Задачи для самостоятельного решения
Доказать, используя определение предела, что:
1.
;
2.
.
Найти пределы:
3.
;
4.
;
5.
; 6.
;
7.
;
8.
;
9.
;
10.
;
11.
; 12.
;
13.
; 14.
;
15.
;
16.
;
17.
;18.
;
19.
;
20.
;
21.
; 22.
.
Ответы:
3)
;4)
48; 5)
0; 6)
;7)
;8)
;9)
при
и2
при
;10)
0; 11)
;12)
0; 13)
;14)
0; 15)
1; 16)
;17)
;
18)
;19) 
;20)
4; 21)
;
22)
.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 10
Раскрытие неопределенностей. Замечательные пределы
1. Замечательные пределы.
Первый
замечательный предел:
(10.1)
Второй замечательный предел записывается в двух видах:
(10.2)
2. Сравнение бесконечно малых.
Две
бесконечно малые
и
называютсявеличинами
одного и того же порядка малости
при
,
если
В частности, если
k
= 1,
то говорят, что
и
эквивалентные
величины
и пишут
.
Таким образом,
.
Теорема.
Пусть
при
,
тогда справедливы равенства:
,
,
,
где
– некоторая функция, определенная в
окрестности точкиа.
Для
применения этой теоремы на практике
полезно знать как можно больше пар
эквивалентных функций. Например, из
первого замечательного предела следует,
что
.
Приведем еще несколько наиболее часто
используемых эквивалентностей.
(10.3)
Примеры решения задач
1. Вычислить:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Решение:
а)
,
здесь
мы сделали замену
,
при
,
и использовали первый замечательный
предел (10.1).
б)
.
в)
.
г)
При
имеем неопределенность вида
.
Сделаем замену
,
тогда
и при
,
получаем:
.
2.Вычислить:
а)
;
б)
;
в)
.
Решение:
а)
Имеем неопределенность вида
.
Выделим у дроби целую часть
.
Обозначим
;
при
,
причем
.
Получаем:
.
Здесь мы использовали второй замечательный предел (10.2).
б)
Имеем неопределенность вида
,
т. к.
Перейдем к пределу под знаком логарифма:
.
в)
Имеем неопределенность вида
.
Преобразуя выражение и используя
непрерывность показательно-степенной
функции и второй замечательный предел
(10.2), получаем:
.
3. Вычислить:
а)
;
б)
.
Решение:
а)
Имеем неопределенность вида 
.
Используем первую эквивалентность из
таблицы (10.3) и заменяем
на
:
.
б)
Используем формулы 5) и 8) из таблицы
(10.3). Заменяя бесконечно малые
на
,
соответственно, получаем
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить:
1.
;
2.
;
3.
;
4.
;
5.
;
6.
;
7.
; 8.
;
9.
;
10.
;
11.
;
12.
;
13.
;
14.
;
15.
;
16.
;
17.
;
18.
;
19.
;
20.
.
Найти пределы следующих функций с помощью эквивалентных бесконечно малых:
21.
;
22.
;
23.
;
24.
;
25.
.
Ответы:
1)
;2)
;3)
;4)
;5)
;6)
;7)
6,4; 8)
;9)
0; 10)
;11) 0,05;
12)
0,125; 13)
0; 14)
0; 15)
0,3; 16)
1; 17)
2; 18)
;19)
0,1;
20)
1; 21) 
;22)
64; 23)
30; 24)
4,5; 25)
1,5.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 11
Непрерывность функции. Точки разрыва функции
1. Непрерывность функции.
Приведем три эквивалентных определения функции, непрерывной в точке.
1. Функция y = f(x), определённая в некоторой окрестности точки а и в самой этой точке, называется непрерывной в точке a, если
.
2. Функция у = f(x), определённая в некоторой окрестности точки а и в самой этой точке, называется непрерывной в точке а, если > 0 > 0 x
|
x
– a
|
<
|
f(x)
– f(a)
|
< .
3. Функция у = f(x), определённая в некоторой окрестности точки а и в самой этой точке, называется непрерывной в точке а, если приращение функции у = f (a + x) – f(a) в точке а стремится к нулю, когда приращение аргумента х = х – а стремится к нулю (см. рис. 11.1), т.е.
.
Рис. 11.1