optika

2.Эйнштейн, развивая идеи Планка, предположил, что свет представляет собой поток фотонов, энергия которых ε= hν, и поглощение света происходит квантами. В пользу квантовой теории света свидетельствуют ряд явлений, в том числе фотоэффект, фотохимические превращения и световое давление.

3.Свет и летящие микрочастицы обладают двойственной природой корпускулярной (квантовой) и волновой. В одних опытах они проявляют себя как частицы, в других — как волны. Длина волны де Бройля (длина волны летящих частиц) рассчитывается

λ = h .

по формуле: mυ Физический смысл этих волн заключается в том, что квадрат амплитуды волн де Бройля в данной точке является мерой вероятности того, что частица находится в этой точке.

4. Согласно принципу неопределённости Гейзенберга, координата x и импульс частицы p не могут быть одновременно точно измерены. Произведение неопределённостей координаты ∆x и импульса ∆px не может быть меньше h/(2π), т.е. ∆x ∆px ≥ h/(2π). Это является следствием двойственной природы частиц вещества и неизбежного взаимодействия измеряемого объекта и измеряющего прибора.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Какое тело называют абсолютно чёрным?

2.Сформулируйте и запишите законы Стефана — Больцмана и Вина.

3.В чём заключается явление фотоэффекта и каковы его законы?

4.Запишите и сформулируйте уравнение Эйнштейна.

5.Выведите формулу давления света.

6.Дайте понятие двойственной природы света.

7.Сформулируйте понятие двойственной природы частиц вещества.

8.В чём заключаются соотношения неопределённостей Гейзенберга?

ЗАДАЧИ

2.1.Найти температуру печи, если известно, что излучение из отверстия площадью 600 см2 имеет мощность 35 кВт. Излучение считать близким к излучению абсолютно чёрного тела.

2.2.Мощность излучения абсолютно чёрного тела — 10 кВт. Найти площадь излучающей поверхности тела, если максимум излучения приходится на длину волны 700 нм.

63

2.3.Абсолютно чёрное тело имеет температуру 2900 К. В результате остывания максимум излучения изменился на 9 мкм. До какой температуры охладилось тело?

2.4.Какую мощность надо подводить к зачернённому металлическому шарику радиусом 2 см, чтобы поддерживать его температуру на 27 К выше окружающей среды? Температура окружающей среды — 293 К. Считать, что тепло теряется только вследствие излучения.

2.5.Какую максимальную кинетическую энергию имеют вырванные из лития электроны при облучении светом частотой 1015 Гц? Работа выхода электрона равна 2,4 эВ.

2.6.С какой длиной волны следует направить свет на поверхность вещества, чтобы максимальная скорость вылетающих электронов была 2000 км/с? Красная граница фотоэффекта для данного вещества — 690 нм.

2.7.Источник света мощностью 100 Вт испускает 5 1020 фотонов за 2 с. Найти среднюю длину волны излучения.

2.8.Определить длину волны излучения, кванты которых имеют такую же энергию, что и электрон, пролетевший разность потенциалов 4 В .

2.9.Давление света с длиной волны 400 нм, падающего нормально на чёрную поверхность, равно 2 нПа. Определить число фотонов, падающих за 10 с на площадь 1 мм2 этой поверхности.

2.10.Пучок монохроматического света падает нормально на плоскую зеркальную поверхность. Мощность излучения — 0,5 Вт. Какова сила светового давления, испытываемого этой поверхностью?

ГЛАВА 3. АТОМ ВОДОРОДА ПО БОРУ

§16. ЛИНЕЙЧАТЫЕ СПЕКТРЫ И ЗАКОНОМЕРНОСТИ В НИХ

Если свет, испускаемый нагретым газом (например, баллоном с водородом, через который пропускается электрический ток), разложить с помощью дифракционной решётки (или призмы) в спектр, то выяснится, что он состоит из ряда линий. Поэтому такой спектр называют линейчатым. Линейчатость означает, что в спектре содержатся только некоторые определённые частоты волн ν , ν2, ν3 и т.д. Отметим, что в случае света, излучаемого, например, электрической лампочкой, в спектре содержатся любые частоты в некотором диапазоне и спектр называется сплошным (наблюдается радужная окраска). Излучение нагретого газа (в нашем случае водорода) осуществляется атомами, которые "генерируют" электромагнитные волны определённых частот.

64

Изучая соотношение частот разных спектральных линий в видимой области спектра атома водорода, Бальмер вывел эмпирическую формулу, которая описывала наблюдаемые частоты и позволила предсказать ряд других, ранее не наблюдавшихся. Позднее другими исследователями были получены аналогичные соотношения для частот спектральных линий, входящих в другие области спектра водорода (ультрафиолетовую и инфракрасную). С учётом всех этих данных обобщённая формула Бальмера имеет вид:

где ν— частота, испускаемого света; i = 1, 2, 3, 4, 5 — целое число, характеризующее серию линий; n = i +1, i + 2, ... — целое число, характеризующее конкретную линию серии; R = 3,28·1015 1/с — постоянная Ридберга. При i = 1 описывается так называемая серия Лаймана в

области.

