесия вала:

(а)

Уравнение одно, неизвестных два. Задача однажды статически неопределима. Дополнительное уравнение можно составить из условия деформации вала. Оба конца защемлены, поэтому очевидно, что , т.е. концы вала не поворачиваются друг относительно друга. Здесь , а найдем по (6.6в). Здесь два участка:

I участок левая часть

(в)

II участок правая часть

(с)

, сокращая на , получим

(d)

Решаем уравнения (а) и (d) находим и , далее по (в) и (с) строим эпюру и делаем все необходимые расчеты.

Свободное кручение стержней некруглого сечения

Теория кручения круглых валов основана на гипотезе плоских сечений. Экспериментально установлено, что при кручении некруглых стержней эта гипотеза не подтверждается. В некруглых стержнях при кручении поперечные сечения коробятся (депланируют), т.е. точки сечения выходят из плоскости сечения. Если депланации сечения ничто не мешает, то в сечении и имеем свободное кручение, при котором в сечении возникают только касательные напряжения. Если депланации чем-то ограничены (заделка, скачок на эпюре ), то рядом расположенные сечения коробятся по-разному и поэтому в сечении должны возникнуть и . Это будет стесненное кручение, расчет при этом достаточно сложный и здесь рассматриваться не будет. Мы рассмотрим только свободное кручение.

Свободное кручение тонкостенных стержней

замкнутого контура

z

Рассмотрим кручение произвольного тонкостенного стержня с замкнутым контуром (эллиптическая, прямоугольная труба). Здесь толщина стенки, величина малая, пунктиром показан срединный контур сечения длиной . Ввиду малости возникающие в стенке полагаем постоянными по толщине и по контуру сечения и определяются они по формуле Бредта

(6.8)

Относительный угол закручивания определяется так

(6.9)

Здесь А – площадь, ограниченная срединным контуром сечения.

Свободное кручение тонкостенных стержней

открытого профиля

Открытый (не замкнутый) контур имеют поперечные сечения швеллера, двутавра, уголка и др. Здесь толщина стенки, длина срединной линии (пунктир) сечения. При кручении таких сечений возникают касательные напряжения, линейно меняющиеся по толщине стенки, = 0 в точках срединной линии, будет на внутренней и внешней поверхностях сечения. Поток касательных напряжений в сечении показан на рис. стрелками. В таких сечениях обычно много больше и

определяются так

(6.10)

а относительный угол закручивания

(6.11)

Пример: Сравнить кручение круглой трубы с радиусом срединной линии = 10см, толщиной стенки = 1см (замкнутый контур) и той же трубы, с продольным разрезом (разомкнутый контур).

1. Замкнутый контур: используем формулы (6.8) и (6.9), подставляя в них:

(1)

2. Открытый (разомкнутый контур). Используем формулы (6.10) и (6.11), подставляя в них , т.к. толщина разреза примерно 1мм, не влияет на .

(2)

Поделим формулы из (2) на формулы (1). После сокращения получим

30 раз, 300 раз

Итак: в разомкнутой трубе напряжения в 30 раз больше, чем в замкнутой, а углы закручивания больше в 300раз. Из этого вывода следуют практические рекомендации: если в конструкции какой-то стержень

испытывает кручение, то этот стержень нежелательно делать с открытым поперечным сечением, т.е. из швеллера, двутавра, уголка и т.д. Лучше его изгото-вить из трубы или сварить из швеллеров прямоуголь-ную трубу, как показано на рис. При этом получим замкнутый контур, хорошо работающий на кручение.