Примеры решения задач
1.
Найти линейную комбинацию матриц
,
где
,
.
Решение:
.
2.
Пусть
– матрица размерности 2x
3,
– матрица размерности 3 х 3. Найти
произведения
и
(если это возможно).
Решение: Используем формулу (2.1):
Произведение
не существует, так как число столбцов
матрицыB
не совпадает с числом строк матрицы A:
.
3.
Найти
,
если
.
Решение:
.
.
4.
Найти значение матричного многочлена
,
если
,
.
Решение:
.
.
5.
Транспонировать матрицу
.
Решение:
Так как у матрицы A
две строки и три столбца, то у матрицы
будет три строки и два столбца:
.
6.
Дана матрица
.
Найти обратную матрицу.
Решение: Воспользуемся первым способом нахождения обратной матрицы, т.е. формулой (2.2). Вычисляем определитель матрицы A:
.
Так
как
,
то матрица
существует. Найдем алгебраические
дополнения ко всем элементам матрицыA:
; 
;
; 
;
; 
;
;
;
.
Составим
присоединенную матрицу:
.
Находим обратную матрицу, поделив каждый
элемент присоединенной матрицы на
определитель матрицы A.
Получаем ответ:
.
7.
Решить матричное уравнение:
.
Решение:
Запишем данное матричное уравнение в
виде
.
Его решением является матрица
(если существует матрица
).
Найдем определитель матрицыA:
.
Значит,
обратная матрица
существует, и исходное уравнение имеет
(единственное) решение. Найдем обратную
матрицу:
,
;
,
.
Найдем
решение матричного уравнения:
.
8.
Найти обратную к матрице
,
используя метод элементарных
преобразований.
Решение: Припишем справа единичную матрицу
.
Разделив первую строку на три и обнулив элемент в первом столбце ниже тройки, получим
.
Умножив
вторую строку на три и обнулив элемент
во втором столбце выше
,
получим
.
Таким
образом,
.
Задачи для самостоятельного решения
1.
Найти линейную комбинацию матриц
,
где
.
2.
Найти произведения матриц
и
(если они существуют), где
.
3. Проверить коммутируют ли матрицы
и
.
4.
Найти значение матричного многочлена
,
если
и
.
5.
Вычислить произведение
при заданной матрице
.
6.
Привести к ступенчатому виду матрицу
.
7.
Найти произведения матриц
и
,
где
.
8.
Найти обратную матрицу к матрице
.
Решить матричные уравнения:
9.
;
10.
.
11.
Найти линейную комбинацию матриц
,
где
.
12.
Найти произведения матриц
и
(если они существуют), где
.
13.
Проверить, коммутируют ли матрицы
и
.
14.
Найти значение матричного многочлена
,
если
.
15.
Вычислить произведение
при заданной матрице
.
16.
Привести к ступенчатому виду матрицу
.
17.
Найти произведения матриц
и
,
если
.
18.
Найти обратную матрицу к матрице
.
Решить матричные уравнения:
19.
;
20.
.
Ответы:
1)
;
2)
;3)
Да;
4) 
;5)
;
6)
;7)
;8) 
;9)
;10)
;11)
;
12)
;13)
Нет; 14)
;15) 
;
16) 
;17)
;18)
;19) 
;20) 
.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 3
Решение систем линейных уравнений методом Крамера и Гаусса
1. Метод Крамера.
Система уравнений вида
(3.1)
называется системой m линейных уравнений с n неизвестными.
Коэффициенты этих уравнений записываются в виде матрицы А, называемой матрицей системы, а числа, стоящие в правой части системы, образуют столбец В, называемый столбцом свободных членов. Неизвестные системы так же записываются в столбец, называемый столбец неизвестных:
,
,
Используя
произведение матриц, можно записать
данную систему в матричном виде:
.
Совокупность
чисел
называетсярешением
системы,
если каждое уравнение системы обращается
в равенство после подстановки в него
чисел
вместо неизвестных
.
Системы, не имеющие решения, называются несовместными.
Системы, имеющие решения, называются совместными. Заметим, что система может иметь единственное решение, а может иметь бесконечно много решений.
Для нахождения единственного решения систем с одинаковым количеством уравнений и неизвестных есть метод, называемый метод Крамера.
Система n уравнений с n неизвестными
имеет единственное решение, если определитель матрицы системы отличен от нуля. Это решение находится по формулам Крамера:
,
(3.2)
где – определитель матрицы системы, а k – определитель матрицы, полученной из матрицы системы заменой k-го столбца столбцом свободных членов.