3. Производные основных элементарных функций.

(12.7)

Примеры решения задач

1. Исходя из определения производной, вычислить у′(8), если у = .

Решение: По определению производной (12.1) имеем

у′ =

у′(8) = = =

== .

2. Найти производные следующих функций, используя правила дифференцирования и таблицу производных:

а) у = –+; б)у = еcos x + .

Решение: а) используем правило дифференцирования суммы и производную константы, а также формулу 2 из таблицы производных (12.7):

у′ = (–+)′ = ()′ – ()′ + ()′ =

= 5(х)′ – ()′ + ()′ = 5·х + 3+ 0 = –+;

б) используем правила дифференцирования произведения (12.4) и частного (12.5), а также формулы 2, 4, 8 и 10 из таблицы производных (12.7):

у′ = (еcos x)′ + = (е)′cos x + е(cos x)′ + =

= еcos x – еsin x + = е(cos x – sin x) + .

3. Найти производные следующих функций, используя правило дифференцирования сложной функции:

а) у = arccosx; б) y = ; в) y = tgln.

Решение: а) используем правило дифференцирования сложной функции (12.6), а также формулу 12 из таблицы производных (12.7):

у′ = (arccosx)′ = 2arccos x · (arccos x)′ = 2arccos x · = –;

б) снова воспользуемся производной сложной функции (12.6):

y′ = = = ·=

= =;

в) в этом примере необходимо использовать правило дифференцирования сложной функции (12.6) трижды, а в конце надо использовать правило дифференцирования дроби (12.5):

y′ = (tgln)′ = 3tgln·(tg ln)′ =

= 3 tgln· (ln)′ =

= 3 tg ln··· =

= 3 tg ln·· =

= 3 tg ln·· = .

4. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции у = в точке с абсциссойх= 2.

Решение: Уравнения касательной и нормали к графику функции определяются формулами (12.2) и (12.3). Вычислим сначала значения функции и производной в точке х:

у = у(2) = ,

у′ = ==,

у′(2) = .

Подставим найденные значения в формулу (12.2):

у – =(х – 2).

Получаем уравнение касательной: 2х – 6у – 1 = 0.

Подставив теперь значения в формулу (12.3), получим уравнение нормали:

у – = –3(х – 2) или 6х + 2у – 13 = 0.

Задачи для самостоятельного решения

1. Закон движения точки есть s = 2t+ 3t + 5, где расстояние s дается в сантиметрах и время t – в секундах. Чему равна средняя скорость точки за промежуток времени от t = 1 до t = 5?

2. Найти производную х′, еслиу = х + ln .

3. Найти производные следующих функций:

а) y = , б) y = sin( + ),

в) y =ln lnln x, г) y =

д) y = , е) y =cth x – ,

ж) y = cos tg 2 + e, з) y = ln,

и) y = , к) у = xcos α + sin α ln sin(x – α).

4. Найти производные следующих функций:

а) y = ; б) y =;

в) y = ; г) y = log log tg x;

д) y =; е) y = arctg;

ж) y = ; з) y = ln(arccos(x + 1));

и) y = cos; к) y = x(ln) – sin e;

л) y = ; м)y = ln tg .

5. Составить уравнения касательной и нормали к кривым в указанных точках:

а) у = arcsin в точке пересечения с осью ОХ;

б) у = eв точках пересечения с прямойу = 1.

6. Показать, что функция у = удовлетворяет уравнениюxy′ = = y(yln x – 1).

Ответы:

1) 15 см/сек; 2) х′=;3)  а); б); в); г); д); е); ж); з); и); к);4)  а) ; б); в); г); д); е); ж); з); и); к); л); м); 5) 1) ,; 2),для точки (1; 1),,для точки (–1; 1).

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 13