Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский государственный архитектурно-строительный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

SalimovRB_matematika_gl_1-9_2011_web

.pdf

Скачиваний:

101

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

3.69 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 199 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

§8. Бесконечно большая функция,

еесвязь с бесконечно малой

Функция

y f (x)

называется бесконечно большой при x , если для

любого числа

L 0 ,

каким бы большим это число ни было, найдётся такое

число N 0 ,

что

для всех x N будет

выполняться неравенство

f (x)

L .

Например, функция

y x2

является бесконечно большой при

x . В са-

мом деле, здесь

f (x)

запишется как

L или, так как

x2 , в виде

x2 L , а для положительных x в виде x

L . Поэтому для всех x

L имеет

место неравенство

L ,

каким бы большим число L 0 ни было.

Ясно, что

x2 – бесконечно большая функция при x , и в качестве числа N , указан-

ного в определении, можно взять L .
Если f (x) –	бесконечно большая функция при x , то		пишут
lim f (x) и говорят, что функция f (x) стремится к бесконечности.
x
Если функция	f (x) принимает только положительные значения,		пишут
lim f (x) .
x
Если функция	f (x) принимает только отрицательные значения, то пишут
lim f (x) .
x
В последних двух случаях говорят, что функция		f (x) стремится к плюс
бесконечности, минус бесконечности соответственно,		но знаки , ,
не есть числа и над ними нельзя проводить операции,		нельзя писать 0

или / 1. Эти символы лишь обозначения бесконечно большой функции.

Покажем связь между бесконечно большой и бесконечно малой функ-

циями.

Теорема 6. Если f (x) – бесконечно большая функция при x , то 1/ f (x) – бесконечно малая функция при x .

Доказательство. Пусть 0 – заданное сколь угодно малое число. Докажем, что для него найдётся такое число N 0 , что для всех x N будет вы-

полняться неравенство	1/ f ( x)	. Это и будет означать,	что 1/ f (x) –			беско-

нечно малая функция. Для указанного числа 0 возьмём 1/ . Так как						f (x)	–
бесконечно большая функция при x , то для числа			1/ найдётся такое
число N 0 , что для всех x N будет выполняться неравенство				f (x)	1/ ,		а

отсюда для всех x N имеем

5354.ru

f (x)

(9)

Согласно свойству абсолютной величины дроби

1/ f ( x)

f ( x)

. Теперь не-

равенство (9) для всех x N можно записать так:

1/ f (x)

. Теорема доказа-

на.

Теорема 7 (обратная предыдущей). Если (x) – бесконечно малая функ-

ция при x , не обращающаяся в нуль, то 1/ (x) – бесконечно большая

функция при x .

Доказательство аналогично предыдущему.

Теоремы 6 и 7 условно записывают так: 1/ 0 и 1/ 0 . Отметим, что при других способах изменения x определение бесконечно большой функции

даётся аналогично, например, функция f (x)	называется бесконечно большой
при x x0 , если
L 0 0 (x0 x x0 ),	x x0 \| f (x) \| L.

§ 9. Свойства пределов

Теорема 8. Если f (x) – функция, имеющая при x предел, равный числу b , то эту функцию можно представить в виде суммы числа b и некоторой бесконечно малой функции (x) при x , т. е. f (x) b (x) .

Доказательство. Пусть 0 – заданное сколь угодно малое число. Обозначим

		f (x) b (x)			(10)
и покажем, что (x) – бесконечно малая функция. Так как f (x) имеет предел
равный b , то согласно определению предела для указанного числа					0
найдётся такое число N 0 , что для всех x N будет выполняться неравен-
ство	f x b	или с учётом введённого выше обозначения	(x)	.

Итак, для всех x N имеем (x) . Это означает, что (x) – бесконечно малая функция, и мы получаем из (10) f (x) b (x) . Теорема доказана.

Теорема 9 (обратная теореме 8). Если функцию f (x) можно представить в виде суммы числа b и некоторой бесконечно малой функции (x) при

x , то число b есть предел функции f (x) при	x .
Теорема доказывается аналогично теореме 8.