Формула Бальмера является эмпирической, т.е. получена путём обобщения экспериментальных данных. С точки зрения классических представлений невозможно было осмыслить и понять её физический смысл. Эта формула содержит целые числа, что само по себе весьма нехарактерно для классической физики. Оказалось, что для её понимания нужны совершенно новые подходы и, прежде всего, следует разобраться в том, что представляет собой атом.

§17. СТРОЕНИЕ АТОМА

1. Резерфордовская модель атома. Опыты по изучению рассеяния α-частиц при прохождении их через тонкие металлические фольги позволили Резерфорду предложить ядерную модель строения атома: атом состоит из положительно заряженного ядра, вокруг которого вращаются электроны. При этом размеры ядра много меньше размеров электронной оболочки атома и заряд ядра равен суммарному заряду электронов по абсолютной величине. Однако эта модель с точки зрения классической физики обладает двумя недостатками.

1) Известно, что ускоренно движущиеся заряженные частицы излучают электромагнитные волны. В атоме электроны, двигаясь вокруг ядра, обладают нормальным ускорением. Поэтому они должны излучать энергию в виде электромагнитных волн. Потеря

65

энергии приводит к тому, что электроны должны двигаться по спиральным траекториям, приближаясь к ядру, и через очень короткое время упасть на него, т.е. атом прекращает своё существование.

2) Согласно классической теории, при движении заряженной частицы по круговой орбите излучаются электромагнитные волны с частотой, равной частоте её вращения. Электрон в атоме, двигаясь по спиральной траектории, непрерывно меняет частоту обращения вокруг ядра. Поэтому атом должен излучать электромагнитные волны с частотами, лежащими

внекотором интервале, т.е. спектр атома должен быть бы сплошным.

Вдействительности же атомы являются устойчивыми образованиями и излучают линейчатые спектры, что с точки зрения классической физики не объяснимо.

Для устранения указанных противоречий и построения модели атома Бор пришёл к выводу, что необходимо отказаться от классических представлений. Он постулировал ряд принципов, которые получили название постулатов Бора.

2.Постулаты Бора. Первый постулат. Существуют стационарные состояния атома, находясь в которых, он не излучает энергии. В таких состояниях атома электроны, вращаясь вокруг ядра, не излучают электромагнитные волны, несмотря на наличие у них ускорения. Иными словами, Бор предположил, что классическая теория излучения к микромиру не применима. Таким образом был устранён первый недостаток ядерной модели атома.

Второй постулат. В стационарном состоянии атома электрон, двигаясь по круговой орбите, имеет квантованные (дискретные) значения момента импульса, которые удовлетворяют условию

L = n h ,

2π (17.1)

где L = mυr момент импульса электрона; m и υ — его масса и скорость; r —

радиус его орбиты; n = 1, 2, 3,..., h постоянная Планка. Физический смысл этой формулы можно понять из следующих рассуждений, приведённых де Бройлем. Вспомним, что с движущимся электроном связана волна, длина волны которой определяется по формуле

λ = h/(mυ). Каждому электрону в атоме, считал де Бройль, соответствуют стоячие круговые волны, которые замыкаются сами на себя (рис. 17.1 а).

66

второй закон Ньютона F = ma. Электрон, двигаясь по круговой орбите радиусом r, обладает центростремительным ускорением a = υ2/ r. Между электроном и ядром действует кулоновская сила притяжения F = e2/(4πε0r2). C учётом этого второй закон Ньютона запишется:

Здесь m и υ — масса и скорость электрона; e — заряд электрона и ядра по абсолютной величине; ε0 — электрическая постоянная. Из второго постулата Бора υ = nh/(2πmr). Подставляя это значение в выражение (18.1), находим, что

В классической физике радиус движения тела по орбите может быть любым, т.е. является величиной непрерывной, тогда как в атоме это величина, принимающая лишь дискретные значения, или, как говорят, квантованная. Отметим, что формула (18.3) позволила впервые оценить размеры атома водорода (~10–10 м), который определяется радиусом вращения электрона.

Найдём полную энергию W атома при движении электрона по орбите радиуса r. Она складывается из кинетической энергии Wk электрона относительно ядра и потенциальной энергии Wp взаимодействия электрона с ядром, т.е. W = Wk + Wp. Уравнение (18.1) преобразуем к виду:

68

mυ2/2 = Wk кинетическая энергия электрона. Учитывая это и выражение (18.5), получаем,

где n может принимать только целые значения 1, 2, 3, ... . Величину n в квантовой физике называют главным квантовым числом. Из соотношения (18.6) видно, что энергия может принимать только вполне определённые дискретные значения, или, говорят, энергия квантована.

Каждому квантовому числу соответствует своя энергия или, как принято говорить, свой энергетический уровень. Такой уровень обычно рисуют в виде некоторой линии. Энергетическое состояние, соответствующее n = 1, называют основным; им обладает невозбуждённый атом, т.е. атом, который не подвержен никаким внешним воздействиям. Состояния с n > 1 называются возбуждёнными; в этом случае атому каким-то образом сообщена энергия извне (например, за счёт энергии электрического поля в газоразрядных лампах).

