SalimovRB_matematika_gl_1-9_2011_web

учтём, что в правой части (28) стоит сложная функция. Получим

§13. Дифференциал функции

иего применение в приближённых вычислениях

Дана функция y f x , которая дифференцируема в интервале a, b .

Пусть x – произвольная фиксированная точка этого интервала, тогда в этой точке существует производная f x . Это означает, что существует конечный

меняется и стремится к 0 ). Эта функция при x 0 имеет предел f x , рав-

ный определённому числу, так как x – фиксированная величина. Значит (теорема 8 главы 4), эта функция может быть представима в виде суммы своего предела и бесконечно малой функции: y / x f x , где – бесконечно

малая функция (т. е. 0 при x 0 ). Отсюда, умножив обе части последнего соотношения на x, получим

при x 0 произведение f '( x) x есть бесконечно малая функция одного порядка с бесконечно малой функцией x, так как предел их отношения существует и не равен нулю. Ясно, что y также является бесконечно малой функцией одного порядка с бесконечно малой функцией x, так как предел их отношения существует и не равен нулю. В формуле (33) y и суть бесконечно малые функции одного порядка с бесконечно малой функцией x.

111

5354.ru

Второе слагаемое правой части этой формулы есть бесконечно малая функция более высокого порядка по сравнению с x , так как предел их отношения

Здесь x – приращение аргумента, которое выбирается нами независимо от x и может не быть бесконечно малой, но если x – бесконечно малая величина ( x 0 ), то дифференциал (34) есть также бесконечно малая величина одного порядка с x 0, как и приращение y, входящее в (33). Указанный дифференциал отличается от приращения y на величину x более высокого порядка малости, чем x. В этом случае говорят, что бесконечно малая dy явля-

дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной. Поэтому формулу (34) можно записать так:

Отсюда f x dy / dx. Таким образом, производная представляет собой отно-

шение дифференциала функции к дифференциалу аргумента. Дифференциал функции dy при малых x отличается от приращения

функции y на величину x , значительно меньшую, чем x , и, следовательно, y dy . Последнее соотношение используется в приближенных вычислениях. Запишем его с учетом выражений для y, dy следующим образом: f (x x) f (x) f (x) x. Для примера запишем это соотношение для функции y sin x :

112

5354.ru

d n y f n x dx n . В последней формуле в выражении dx n степень пишут без скобок, тогда d n y f n x dxn . Отсюда f n x d n y / dxn , т. е. n -я производная представляет собой отношение соответствующих дифференциалов.

114

5354.ru

ГЛАВА 6. ФУНКЦИИ, НЕПРЕРЫВНЫЕ В ЗАМКНУТОМ ИНТЕРВАЛЕ. ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ

§ 1. Свойства функций, непрерывных в замкнутом интервале

Теорема 1. Если функция y f x непрерывна в замкнутом интервале

для всех x из a; b .

Дадим лишь геометрическое нестрогое доказательство этой и последу-

хотя бы одну общую точку с графиком функции. Абсциссы точек графика, общих с прямыми y M и y m, будут соответственно значениями x1, x2 аргумента x, в которых имеют место соотношения (1) и (2) для соответствующих значений функции.

ке x1, удовлетворяющее неравенству (1), называется наибольшим значением

115

5354.ru

факт связан с тем, что рассматриваемая функция непрерывна в полуоткрытом интервале (0,1], т. е. не выполнено условие теоремы 1 (о непрерывности функции в замкнутом интервале).

Теорема 2. Если функция y f x непрерывна в замкнутом интервалеa; b и на концах интервала принимает значения разных знаков, то в этом интервале найдется по крайней мере одна точка c (a c b), в которой значение функции обращается в нуль, т. е. f c 0.

Пусть, например, f (a) 0, f b 0, т. е. значение на левом конце отрицательно, а на правом положительно. Значит, точка A a, f a графика рассматриваемой функции лежит ниже оси Ox, а точка B b, f b лежит выше этой

оси (см. рис. 58).

Так как график непрерывной функции – сплошная линия, то он, соединяя точки A и B, пересекает ось Ox в некоторой точке c, следовательно, ордината точки пересечения f c 0.

116

5354.ru

дящему в предыдущие неравенства. Этот предел является обычным двусторонним и существует независимо от знака x . Следовательно, в двух предыдущих неравенствах пределы одинаковы и равны f c . Поэтому предыдущие

Теорема Ролля. Если функция y f x непрерывна в замкнутом интервале a; b , дифференцируема во всех внутренних точках этого интервала и, кроме того, на концах интервала принимает одинаковые значения, то в этом

значение функция f x примет в некоторой точке x c, лежащей внутри ин-

y f x в её точке с абсциссой c параллельна оси Ox. В самом деле, вычис-

118

5354.ru

ляемая в точке c производная f c равна тангенсу угла наклона к оси абсцисс касательной к кривой y f x в её точке с абсциссой x c. Если эта производная равна нулю, то f c tg 0 и 0, т. е. касательная параллельна оси Ox.

§ 3. Теоремы Коши и Лагранжа

Теорема Коши. Если функции f x и x непрерывны в замкнутом интервале a; b и дифференцируемы во всех внутренних точках этого интервала, причём всюду в этом интервале x 0, то в a; b найдется хотя бы одна точка x c ( a c b ), для которой справедлива формула

Она удовлетворяет следующим условиям:

непрерывна на a; b , действительно, x непрерывна в этом интервале по условию, поэтому произведение дроби и x также есть непрерывная

функция на этом интервале согласно теореме о произведении непрерывных функций;

разность, стоящая в правой части (4), – непрерывная функция согласно теореме о разности непрерывных функций;

F x дифференцируема во всех внутренних точках интервала a; b и

имеет производную

так как производные f x и x существуют согласно условию теоремы;

119

5354.ru