5354.ru

Теорема 10. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме пределов слагаемых функций, если последние пределы существуют.

Например, для двух функций

lim	f (x) (x)	lim	f (x)	lim (x) .
x		x		x

Теорема 11. Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций, если последние пределы существуют.

Например, для двух функций

lim	f (x) (x)	lim	f (x)	lim (x) .	(11)
x		x		x

Теорема 12. Предел дроби (частного) равен отношению предела числителя к пределу знаменателя, если оба последних предела существуют и предел знаменателя не равен нулю.

Эти три теоремы доказываются аналогичным образом. Докажем теорему 11. Нам дано, что

		lim f (x) b ,	lim (x) c	(12)
		x	x
( b, c	– некоторые числа). Тогда по теореме 8		f (x) b (x), (x) c (x) , где
(x) ,	(x)	– бесконечно малые функции при x . Запишем произведение

f (x) (x) bc [b (x) c (x) (x) (x)]. Слагаемые в правой части в квадратных скобках -бесконечно малые функции, согласно следствиям из теорем 2 – 5. Тогда сумма в этих скобках, согласно теореме 4, тоже бесконечно малая функция, поэтому число bc , согласно теореме 9, есть предел функции

f (x) (x) . Итак, lim	f (x) (x) b c . Подставив в правую часть вместо b и c
x

пределы (12), придем к формуле (11). Теорема доказана.

Следствие из теоремы 11. Постоянный множитель можно выносить за

знак предела: lim	A (x) A lim		(x) , A const .
x		x
В самом деле, если		f (x) A,	то lim	f (x) lim	A A (поскольку предел
			x	x

постоянной равен этой же постоянной, что ясно из определения предела). По формуле (11) получим

lim	f (x) (x)	lim	f (x)	lim (x) A	lim (x) .
x		x		x	x

5354.ru

§ 10. Переход к пределу в неравенствах

Теорема 13. Пусть (x) f (x) g(x) для всех x и функции g(x) и (x) при x имеют один и тот же предел, равный b . Тогда тот же предел b при x имеет функция f (x) , заключённая между g(x) и (x) .

Доказательство. Пусть 0 – заданное сколь угодно малое число. Так


как (x) при x имеет предел,					равный b , то для числа 0 найдётся
число N1 , такое, что для всех					x N будет выполняться неравенство
	x b	. Аналогично, так как g(x)			имеет при x предел, равный b , то

для указанного числа 0			найдётся такое число N2 , что для всех x N будет
выполняться неравенство			g x b	. Пусть N – наибольшее из чисел N1 и

N2 . Тогда для всех x N выполняются оба предыдущих неравенства. Значит,

для всех

x N имеют место следующие неравенства, равносильные соответ-

ствующим предыдущим: b x b ,

b g x b .

Поэтому для всех

x N

учетом

условия

теоремы

будем

иметь

b x f (x),

f (x) g x b . Отсюда

b f (x) b

для всех

x N ,

т. е. справедливо неравенство

f x b

, равносильное последнему.

Итак, для всех x N имеем

f x b

, но это означает, что b есть предел

f (x) при x . Теорема доказана.

Легко проверить, что теорема остаётся справедливой и в том случае, когда x) f x) g x) для всех x .

Теорема 14. Если для всех x функция f (x) 0 и существует предел этой

функции при x , то этот предел неотрицателен: lim f (x) 0.

Доказательство. Дано, что существует предел lim f (x) , который мы

обозначим b . Нужно доказать, что b 0 .

Предположим обратное, т. е. что b 0 (хотя все условия теоремы выполняются). Выберем число 0 настолько малым, чтобы было b 0 . Так как функция f (x) имеет при x предел, равный b , то для выбранного числа0 найдётся такое число N 0 , что для всех x N будет выполняться неравенство f x b или равносильное ему неравенство b f (x) b . По-

этому для всех x N получим f (x) b 0 . Итак, для всех x N будем иметь f x 0 . Но это противоречит условию теоремы, следовательно, предположение, что b 0 , должно быть отброшено. Теорема доказана.

5354.ru

Легко проверить, что теорема остаётся справедливой, когда f (x) 0 для всех x .

