Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский государственный архитектурно-строительный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

SalimovRB_matematika_gl_1-9_2011_web

.pdf

Скачиваний:

101

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

3.69 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 196 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

x	1	k2	z	и	x	1	k2	z	.
	a2		c			a2
		b2					b2	c

Поэтому последняя система равносильна совокупности двух систем

y kx

y kx.

Все уравнения в этих системах определяют плоскости, проходящие через начало координат. Значит, каждая система определяет в пространстве прямую, проходящую через начало координат. При a b получаем конус вращения (вокруг оси Oz ).

§ 21. Однополостный и двуполостный гиперболоиды

Однополостный гиперболоид – это поверхность, определяемая уравнени-

ем

			x2 / a2 y2 / b2 z2 / c2 1,	(60)
где a, b, c		– заданные положительные числа. Исследуем форму этой поверх-
ности.	В	сечении ее	плоскостью z h получается эллипс	с полуосями
a(1 (h2	c2 ))1/ 2 и b(1 (h2		c2 ))1/ 2 . С увеличением h эти полуоси увеличиваются. В

сечениях поверхности (60) плоскостью Oyz (с уравнением x 0 ) и плоскостью Oxz ( y 0 ) получаются гиперболы

y2 / b2 z2 / c2 1 и x2 / a2 z2 / c2 1

соответственно. Поверхность имеет вид, указанный на рис. 36. При a b по-

лучаем однополостный гиперболоид вращения ( Oz – ось вращения).

Рис. 36	Рис. 37

На рассматриваемой поверхности лежат семейства прямых, которые называются прямолинейными образующими. В частности, система уравнений

5354.ru

x / a z / c k(1 y / b),	(61)
	(61)
x / a z / c k 1 (1 y / b),
где k – произвольное заданное число, в пространстве Oxyz	определяет пря-

мую. Перемножив почленно уравнения системы, перейдём к уравнению (60). Следовательно, координаты любой точки M (x, y, z) этой прямой удовлетворяют уравнению (60), т. е. точка M принадлежит поверхности (60). Таким образом, прямая (61) лежит на поверхности. Изменяя значение величины k в системе (61), получим семейство прямолинейных образующих однополостного гиперболоида (60). Другое семейство прямолинейных образующих этого гиперболоида определяется системой

x / a z / c l(1 y / b),x / a z / c l 1(1 y / b),

где l – произвольное число.

Двуполостный гиперболоид – это поверхность, определяемая уравнением

x2 / a2 y2 / b2 z2 / c2 1,

(62)

где	a, b, c –	заданные положительные числа. Рассекая поверхность (62)
плоскостью z h (\| h \| c ), в сечении получим эллипс с полуосями a 1 h2 / c2
и b	1 h2 / c2	(см. рис. 37). При \| h \| c плоскость и поверхность не пересека-

ются.
В сечениях поверхности (62) плоскостью Oyz		( x 0 ) и плоскостью Oxz (
y 0 ) будем иметь гиперболы	z2 / c2 y2 / b2 1 и z2	/ c2 x2 / a2 1 соответствен-

но. При a b получим двуполостный гиперболоид вращения ( Oz – ось враще-

ния).

§ 22. Эллиптический и гиперболический параболоиды

Эллиптический параболоид – это поверхность, определяемая уравнением

x2 / p y2 / q 2z,

(63)

где p и q – заданные положительные числа. Расcекая поверхность (63) плоскостью z h ( h ), в сечении получим эллипс с полуосями 2hp и 2hq (см. рис. 38). Поверхность (63) пересекается с плоскостью Oxz ( y 0 ) по параболе x2 2 pz, а с плоскостью Oyz ( x 0 ) – по параболе y2 2qz. При p q получим

параболоид вращения ( Oz – ось вращения).

