lecture_martyshev

участка рамы определяется M xi и Qyi . А N zi определяются из аналогичных формул N zi = -å Fizлев = å Fizправ . По этим формулам на каждом участке рамы можно построить эпюры Nz , эпюры Qy и эпюры M x . Эти эпюры строятся по правилам, принятым в разделе 5 (см. Пример 1, рис. 5.5).

Метод сил.

I. Теорема о взаимности работ (теорема Бетти)

Рис.14.6.

На горизонтальную балку АВ приложим статически силу Р1. Балка прогнется и займет положение пунктирной линии, сила Р1 совершит работу А11 = Р1 11/2. Далее приложим статически силу Р2, балка еще прогнется

21 – перемещение по направлению Р2 от Р1; 22 – перемещение по направлению Р2 от Р2

По принципу независимости действия сил, суммарную деформацию балки (сплошная линия), можно получить одновременно статически

Итак: Работа Р1 по ее направлению на перемещении ( 12), вызванном Р2 , равна работе Р2 по ее направлению на перемещении ( 21), вызванном Р1. Это и есть теорема Бетти. Эта теорема справедлива и в случае, когда под Р1

иР2 подразумеваются системы нагрузок.

II. Теорема о взаимности перемещений (принцип Максвелла)

171

Пусть на балку (рис. 14.6) приложены силы Р1 = Р2 = 1 (единичные силы). Для удобства перемещения от этих единичных сил будем обозначать δij . С

учетом (14.5) можно записать

P1δ12 = P2δ21, т.к. Р1 = Р2 = 1 получим

Это и есть принцип Максвелла: для двух единичных нагружений упругой системы перемещение по направлению первой единичной силы, вызванное второй единичной силой, равно перемещению по направлению второй силы, вызванной первой силой.

Ш. Формула перемещений (Мора)

В разделе 3, формула (3.18) показано, что потенциальная энергия деформации при растяжении (сжатии) стержня силой N = Nz равна

В разделе 5, формула (5.21) показано, что при изгибе стержня M x

1 l M 2

энергия U = ò x dz . 2 0 EJx

В общем случае можно записать, допуская, что изгиб М может быть и относительно оси х ( M x ) и относительно оси у( M y )

Полагаем, что деформации стержней малы, материал их подчиняется закону Гука, потерь энергии нет и работы Aij определенные выше, переходят

в потенциальные энергии Uij , т.е. Aij = Uij , где i = 1,2 и j = 1,2.

От нагрузки Р1 в каждом стержне конструкции появляются N = N1 и М = М1. С учетом (14.7) и (14.8) и т.к. Aij = Uij получим

При одновременном действии нагрузок Р1 и Р2 в каждом стержне появятся N = N1 + N2 и М = М1 + М2 и тогда работа, совершаемая этими силами

172

Эта формула называется формула Мора, она определяет перемещение в направлении «единичной силы» от внешней нагрузки.

Порядок вычислений по формуле Мора

1.От внешней нагрузки для каждого стержня конструкции находятся формулы для вычислений и построения эпюр NР и MP;

2.в искомом сечении по направлению искомого перемещения прикладывается «единичная нагрузка» (для линейного перемещения –

сосредоточенная сила Р1=1, для угла поворота сечения – сосредоточенный момент m1=1) и от этого нагрузки во всех стержнях определяются формулы для N1 и М1, по которым строятся эпюры N1 и M1 ;

3.искомое перемещение определяется по формуле Мора (14.9), что на

практике сводится к перемножению эпюр: N1 на NP и эпюр: М1 на МР для каждого стержня и суммированием результатов;

4. если в результате вычислений получиться 1Р > 0, то искомое перемещение совпадает с направлением «единичной нагрузки».

Вформуле (14.9): Е – модуль упругости материала стержней, А и J – площади и моменты инерции относительно оси изгиба сечений каждого стержня.

На практике в формуле (14.9) используются лишь одно слагаемое:

Вфермах, где стержни работают в основном на растяжение-сжатие оставляют обычно только первое слагаемое. А т.к. эпюры N1i и NPi

постоянны по длине li стержней, то

173

Здесь n – число стержней в ферме.

В рамах (балках) используются обычно стержни большой изгибной жесткости EI и они работают в основном на изгиб. Поэтому, с достаточной точностью в (14.9) можно оставить только второе слагаемое

Перемножение эпюр можно проводить способом Верещагина: произведение эпюр равно площади одной эпюры, умноженной на ординату второй эпюры под центром тяжести первой. Умножение вести с учетом знаков.

Например:

у1

6

174

Рис.14.7.

Определение перемещений в статически определимых конструкциях методом сил

Пример 1.

Рис.14.8.