§ 11. Первый замечательный предел

Докажем равенство lim (sin x / x) 1. Возьмем круг единичного радиуса.
	x 0
Пусть	x есть угол между векторами		и
		OC		OA , измеренный в радианах (см.


рис. 42). Будем считать угол x положительным, если он отсчитывается про-
	тив хода часовой стрелки от вектора
								OC , и отрица-
	тельным, если отсчёт ведётся в противоположном
	направлении. Будем считать пока 0 x 2 . Из рис. 42
	видно, что	OB cos x ,		BA sin x ,		CD tg x , а также что
	OB cos x 1 и BA sin x 0 при					x 0 . Это верно и при
	x 0 . Площади		треугольников			и	кругового сектора,
	указанных	на	рис. 42,		связаны			соотношением
Рис. 42	S OBA SсектораOCA S OCD ,			которое			принимает		вид
(sin x cos x) / 2 x / 2 tg x) / 2 или (после			умножения		на	положительное			число

2sin x ) cos x x / sin x cos x . В последнем неравенстве перейдём к обратным величинам, при этом знаки неравенства изменятся на обратные:

1/ cos x sin x) / x cos x .

(13)

Последнее неравенство получено для x 0 . Пусть теперь x 0 . Тогда x 0 и справедлива формула (13), т. е. 1/ cos( x) sin( x)) /( x) cos( x) . Учитывая, что sin( x) sin x и cos( x) cos x , опять придём к неравенству (13), но уже для

x 0 .

Итак, неравенство (13) справедливо как для x 0 , так и для x 0 . Перейдем в нем при x 0 к пределу (к обычному пределу, когда x 0 , принимая как положительные, так и отрицательные значения). Однако крайние части (13) имеют один и тот же предел, равный 1. Поэтому по теореме 13 получим

предел lim (sin x / x) 1,

который

называют

«первым

замечательным преде-

x 0

лом».

Пример.

tg 3x

sin 3x

lim

lim 3

lim

1 1

cos 3x

x 0

cos 3x

x 0

(3x 0)

5354.ru

§ 12. Предел последовательности.

Второй замечательный предел. Натуральные логарифмы

Дана функция yn f (n) , где n принимает целые положительные значения. Она называется функцией натурального аргумента n и принимает значения

y1 f (1) ,	y2 f (2) ,…,	yn f (n) ,… Последние образуют последовательность
чисел y1,	y2 ,..., yn ,... Эту последовательность коротко записывают yn . Таким

образом, задание функции натурального аргумента равносильно заданию последовательности. По аналогии с определением предела функции f (x) при x дадим определение предела функции натурального аргумента (последовательности).

Число b называется пределом функции натурального аргумента yn f (n)

при n или последовательности yn , если для любого числа 0,

каким

бы малым оно ни было, найдётся такое натуральное число

N , что для всех

n N

будет выполняться неравенство

f n b

или

yn b

. В

этом

случае пишут lim f (n) b или lim yn b .

Функция натурального

аргумента

yn f (n)

(последовательность

yn )

называется возрастающей,

если

y1 y2

yn yn 1

или убывающей,

если

y1 y2 y3 yn yn 1

Рассматриваемая

функция

(последователь-

ность) будет ограниченной,

если существует такое положительное число c,

что

для всех n выполняется

неравенство

| yn | c .

Например, функция

yn f (n) 1/ n или последовательность 1/ n являются убывающими. В самом

деле, каждое последующее значение меньше предыдущего, т. е. 1

Кроме того, последовательность является ограниченной, т. к. для всех n выполняется неравенство 1/ n 1 .

Без доказательства запишем несколько теорем.

Теорема 15. Всякая возрастающая ограниченная последовательность (функция натурального аргумента) имеет конечный предел.

Эта теорема утверждает только лишь существование предела, но не указывает, как его найти.

Теорема 16. Функция натурального аргумента yn (1 1n)n имеет при n предел, заключённый между числами 2 и 3.