Гиперболический параболоид – это поверхность, определяемая уравнени-

ем

5354.ru

x2 / p y2 / q 2z,

(64)

где p и q – заданные положительные числа. Поверхность (64) пересекается с

плоскостью Oxz ( y 0 ) по параболе x2					2 pz,			ветви которой направлены в по-
ложительную сторону оси				Oz (рис. 39). Рассекая поверхность (64) плоско-
стью x h , получим кривую, определяемую системой уравнений
	2	/ p y	2	/ q 2z, или		2	/ p	y	2	/ q 2z,	(65)
x					h
x h					x h,

Рис. 39

Первое уравнение запишем так: y2 2q(z h2 /(2 p)). Оно определяет на плоскости x h параболу с ветвями, направленными в отрицательную сторону оси Oz, причём вершина параболы имеет координаты x h, y 0, z h2 (2 p). При

изменении h парабола (65) описывает поверхность, определяемую уравнением (64). Гиперболический параболоид содержит два семейства прямолинейных образующих, определяемых системами уравнений

	p y /	q 2kz,			p y /	q 1/ l,
x /			и	x /
	p y /	q 1/ k,			p y /	q 2lz,
x /				x /

где k и l – произвольные постоянные. Доказательство проводится так же, как и для однополостного гиперболоида.

5354.ru

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

§ 1. Определители высших порядков

Определитель четвёртого порядка содержит 16 элементов и обозначается

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24 . a31 a32 a33 a34

a41 a42 a43 a44

Как и раньше, элементы этого определителя обозначаются aij , где i – номер

строки,	j	– номер столбца, которым принадлежит элемент aij , i 1, 2, 3, 4 ,
j 1, 2,	3,	4 . Минором Mij для элемента aij определителя называется опре-

делитель третьего порядка, получаемый вычёркиванием строки и столбца, которым принадлежит элемент aij . Зная этот минор, определим алгебраическое

дополнение Aij для элемента aij определителя четвёртого порядка

Aij 1 i j Mij .	(1)
Определителем четвёртого порядка называется число
a11 A11 a12 A12 a13 A13 a14 A14.	(2)

Таким образом, определитель четвёртого порядка выражается через определители третьего порядка. Аналогично, с помощью определителя четвёртого порядка введём понятие определителя пятого порядка, шестого порядка и т. д. Зная определение определителя ( n 1)-го порядка, введём понятие определителя n -го порядка

a11	a1n		a11 A11 a12 A12 ... a1n A1n .	(3)
a11	a1n

an1		ann

Здесь A11, A12 , , A1n – алгебраические дополнения элементов первой строки a11, a12 , ..., a1n . Эти алгебраические дополнения по формуле (1) выражаются через миноры Mij для соответствующих элементов первой строки. Миноры –

определители ( n 1)-го порядка. Таким образом, определительn -го порядка выражается по формуле (3) через определители ( n 1)-го порядка. Соотношение (3) – разложение определителя n -го порядка по элементам первой строки.

5354.ru

Элементы a11, a22 , , ann определителя образуют его главную диагональ.

Можно показать (принимается без доказательства), что определитель раскладывается по элементам любой строки или любого столбца. Например, разло-

жения определителя по элементам i -й строки и	j -го столбца имеют соответ-
ственно вид
ai1 Ai1	ai 2 Ai2 ... ain Ain ,	(4)
a1 j A1 j	a2 j A2 j ... anj Anj .	(5)

Таким образом, определитель равен сумме произведений элементов како- го-либо ряда (строки или столбца) на их алгебраические дополнения.

§2. Свойства определителей

1.Определитель не изменится, если его столбцы сделать строками с теми же номерами (эта операция называется транспонированием):

a11	a1n	a11 a21	an1	.
a11	a1n	a11 a21	an1

an1	ann	a1n a2n	ann

Доказательство этого свойства опускаем (оно основано на (4) и (5)).

2. Определитель лишь изменит знак, если поменять местами два какихлибо ряда (две строки или два столбца). Например,

a11 a12	a1n	a12	a11	a1n	.
					.
an1 an 2	ann	an2	an1	ann

В справедливости последнего равенства убедимся, разложив определители слева и справа по элементам соответственно первого и второго столбцов.

3. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю. Чтобы доказать это свойство, достаточно переставить одинаковые ряды и

воспользоваться свойством 2.

4. Множитель, общий для элементов некоторого ряда определителя, можно вынести за знак определителя. Например, пусть – определённое число, тогда

a11	a1n		a11	a1n	.
a11	a1n		a11	a1n

an1		ann	an1	ann

5354.ru

Чтобы доказать это свойство, достаточно разложить определитель по элементам ряда, содержащим указанный множитель.

5.Если все элементы какой-либо строки (столбца) равны нулю, то определитель равен нулю. Это свойство доказывается разложением определителя по нулевым элементам соответствующей строки (столбца).

