Производная неявной, параметрически заданной и сложно-степенной функции

1. Производная неявной функции.

Говорят, что уравнение задает функциюнеявно, если существует множество Е, такое что для любого существует по крайней мере одноу, удовлетворяющее уравнению . Одно и то же уравнение может задавать не одну, а несколько функций.

Дифференцируя уравнение пох и учитывая, что у зависит от х, можно найти производную .

2. Производная сложно-степенной функции.

Пусть дана функция .Логарифмической производной этой функции называется производная от натурального логарифма этой функции. А именно, .

Функция вида называетсясложно-степенной или сложно-показательной функцией.

Для того чтобы продифференцировать ее, воспользуемся логарифмической производной. Имеем

Так как , то. Следовательно,

,

или

. (13.1)

3. Производная функции, заданной параметрически.

Говорят, что функция задана параметрически, если она задана уравне­ниями где t – параметр, пробегающий промежуток значений Т.

Пусть функции x = x (t), y = y (t) имеют производные в окрестности некоторой точки t и . Тогда параметрически заданная функция имеет производную в этой точке, которая находится по формуле:

или (13.2)

Примеры решения задач

1. Найти производную функции у, заданную неявно уравнением 5х + у – 7ху = 0.

Решение: Дифференцируем левую и правую части данного равенства по х:

(5х + у – 7ху)' = 0',

15х + 2у·у′ – 7(х′у + ху′) = 0,

15х + 2у·у′ – 7(у + ху′) = 0,

2у·у′ – 7ху′ = 7у – 15х.

Теперь выразим производную из полученного равенства:

у′ = .

2. Пусть функция задана параметрически Найтиу′.

Решение: Воспользуемся формулой (13.2). Найдем х′= 2t, y′= 3t. Подставив в (13.2), получаем у′=, илиу′=t.

3. Найти производные следующих функций, применяя предварительно логарифмирование:

а) у = (cos x); б) y = .

Решение: а) Эта функция является сложно-степенной. Прологарифмируем функцию:

ln y = ln(cos x), ln y = x ln(cos x).

Теперь возьмем производную от левой и правой частей:

(ln y)′ = (x ln(cos x))′,

= (x)′ ln(cos x) + x (ln(cos x))′,

= 2x ln(cos x) + x··(–sin x).

Выразим производную из полученного равенства и подставим вместо у его выражение:

y′ = (2x ln(cos x) – x tg x)·y,

y′ = (2x ln(cos x) – x tg x)·(cos x).

б) Производную этой функции можно находить непосредственно, применяя правила дифференцирования произведения и частного. Но предварительное логарифмирование значительно облегчает взятие производной.

ln y = ln,

ln y = ln – ln – ln,

ln y = ln – ln – 5ln,

(ln y)′ = (ln – ln – 5ln)′,

= · – · + ,

y′ = (· – · + )·y,

y′ = (· – · + ).

4. Найти производную функции у = (x+ 4).

Решение: Воспользуемся формулой (13.1):

у′ = (x+ 4)·ln(x+ 4)·(ln sin)′ + ln sin·(x+ 4)·(x+ 4)′ =

= (x+ 4)·ln(x+ 4)· + ln sin·(x+ 4)·3х =

= (x+ 4)·ln(x + 4)· + 3х·ln sin·(x+ 4).

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти производную от неявных функций у:

а) е=х + у; б) arctg = ln(x + y);

в) = 3arcsin ; г) x = y.

2. Найти производные у′ заданных функций у в указанных точках:

а) (х + у)= 27(х – у) при х = 2 и у = 1;

б) уе = е при х = 1 и у = 1.

3. Найти производную у′заданных функций:

а) б)

в) г)

4. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке, соответствующей значению параметра t = t.

5. Найти производные следующих функций, применяя предварительное логарифмирование функции:

а) y =; б) y = ;

в) у =; г) y = x(lg x).

6. Найти производные следующих функций:

а) +=; б)у = ;

в) х + ln = y при х = 1 и у = 1.

7. Найти производную у′заданных функций:

а) б)

в) г)

8. Написать уравнения касательной и нормали к кривой y = 4x + 6xy в точке (1; 2).

9. Применяя предварительно логарифмирование функции, найти производные следующих функций:

а) y = ; б) y = (2)+ 3

в) y = sinx; г) у =.

10. Найти у′ функций у, пользуясь формулой для нахождения производной сложно-степенной функции:

а) y = х; б) y = (arсcos 3x);

в) y = (tg2x) г) у = (2e+1).

Ответы:

1) а) ; б); в); г);2) а) 0; б) ;3) а) 1; б) ; в); г);4) , ; 5) а) ; б) ; в) ; г) x(lg x); 6)  а) ; б) ; в) 0; 7) а) ; б); в); г); 8) , ;9)  а) ·; б) ((2)+3); в)sinx;

г) ;

10) а) х;

б) (arсcos 3x);

в) (tg2x); г) (2e+1).

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 14