SalimovRB_matematika_gl_1-9_2011_web

ГЛАВА 9. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

§ 1. Функции двух переменных и способы их задания

Пусть M – некоторое множество пар x, y действительных чисел, N –

некоторое множество действительных чисел z.

Функцией двух переменных x, y называется правило, согласно которому каждой паре чисел x, y из множества M отвечает одно определённое число

z из множества N при условии, что каждому числу z из множества N отвечает хотя бы одна пара (x, y) из множества M . Числа x, y называют аргумен-

тами или независимыми переменными, а z – зависимой переменной или функцией. Множество M называют областью определения функции, а множество

N – областью значений функции.

Для обозначения функции применяют символ z f x, y . Например,

Каждой паре чисел (x, y) на плоскости Oxy отвечает определённая точка поэтому функцию двух переменных z f x, y можно рассматривать как функцию точки P, при этом пишут z f x, y f P , помня, что P – точ-

ка с координатами x, y. Ясно, что множеству M – области определения функции z f x, y f P – на плоскости Oxy отвечает некоторое множество точек.

Будем также называть его областью определения рассматриваемой функции.

Как правило, будем рассматривать функции двух переменных, для которых указанное множество точек, отвечающих M , на плоскости Oxy образует область.

Пусть плоскость Oxy разбита простой (т. е. без точек самопересечения) замкнутой кривой L на две части: внутреннюю D и внешнюю (см. рис. 88). Каждую из этих частей называют областью, кривую L – границей области. Точки области, не лежащие на границе L, называ-

ются внутренними точками области, а точки гра-

ницы – граничными. Если в область входят также Рис. 88 все точки её границы L, то эту область называют

151

5354.ru

Например, функции, определённой формулой (1), в пространстве Oxyz отвечает верхняя часть сферы радиуса r 1 с центром в начале координат. В самом деле, согласно (1) z 0, т. е. поверхность расположена выше плоскости Oxy, а возведя в квадрат (1), получим уравнение сферы x2 y2 z2 1. Это означает, что координаты любой точки, рассматриваемой поверхности, отвечающей функции (1), удовлетворяют последнему уравнению.

§ 3. Функции трёх и большего числа переменных. Частное и полное приращения функции

Аналогично предыдущему можно ввести понятия функций трёх и большего числа переменных. Например, функции трёх переменных обозначаются U f x, y, z . Мы знаем, что в пространстве Oxyz тройке чисел x, y, z отвеча-

функции трёх переменных, для которых областью определения служит некоторая конечная область - часть пространства ограниченная замкнутой поверхностью (например, сферой). Эту поверхность называют границей области. Определения конечной и замкнутой областей такие же, что и в § 1.

Функцию n переменных будем обозначать U f x1 , x2 , , xn , здесь x1, x2 , , xn – аргументы функции. Мы знаем, что в n -мерном пространстве каждой совокупности n чисел x1, x2 , , xn отвечает точка P, для которой эти числа являются координатами. Поэтому функцию n переменных можно рассматривать как функцию этой точки P в n -мерном пространстве U f P .

Функции трёх и большего числа переменных геометрического истолкования не имеют.

Пусть дана функция двух переменных z f x, y . Пусть из двух аргументов этой функции второй аргумент y – постоянная, а первый аргумент x изменяется и получает приращение x. Тогда соответствующее приращение

нию x.

Пусть теперь x const, а y изменяется и получает приращение y. Тогда соответствующее приращение функции обозначается y z f x, y y f x, y

154

5354.ru

и называется частным приращением по y функции z f x, y в точке x, y соответствующим приращению y.

Пусть теперь оба аргумента x, y изменяются и получают приращенияx, y. Тогда выражение z f x x, y y f x, y называется полным приращением функции z f x, y в точке x, y , соответствующим приращениямx, y. Аналогично определяются частное и полное приращения функции трёх и большего числа переменных.

Рассмотрим функцию n переменных U f x1 , x2 , , xn . Пусть изменяется только x1 и получает приращение x1, а все остальные аргументы остаются

функции, то получаем её полное приращение

U f x1 x1 , x2 x2 , , xn xn f x1 , x2 , , xn .

§ 4. Предел функции

деление предела, введём следующие понятия.

Окрестностью точки P0 называется внутренность круга с центром в точ-

155

5354.ru

Теорема 1. Если функция непрерывна в замкнутой конечной (ограниченной) области, то:

по крайней мере в одной точке P1 области она принимает своё

Она определена в замкнутой конечной области – круге радиуса r 1 с центром в начале координат. Граница круга входит в область определения. График этой функции – верхняя часть сферы радиуса r 1 с центром в начале координат.

§ 7. Частные производные

Дана функция z f x, y . Частной производной по x этой функции называется её производная по x, вычисленная в предположении, что y const. Эта

159

5354.ru

функцию z f x, y одного аргумента x. Указанную производную определим известным способом – для данного приращения x возьмем приращение рас-

по y, вычисленная в предположении, что x остается постоянной. Эта произ-

только x1 , а все остальные аргументы остаются постоянными. Тогда мы можем вычислить частную производную по x1 этой функции

Пример. Найти частные производные функции

Частная ее производная по x вычисляется в предположении, что

Тогда получим степенную функцию вида xn , поэтому zx yxy 1. Частная производная по y этой функции берётся при x const, т. е. мы получим показательную функцию вида a y , следовательно, zy x y ln x.

§ 8. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных

Дана функция z f x, y , ей в пространстве Oxyz соответствует поверхность (см. рис. 93), для простоты считаем, что f x, y 0. Через произвольную

точку x оси Ox проведём плоскость перпендикулярно к Ox. Она пересекает поверхность z f x, y по линии ly , а плоскость Oxy – по прямой PP1. Все

160

5354.ru