6.Если к элементам некоторого ряда (строки или столбца) прибавить соответствующие элементы другого ряда, умноженные на одно и то же число, то определитель не изменится:

a11 a12	a1n	a11 a12	a12	a1n	.
					.
an1 an2	ann	an1 an2	an2	ann

Чтобы доказать это свойство, нужно разложить определитель в правой части по элементам первого столбца и учесть третье свойство.

7. Сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого параллельного ряда равна нулю. Например,

a11 A21 a12 A22 a1n A2n 0.

Рассматриваемое свойство доказывается разложением определителя по элементам второго ряда с последующей заменой его элементов на соответствующие элементы первого ряда.

Приведенные выше свойства для определителей третьего порядка доказываются проверкой.

§ 3. Матрицы и действия над ними. Обратная матрица

Матрицей называется прямоугольная	таблица, содержащая mn чисел,
имеющая m строк и n столбцов. Она обозначается
a11	a1n
A		.

am1	amn

Числа a11, a12 , называются элементами матрицы. Коротко эту матрицу

обозначают так: A aij , i 1,	2, ,		m,	j 1, 2,		, n . Здесь i – номер строки,
j – номер столбца элемента aij . Матрицу иногда обозначают и так:
		a11	a1n		.
		a11	a1n

		am1	amn

5354.ru

Если столбцы матрицы сделать строками с теми же номерами, то полученная матрица называется транспонированной и обозначается

	a11		am1

A					.
	a		a	mn
		1n

Если в матрице число строк и число столбцов совпадают, то матрица называется квадратной:

a11	a1n
A		.
a	a
n1	nn

Элементы a11, a22 , , ann образуют главную диагональ матрицы. Число n

называется порядком матрицы. Квадратной матрице можно поставить в соответствие число, называемое определителем матрицы, обозначаемое A и

равное

A	a11	a1n		.
	a11	a1n

	an1		ann

Матрица, у которой все элементы главной диагонали равны 1, а все остальные элементы равны 0, называется единичной и обозначается

1		0

E			.
	0	1

Матрица, состоящая из одной строки, называется строчной и обозначается Y y1 , y2 , , yn . Матрица, состоящая из одного столбца, называется столб-

цевой, например,

			x1
			x
			X	2	.


			x
				n
Пусть даны	две	матрицы с	одинаковым числом строк и столбцов:
A aij , B bij ,	i 1,	2, , m, j 1,	2, ,		n. Эти матрицы называются равны-

ми друг другу (при этом пишут A B	или aij bij ), если все их соответству-
ющие элементы равны друг	другу, т. е.	aij bij	для всех

i 1, 2, , m, j 1, 2, , n.

5354.ru

C AB

Суммой матриц A и B называется матрица, обозначаемая C A B , элементы которой cij aij bij для всех значений i, j . Это правило можно записать

так: aij bij aij bij . Аналогично вводится понятие разности двух матриц.

Произведением матрицы A на число называется матрица, обозначаемаяA , элементы которой равны произведениям числа на соответствующие элементы матрицы A , т. е. aij aij . Иначе говоря, чтобы умножить мат-

рицу на число , нужно умножить на это число каждый её элемент (для сравнения заметим, что для умножения определителя на число нужно умножить на это число все элементы какого-либо ряда).

Умножение матриц. Даны матрица	A aij , имеющая m строк и	k
столбцов, и матрица B bij , имеющая k	строк и n столбцов. Произведением
этих матриц называется матрица, обозначаемая C AB ( A – первая матрица),
элементы cij которой определяются формулой
cij ai1b1 j ai 2b2 j aik bkj , i 1, 2, , m , j 1, 2, , n .		(6)
Изобразим схематично эти матрицы и их произведение:

a11		a1k b11			b1 j b1n		c11

ai1		aik					ci1
a	m1	a	b		b	b	c	m1
			mk	k1	kj	kn

c1 j

cij cmj

c1n .

cin cmn

В формуле (6) первые индексы означают номера строки элемента матрицы, вторые – номера столбца элемента. Формула (6) показывает, что элемент cij i

-й строки и j -го столбца матрицы равен сумме произведений элементов i -й строки первой матрицы A на соответствующие элементы j -го столбца второй матрицы B . Следовательно, чтобы получить элементы ci1, ci2 , , cin i -й строки матрицы C AB , нужно элементы i -й строки A умножить на соответствующие элементы первого столбца B , и, сложив, найти ci1 . Умножив элементы i -й строки A на соответствующие элементы второго столбца B и сложив, получим ci 2 и т. д. Умножив элементы i -й строки A на соответствующие элементы n -го столбца B и сложив, получим cin .

