18.3. Расчет вала на жесткость

Под действием внешних моментов сечения вала закручиваются на некоторый угол , который называетсяуглом закрутки (рис.18.10). Кроме выполнения условий прочности заказчик конструкций обычно требует, чтобы был ограничен и этот угол закрутки. Такое требование называется условием жесткости.

Таким образом, для валов условие жесткости имеет вид:

(18.8)

Примечание: Иногда ставится другое или дополнительное ограничение в виде условия жесткости по погонному углу закрутки.

. (18.9)

Для вывода формулы вычислениярассмотрим деформацию вала:

Рис.18.10 рис.18.11

Сначала найдем из

.

С другой стороны: .

Приравнивая, получим: ;.

По закону Гука , а по формуле (18.5).

Подставляя получим:

(18.10)

Отсюда можем найти погонный угол закрутки:

(18.11)

Рассмотрим случай, когда вал состоит из ряда участков

рис.18.12

Найдем поворот правого торца относительно левого. Для этого сначала найдем - это поворот среднего сечения относительно левого торца.

.

Аналогично, поворотом правого торца относительно среднего сечения будет: .

Следовательно: . (18.12)

Примечание 1:

Легко обнаружить, что математически задача кручения круглых валов полностью аналогична задаче о растяжении (сжатии) составных брусьев.

Например, из рис.18.13 вытекает, что

. (18.13)

(сравни рис.18.13 с рис.18.13) , а также формулы (18.10), (18.12) с (18.13)).

рис.18.13

Примечание 2:

При изображении эпюр крутящих моментов имеет место следующее правило контроля: там где есть сосредоточенный момент, там есть скачок на величину этого момента. Это правило легко проследить на примере, приведенном на рис.18.14.

рис.18.14

18.4. Свободное кручение тонкостенных стержней

Существует 2 вида тонкостенных стержней:

1. Стержни замкнутого профиля (с замкнутым контуром) - рис.18.15.

рис.18.15

2. Стержни с открытым контуром профиля (рис.18.16)

рис.18.16

Кручение тонкостенных стержней может быть свободным или стесненным.

Если торцы стержня не закреплены в продольном направлении, то такое кручение называется свободным (см. рис.18.17).

рис.18.17 рис.18.18

Стесненное кручение возникает тогда, когда хотя бы один конец стержня закреплен в продольном направлении (см.рис.18.18).

18.5. Напряжения при свободном кручении тонкостенных стержней замкнутого профиля

Рассмотрим тонкостенный стержень с замкнутым профилем (рис.18.19)

рис.18.19

Введем систему координат , где осьпроходит по точкам, которые делят стенку пополам (рис.18.20). В общем случае толщинаt стенки может быть разной при разных , т.е.

рис.18.20 рис.18.21

Рассмотрим задачу вычисления . Ввиду тонкостенности можно считать, что напряжения,не изменяются по толщине, но могут быть разными при разныхξ. Вырежем элемент стержня (см. рис.18.20, рис.18.21). В силу закона парности на верхней грани действует , а на нижней.

Запишем уравнение равновесия в виде равенства нулю суммы сил на продольную ось S.

Поскольку: ,, то:

Таким образом,

(18.14)

Выразим через внешние моменты. Рассмотрим сечение, приведенное на рис.18.22.

рис.18.22

Сила - это равнодействующая напряжений, действующих на площадкудлиной:

.

Эта сила создает момент около точки О:

.

Найдем сумму всех dM:

.

Из условия равновесия левой части стержня (см.рис.18.20) вытекает, что

.

Учтем, что согласно (18.14). Эту константу можно вынести:

(18.16)

Найдем геометрический смысл подынтегрального выражения. Рассмотрим нашу площадку (рис.18.23). Из рисунка видно, что площадь треугольника BDO равна , т.е.

. (18.17)

рис.18.23 рис.18.24

Интеграл – это сумма таких площадей. Таким образом, получим, что интеграл равен удвоенной площади фигуры, которая ограничена штриховой линией, изображенной на рис.18.25.

(18.18)

Определение: Эту площадь А^* назовем площадью просвета трубы.

рис.18.25

Подставляя (18.18) в (18.16) видим, что:

.

Отсюда вытекает формула Бредта:

. (18.19)

Из (18.19) следует, что при кручении труб разрушение начинается там, где толщина стенки минимальна.