5354.ru

При доказательстве этой теоремы сначала устанавливают, что эта функция является возрастающей и ограниченной. Поэтому согласно теореме 15 предел функции существует. Его обозначают через e и пишут

	1	n	e.
lim 1	n		e.
x	n

Можно показать (принимается без доказательства), что число e			является ир-
рациональным. Его приближённое значение e 2.718282.
Теорема 17. Функция y (1 1/ x)x при x имеет предел, равный e :
	1	x	(14)
lim 1	x	e .
x

Предел (14) называют «вторым замечательным пределом».

Пример.

lim x 4 x 2 x x 1

Пусть (x 1) / 3 y, при этом вид

			x 2			x 1		1
x 1 3					3				3
							3	3	3
							3	3
lim				lim 1						.
lim	x 1			lim 1	x 1					.
x	x 1			x	x 1
y , когда		x . Тогда последний предел примет

1 3 y

y 3

lim 1

lim

1 e

Логарифм loga x

называется натуральным, если его основание равно e ,

т. е. a e . Этот логарифм обозначают ln x .

Пусть y ln x . Тогда по определению логарифма ey

x . От последнего со-

отношения возьмём десятичный логарифм и получим lg ey

lg x . По свойству

логарифма будем иметь y lg e lg x . Но y ln x , следовательно,

(ln x) lg e lg x .

(15)

В этой формуле lg e

– известное число (т. к. e

– число известное, то и его

десятичный логарифм известен: lg e 0.4343), поэтому формула (15) выражает десятичный логарифм x через его натуральный логарифм. Ясно, что и, наоборот, по lg x можно найти ln x (lg x) /(lg e) .

5354.ru

§ 13. Сравнение бесконечно малых функций

Пусть (x) , (x) – бесконечно малые функции при			x , т. е.
lim	(x) 0 и	lim (x) 0 . Бесконечно малая функция (x)	называется бес-
x		x

конечно малой функцией одного порядка с бесконечно малой функцией (x) ,

если существует конечный предел lim [ (x) / (x)] 0 .

Бесконечно малая функция (x) называется бесконечно малой функцией

более высокого порядка, чем (x) , если	существует конечный предел
lim [ (x) / (x)] 0 . Значит, проще говоря, (x)	стремится к нулю быстрее, чем
x
(x) .

Бесконечно малая функция (x) называется бесконечно малой функцией

более низкого порядка, чем (x) , если	lim [ (x) / (x)] , т. е., упрощенно,
	x
(x) стремится к нулю медленнее, чем (x) .

Если не существует конечный или бесконечный предел lim [ (x) / (x)] ,

то говорят, что бесконечно малые функции (x) и (x) не сравнимы по отношению.

Бесконечно малая функция (x) называется бесконечно малой функцией

порядка k ( k

– определённое число)

по отношению к бесконечно малой

функции (x) , если существует конечный предел

lim

(x)

0 .

[ (x)]k

Например, функция (x) 1 x2

есть бесконечно малая функция второго

порядка по отношению к бесконечно малой функции (x) 1 x

при x .

В самом деле, здесь имеем

lim

(x)

lim

1 x2

lim

1 1.

1 x 2

x (x) 2

Отметим, что две бесконечно малые функции (x)

и (x)

одного и того

же порядка

называются

эквивалентными

при

x , если

lim [ (x) / (x)] 1.

Пример. При x бесконечно малые (x)

(x)

– эквивалент-

ные бесконечно малые, так как предел их отношения равен единице. Действительно,

5354.ru

(x)

lim

(x2 3) / x4

x2 3

lim

lim 1

1/ x

x (x)

§ 14. Непрерывность функции в точке и на интервале

Функция y f (x) называется непрерывной в точке x c , если

					lim f (x) f (c) .	(16)
					x c
Это означает, что:
существует		f (c) , т. е. функция f (x) определена в точке				x c и всюду
вблизи точки x c ;
существует предел				lim f (x)	(существуют равные друг другу односто-
				x c
ронние пределы	lim		f (x) lim f (x) );
	x c 0			x c 0
lim f (x) f	(c)	(	lim f (x) lim		f (x) f (c) ).
x c			x c 0	x c 0

Как видно из (16), предел непрерывной функции можно вычислить под-

становкой в функцию предельного значения x c			ее аргумента. Кроме того,
x c можно записать так:	lim x c .	Этот предел подставим в правую часть
	x c
формулы (16) и получим	lim f (x) f (lim x) . Это		равенство показывает, что
	x c	x c

знак предела и знак непрерывной функции можно переставить.