Таким образом, элементы i -й строки матрицы С получаются с помощью i -й строки первой матрицы A . Это относится к любой строке матрицы С. Поэтому ясно, что число строк С равно числу строк A , а число столбцов C равно числу столбцов матрицы В, так как номер столбца j элемента cij совпадает

с номером столбца j матрицы B .

5354.ru

Аналогично найдём C1 BA , если число столбцов матрицы B равно числу

строк матрицы A . Если это не так, то произведения BA не существует. Если даже AB и BA существуют, то легко проверить на примерах, что, вообще говоря, AB BA .

Свойства умножения матриц. Пусть даны три матрицы A , B и C . Тогда

A BC AB C ; A B C AB AC .

Пусть A – квадратная матрица, а E – единичная матрица того же порядка, что и A . Нетрудно проверить, что AE EA A .

Обратная матрица. Пусть дана квадратная матрица

a11

a1n

Определитель этой матрицы есть число

a11

a1n

an1 ann

Пусть этот определитель не равен нулю и

Aij

– алгебраическое дополнение

для элемента aij .

Обратной к данной матрице A называется матрица, обозначаемая A 1

равная

A11

An1

A1n

Ann

Нетрудно проверить, что AA 1

A 1 A E.

Отсюда видно, что для построения обратной матрицы A 1 для матрицы

нужно:

элементы A заменить на их алгебраические дополнения;

все дополнения поделить на A

– определитель матрицы A ;

полученную матрицу транспонировать.

Из приведенного определения видно, что для нахождения A 1 нужно вычислить определитель матрицы и все алгебраические дополнения для

всех ее элементов.

5354.ru	59

§ 4. Системы n линейных алгебраических уравнений с n неиз-

вестными. Матричный метод решения

Дана система уравнений

a	x	a		x	... a	x	b ,
11	1	12		2	1n	n	1
a21x1		a22 x2			... a2n xn		b2	,	,	(7)
									,	(7)


a	x a			x	... a	x	b ,
n1	1		n2 2		nn n		n
где x1, x2 , , xn – искомые неизвестные,				a11, a12 ,		, ann			– заданные числа,
называемые коэффициентами уравнений системы,							b1, b2 , , bn			– заданные

числа, называемые свободными членами системы уравнений. Нужно найти

x1,	x2 , , xn . Введём три матрицы
	a11		a1n
	A						,	(8)
	a					a
		n1				nn
			x1
	X		x			,		(9)
	X			2		,		(9)


			x
				n
			b1
	B		b					(10)
	B			2	.			(10)


			b
				n
A	называется матрицей коэффициентов системы (7),						X	– матрицей неиз-

вестных, B – матрицей свободных членов. Определитель матрицы A называ-

ется определителем системы и обозначается . Итак, определитель системы

(7) равен

a11

a1n

(11)

an1 ann

Возьмём произведение AX

матриц (8) и (9). Так как X – столбцевая мат-

рица, то это произведение также представляет собой столбцевую матрицу

a11x1 a12 x2 a1n xn

a21x1 a22 x2 a2n xn .

x a

n1 1

5354.ru

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 196 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.05.2015371.27 Кб11rulturologiy 2.pdf
#
14.11.2018293.89 Кб8russkij-yaz.-egye-chast-s-yenciklopediya.doc
#
17.03.2016150.23 Кб11rutrvar56.pdf
#
17.03.2016311.15 Кб6ryady_metod_ukazaniya_kgasu_5354.pdf
#
12.05.20153.88 Mб44SalimovRB_matematika_gl_1-20_2011_web.pdf
#
12.05.20153.69 Mб101SalimovRB_matematika_gl_1-9_2011_web.pdf
#
11.05.2015988.67 Кб45Sbornik_testov_s_otvetami_marketing.doc
#
01.05.2025714.03 Кб0Sbornik_zadach_-mogut_prigoditsya_pri_sdache_ek...docx
#
12.05.20159.79 Mб16SGH_i900_service_manual-spaces_ru.pdf
#
12.05.2015526.35 Кб50Shavali_Burova_109_13.pdf
#
11.05.2015710.66 Кб31Shpargalka_po_pravookhranitelnym_organam.doc