SalimovRB_matematika_gl_1-9_2011_web

Отметим, что фигурирующая в теоремах Ролля, Коши, Лагранжа точка x c ( a c b ) неизвестна, известно лишь, что такая точка существует. Поэтому формулы Лагранжа и Коши для вычислений не используются, но они имеют большое теоретическое значение.

§ 4. Правило Лопиталя

функций также имеет предел, равный пределу отношения производных, т. е.

изводные мы предполагаем существующими всюду вблизи x0 как слева, так и справа.

Возьмём интервал x0 , x , считая, что x – некоторое фиксированное зна-

дифференцируемы всюду внутри него. Дополнительно предположим, чтоx нигде в этом интервале не обращается в нуль (это предположение явля-

ется естественным, т. к. x в формуле (7) стоит в знаменателе). Таким об-

разом, эти две функции удовлетворяют всем условиям теоремы Коши. Поэтому для них и интервала x0 , x справедлива указанная теорема, когда в ней x0 a и x b. Итак,

121

5354.ru

Но f x0 0 и x0 0. Следовательно, эта формула примет вид

Согласно условию теоремы существует предел отношения производных

что предел правой части существует. Тогда будет существовать и предел левой части, равный первому:

Сравнив формулы (9) и (10), придем к формуле (7). Теорема для указанного случая доказана. Случай, когда x , приводится к рассмотренному заменой x 1 x , при этом x 0. Доказательство, когда x , f x , опускаем.

Замечание. Может оказаться, что функции f x и x одновременно стремятся к нулю или к бесконечности при x x0 или x . Тогда к пределу отношения производных вновь можем применить правило Лопиталя, т. е.

следнего предела снова можем воспользоваться правилом Лопиталя. Поэтому

122

5354.ru

lim x . Искомый предел функции (13) также равен нулю. Таким образом,

x 0

lim x ln x 0.

x 0

Рассмотрим предел

Пока будем искать не сам предел A, а ln A. Согласно предыдущему соотношению имеем ln A ln lim f x x . Но логарифм, как основная элементарная функция, является непрерывной функцией, поэтому знак логарифма и знак предела можно переставить местами, и получим ln A lim ln f x x . В правой части воспользуемся свойством логарифмов: ln A lim x ln f x . Но здесь

ln A a, a – найденное число. Отсюда A ea .

Пример 2. Вычислить предел lim xx .

x 0

Здесь имеем неопределённость типа 00. Искомый предел обозначим через

125

5354.ru

равна нулю, то функция f x в этом интервале остаётся постоянной величиной, т. е. f x const .

Доказательство. Докажем одно из утверждений теоремы (остальные до-

ция в рассматриваемом интервале.

§ 2. Точки экстремума функции. Необходимый признак экстремума.

Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутом интервале

Пусть x0 – внутренняя точка области определения функции f (x). Точка x0 называется точкой максимума функции f x , если для всех отличных от x0 точек некоторой окрестности точки x0 (другими словами, некоторого малого интервала, содержащего внутри себя точку x0 ), выполняется неравенство

f x0 f x .

Точка x0 называется точкой минимума функции f x , если для всех отличных от x0 точек некоторой окрестности точки x0 выполняется неравенство

f x0 f x .

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума этой функции, а значения функции в этих точках – экстремаль-

ными (максимальными или минимальными) значениями.

Возьмём, например, непрерывную в интервале

Рис. 62

127

5354.ru

[a,b] функцию, график которой изображён на рис. 62. Для этой функции x1 – точка максимума, так как значение f x1 больше значений функции f x во

всех соседних точках, т. е. оно является наибольшим значением функции f x в некоторой окрестности точки x1. Аналогично x1 – точка максимума

функции f x . Кроме того, x2 и x2 являются точками минимума функции f x . В то же время для функции с графиком, указанным на рисунке, минимальное значение f x2 больше f x1 – максимального значения этой функ-

ции.

Отметим также, что максимальное значение функции, как и минимальное ее значение, определяются для достаточно малого интервала, содержащего точку максимума или минимума функции. Эти значения нельзя путать с наибольшим и наименьшим значениями функции на интервале a, b . Дело в

том, что последние значения функция может принять на концах интервала. Эти значения могут также совпадать с максимальным и минимальным значениями функции. Например, для функции, график которой указан на рис. 62, наибольшим значением функции в интервале является – значение

на правом конце интервала, а наименьшее значение функции здесь совпадает с одним из минимальных значений f x2 .

Из сказанного следует, что для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f x на a, b нужно поступить так:

найти все максимальные и минимальные значения функции в интервале

a, b ;

вычислить значения f a , f b этой функции на концах интервала

a, b ;

из всех найденных значений выбрать наибольшее, а затем наименьшее. Эти значения будут соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции на интервале

Теорема 3 (необходимый признак экстремума функции). Если диффе-

ренцируемая функция f x в точке x0 имеет экстремум, то её производная f x в этой точке обращается в нуль, т. е. f x0 0.

Доказательство. Пусть x0 – точка экстремума функции f x , например, точка ее максимума. Это означает, что значение f x0 функции в этой точке

128

5354.ru

является наибольшим значением функции в некотором, достаточно малом

рис. 63.

Заметим, что не всякая точка, в которой производная функции обращается в нуль или не существует, является точкой экстремума. Покажем это на примере функции производная которой f x 3x2 . В точке x 0 произ-

водная обращается в нуль. Но эта точка не является точкой экстремума функции. В самом деле, для всех x , отличных от нуля, производная положи-

тельна. Отсюда согласно доста-точному признаку возрастания функции полу-

функции или нет, отвечают достаточные признаки экстремума функции.

129

5354.ru