Если функция f (x) непрерывна в каждой точке открытого интервала (a, b) или замкнутого интервала a, b , то её называют непрерывной в соот-

ветствующем интервале.

Ясно, что для замкнутого интервала соотношение (16) считаем выполнен-

ным	во всех	точках	этого интервала, включая	концы,	т. е. в частности
lim f	(x) f (a)	и lim f (x) f (b) . Здесь предел в точке a представляет собой
x a		x b
			предел справа, так как слева от этой точки
			функция не определена. Аналогично в точке b
			имеем предел слева, так как справа от точки b
			функция не определена.
			Геометрический	смысл	непрерывности
			функции заклю-чается в том, что её график
			представляет собой сплошную, без разрывов,
			линию. В самом деле, изобразим на плоскости
	Рис. 43		Oxy график непрерывной функции y f (x)

5354.ru

(рис. 43). На кривой отметим точку M0 с абсциссой c , её ордината равна f (c) , т. е. M0 c, f (c) . На этой же кривой возьмём точку M с абсциссой x , её ордината равна f (x) , т. е. M x, f (x) . Когда абсцисса x точки M стремится к c

– абсциссе точки M0 , ордината f (x) точки M стремится к f (c) согласно (16) в силу непрерывности функции. Это означает, что при этом точка M стремится к точке M0 , и графиком функции y f (x) является сплошная линия без

разрывов.

Обозначим величину x c x и назовём ее приращением аргумента рас-

сматриваемой функции	f (x) . Разность соответствующих значений функции
обозначим
	f (x) f (c) y	(17)
или, так как x c x ,	f (c x) f (c) y , и назовём приращением функции

f (x) , вычисленным для точки c и соответствующим приращению x аргу-

мента..
В (16) учтём, что	f (c) lim f (c) , т. к. предел постоянной равен этой посто-
	x c

янной. Этот предел подставим в правую часть (16), затем его перенесём влево и учтём, что разность пределов равна пределу разности. После этого получим

lim f (x) f (c) 0 . Но разность под знаком предела, согласно (17),	равна y .
x c
Поэтому имеем
lim y 0 .	(18)
x 0

Здесь мы учли, что при x c разность x 0 . Таким образом, если функция непрерывна в точке c , то при стремлении приращения аргумента x к нулю, соответствующее приращение функции, вычисленное для точки c , стремится к нулю. Проведя рассуждения в обратном порядке, получим, что из (18) сле-

дует (16).

Соотношение (18) иногда называют вторым определением непрерывно-

сти функции в точке. Оно равносильно исходному определению (16).

§ 15. Свойства непрерывных функций

Теоремы 18 (и 19). Алгебраическая сумма (и произведение) конечного числа функций, непрерывных в точке, есть функция, непрерывная в этой точке.

5354.ru

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 199 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.05.2015371.27 Кб12rulturologiy 2.pdf
#
14.11.2018293.89 Кб8russkij-yaz.-egye-chast-s-yenciklopediya.doc
#
17.03.2016150.23 Кб11rutrvar56.pdf
#
17.03.2016311.15 Кб6ryady_metod_ukazaniya_kgasu_5354.pdf
#
12.05.20153.88 Mб45SalimovRB_matematika_gl_1-20_2011_web.pdf
#
12.05.20153.69 Mб101SalimovRB_matematika_gl_1-9_2011_web.pdf
#
11.05.2015988.67 Кб45Sbornik_testov_s_otvetami_marketing.doc
#
01.05.2025714.03 Кб0Sbornik_zadach_-mogut_prigoditsya_pri_sdache_ek...docx
#
12.05.20159.79 Mб16SGH_i900_service_manual-spaces_ru.pdf
#
12.05.2015526.35 Кб50Shavali_Burova_109_13.pdf
#
11.05.2015710.66 Кб32Shpargalka_po_pravookhranitelnym_organam.doc