На основе выше сказанного можно объяснить природу линейчатых спектров. Согласно третьему постулату Бора, энергия испущенного или поглощённого кванта с учётом

(18.6) равна:

69

Происхождение линейчатых спектров хорошо иллюстрируется с помощью рисунка, изображающего энергетические уровни атома водорода (рис. 18.1).

Рис. 18.1

Стрелками изображаются переходы, соответствующие различным линиям и сериям спектральных линий.

Таким образом, теория Бора позволила вычислить энергию атома водорода, его размеры (радиус орбиты электрона) и объяснить происхождение линейчатых спектров. Совпадение выводов теории Бора с экспериментальными данными не оставляло желать лучшего. Теория Бора была крупным шагом в развитии теории атома и отчётливо показала неприменимость классической физики к явлениям, происходящим в микромире. Но после успехов теории появились трудности, и, в частности, она потерпела полную неудачу в попытке построения теории атома гелия одного из простейших атомов, непосредственно следующего за атомом водорода в таблице Менделеева. Слабой стороной теории Бора была внутренняя логическая противоречивость: с одной стороны, она использовала классическую теорию (закон Ньютона), с другой новые квантовые представления (постулаты Бора). После открытия волновых свойств вещества стало совершенно ясно, что теория Бора явилась только переходным этапом на пути создания новой последовательной теории атомных явлений квантовой механики.

70

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

Согласно модели Резерфорда, атом состоит из массивного, положительно заряженного ядра, вокруг которого на больших расстояниях по сравнению с размерами ядра вращаются электроны.

Для объяснения линейчатых спектров атомов, а также их стабильности Бор выдвинул три постулата:

1. Существуют стационарные состояния атома, находясь в которых, он не излучает

энергии.

2. В стационарном состоянии атома электрон, двигаясь по круговой орбите, имеет квантованные (дискретные) значения момента импульса, которые удовлетворяют условию:

радиус его орбиты; n = 1,2,3,..., h постоянная Планка.

3.Испускание света атомом происходит лишь при переходе электрона из одного стационарного состояния в другое с меньшей энергией. При этом испускается один световой фотон, энергия которого определяется соотношением hν = Wn − Wi, где Wn и Wi энергия верхнего и нижнего состояния соответственно.

4.Бор показал, что радиусы и полные механические энергии электрона в атоме водорода могут принимать только дискретные значения, т.е. квантуются.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Дайте понятие линейчатых спектров.

2.Запишите объединённую сериальную формулу Бальмера для атома водорода.

3.Какова резерфордовская модель атома? Каковы её недостатки?

4.Сформулируйте и запишите постулаты Бора.

5.Выведите обобщённую сериальную формулу Бальмера для атома водорода.

ГЛАВА 4. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

На основе представлений о двойственной природе вещества, новых подходов к объяснению строения атома была создана теория, названная квантовой механикой. Эта теория блестяще решила проблему спектров сложных атомов, объяснила яркость спектральных линий, образование молекул из атомов. Квантовая механика объяснила также широкий круг явлений природы, на основе чего появились новые науки — атомная и ядерная физика, было

71

создано много новых практически полезных устройств, например, квантовые генераторы (лазеры).

Квантовая механика занимается изучением микромира и света. Поэтому её не стоит использовать при рассмотрении макроскопических явлений, несмотря на то, что из неё при переходе к нашему обычному миру следуют хорошо известные классические законы. Таким образом, в привычном для нас макромире для описания движения тел используется классическая механика, при рассмотрении движений со скоростями, соизмеримыми со скоростью света, — теория относительности, в случае микромира — квантовая механика.

§19. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА

1. Волновая функция. Как указывалось в §14, с движущейся микрочастицей связана так называемая волна де Бройля, которую описывают волновой функцией и обозначают

данной точке, т.е. позволяет судить о вероятности нахождения частицы в какой-нибудь точке пространства. Пусть вероятность обнаружения частицы в элементарном объёме dV равняется

смысл функции ψ, который заключается в том, что квадрат её модуля даёт плотность вероятности (вероятность, отнесённую к единице объёма) нахождения частицы в каком-либо месте пространства. Исходя из этого, на функцию ψ накладываются следующие математические условия: она должна быть непрерывной, конечной и однозначной. Кроме того, она должна быть нормированной функцией. Условие нормировки таково:

(19.1)

Это условие означает, что вероятность обнаружения частицы в любой точке пространства равна единице, т.е. это событие достоверное. Таким образом, с помощью волновой функции можно лишь предсказать, с какой вероятностью частица может быть обнаружена в различных точках пространства, и вопрос о точном местонахождении частицы в квантовой механике лишён смысла.

2. Одной из задач квантовой механики является определение вероятности нахождения какой-то микрочастицы (электрона, протона и др.) в некоторой системе,

например, в атоме, т.е. нахождение волновой функции, или точнее — ψ 2 . В квантовой

72