У рамы на рис. 14.8а найти вертикальное перемещение т.С от заданной нагрузки q?

Порядок расчета:

1. Строим эпюры МРi от нагрузки q для каждого i-го участка: I участок. 0 ≤ S1 ≤ а, Mp1 = − qS2 12 .

175

Строим эпюру МР2.

2. По условию задачи надо найти вертикальное перемещение т.С рамы, поэтому в этой точке прикладываем вертикальную силу Р1=1. Например, вверх на рис. 14.8в.

От этой единичной силы строим эпюры M1i для всех участков рамы: I участок. 0 ≤ S1≤ a, М11=Р1S1, считаем: S1 = 0 M11 = 0, S1 = a M11 = a

Рис.14.9.

3. Перемножаем эпюры M1i и эпюры M Pi как показано на рис. 14.7 на каждом i-м участке рамы:

176

Расчет статически неопределимых ферм и рам более сложен и подробно рассматривается в курсе «Строительная механика стержневых конструкций».

178

Вопросы для самопроверки

К разделу 1:

1.Что такое деформация тела под действием нагрузки?

2.Что называется упругостью, пластичностью материала, какие материалы называют изотропными и анизотропными?

3.Что определяет гипотеза Бернулли (гипотеза плоских сечений)?

4.Какие нагрузки могут действовать на конструкции?

5.Поясните понятия полного, нормального и касательного напряжений в точке сечения бруса.

6.Как обозначаются нормальные и касательные напряжения в декартовой системе координат XYZ? Запишите тензор напряжений Tσ ?

7.Что определяет закон парности касательных напряжений?

8.Как обозначаются компоненты полного перемещения точки в теле в декартовых осях?

9.Что такое относительные линейные деформации и деформации сдвига? Запишите тензор деформаций Tε ?

10.Какие внутренние силовые факторы (ВСФ) возникают в поперечном сечении бруса при его произвольном нагружении, как обозначаются они?

11.Как определяются все ВСФ в сечении бруса с использованием «метода сечений» (формулы (1.5)).

12.Как ВСФ определяются через напряжения в сечении бруса?

К разделу 2:

1.Что называется статическим моментом сечения относительно оси, осевым, полярным и центробежным моментами инерции?

2.Как вычисляются статические моменты и моменты инерции сложной фигуры сечения?

3.Зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей?

4.Зависимость между моментами инерции при повороте осей?

5.Какие оси называются главными, как они определяются. Что такое главные моменты инерции, как они вычисляются?

6.Как определяются главные оси для симметричных фигур?

7.Какие оси называются главными центральными?

8.Как определяется радиус инерции сечения, что такое эллипс инерции сечения?

9.Как вычисляются главные моменты инерции простых фигур: (прямоугольник, треугольник, круг)?

К разделу 3:

1.Какие внутренние силовые факторы возникают при центральном растяжении (сжатии)?

2.Что представляет собой эпюра N z ?

179

3. Как строится эпюра N z для колонны с учетом ее веса?

4.Как определяются напряжения в поперечном и наклонном сечении бруса?

5.Как определяются деформации в брусе?

6.Как записывается закон Гука?

7.Что такое коэффициент Пуассона?

8.Какие задачи называются статически неопределимыми? Приведите примеры.

9.Нарисуйте диаграмму растяжения Стали3. Укажите на ней основные

механические характеристики?

10.Условие прочности бруса по методу допускаемых (расчетных) напряжений?

11.Условие прочности бруса по методу разрушающихся нагрузок (предельному состоянию)?

К разделу 4:

1. Запишите закон Гука при сдвиге.

2. Какие виды разрушений возможны в заклепочных (болтовых) соединениях?

3. Запишите условие прочности сварного шва?

К разделу 5:

1.Как определяются опорные реакции в балках?

2.Какие внутренние силовые факторы (ВСФ) возникают в поперечных сечениях балок при плоском изгибе?

3.Как вычисляются продольная и поперечная силы в поперечном сечении бруса?

4.Как вычисляется изгибающий момент в поперечном сечении бруса?

5.Как строятся эпюры всех ВСФ в балке?

6.Как можно проверить правильность построенных эпюр ВСФ в балке?

7.Как определяются нормальные напряжения при чистом и поперечном изгибе балки?

8.Как определяется кривизна нейтрального слоя?

9.Что такое момент сопротивления сечения балки, как они вычисляются?

10.В каких точках сечения балки возникают максимальные нормальные напряжения?

11.Запишите формулу Журавского?

12.Как вычисляется для прямоугольного сечения балки Sxотс −

статический момент относительно оси х отсеченной части сечения. Поясните на рисунке?

13.По какому закону меняются τ yz − касательные напряжения в

поперечном сечении балки. Где максимальные и минимальные напряжения?

180