lecture_martyshev

Из этого следует, что l0, m0, n0 одновременно не могут быть равны нулю.

Раскрывая этот определитель получим, с учетом закона парности касательных напряжений:

x, y, z , а зависят от нагружения тела.

имеем три главных напряжения, которые действуют на трех главных площадках, определяемых li , mi , ni (i = 1, 2, 3) . Например, найдем

l1, m1, n1 главной площадки, где действует σ1. Для этого составим три уравнения: l12 + m12 + n12 =1 и любых два уравнения из системы (1), подставляя в них σ0 = σ1, l0 = l1, m0 = m1, n0 = n1. Решая эти три уравнения, найдем l1, m1, n1. Аналогично определяются две другие площадки, где действуют σ2 и σ3 . Можно показать, что главные площадки взаимно

ортогональны.

Инварианты напряженного состояния через главные напряжения определяются с учетом (12.5) так:

J1 = σ1 + σ2 + σ3, J2 = σ1σ2 + σ2σ3 + σ3σ1, J3 = σ1σ2σ3.

Здесь учтено, что на главных площадках нет касательных напряжений.

3. Экстремальные касательные напряжения Вырежем из тела малый тетраэдр, у которого координатные оси

совпадают с направлениями главных напряжений, т.е. на невидимых

151

Касательные напряжения на наклонной площадке найдем по (12.3), подстановкой (6)

Условие экстремальности τν по параметрам l2, m2 и n2 дает три решения, которые определяют три площадки с экстремальными τν :

Аналогично, на площадках с решениями 1) и 2), можно найти экстремальные τ1 и τ 2 .

Итак, имеем три площадки, на которых действуют экстремальные

152

4. Октаэдрические нормальные и касательные напряжения

Площадки, равнонаклоненные к направлениям главных напряжений, называются октаэдрическими, направляющие косинусы их l0 = m0 = n0 =1/ 3 , т.к. должно быть l02 + m02 + n02 =1.

Нормальное напряжение σ0 и касательное τ0 на этой площадке через

являются инвариантами по отношению к преобразованию координатных осей.

153

На наклонной площадке ab действует полное напряжение ρν , которое можно разложить:

1.на составляющие по осям x и y , т.е. на Xν и Yν ;

2.на нормальное σν и касательное τν напряжения.

Здесь l2 + m2 = cos2 α + sin2 α = 1.

Уравнения (12.7) легко получить из условий равновесия треугольного элемента, показанного на рис.12.1 Определим площадки элемента:

dA = dAab; dAx = dAoa = dAcosα = dA×l, dAy = dAob = dAsinα = dA× m (13)

Умножая напряжения на площадки, составим уравнения статики

Σx = 0 Xν dA −σ xdAx −τ xydAy = 0 Σy = 0 Yν dA −σ ydAy −τ yxdAx = 0

Подставляя (13) и сокращая на dA, получим формулы (12.7). Нормальное напряжение σν найдем, проектируя Xν и Yν на нормаль ν к площадке ab

(см.рис. 12.1)

σν = Xν cosα + Yν sinα = Xν l + Yν m

Подставляем (12.7), получим:

σν = (σ xl +τ xym)l + (τ xyl + σ ym)m =

Касательное напряжение τν определим, проектируя Xν и Yν на направление τν (см. рис. 12.1)

τν = Xν sinα −Yν cosα = Xν m −Yν l = = (σ xl +τ xym)m − (τ xyl + σ ym)l =

= (σ x −σ y )lm −τ xy (l2 − m2 )

154

площадки с направляющими косинусами l0 и m0 , на которых нормальные напряжения экстремальны и они называются главными напряжениями σ0 ,

Положение главных площадок, где действуют σ1 и σ2 в ПНС удобно определять углами α0 , которые нормали к главным площадкам составляют

с осью x . Их легко определить из условия отсутствия на главных площадках касательных напряжений. Подставляя α = α0 и τν = 0 в (12.9)

получим

0 = σ x −σ y sin 2α0 -τ xy cos 2α0 2

155

α0 > 0 и β0 > 0 откладывать от оси x против хода часовой стрелки. Чтобы не выяснять, на каких площадках действуют σ1 и σ2 , надо подставить α = α0 и α = β0 в формулу (12.8), большая величина σν = σ1, а

площадках под углом 45° к главным и определяются по формулам (12.12)

или (12.13).

Здесь учтено, что J1 = σ1 +σ2 = σ x +σ y .

156

d) Чистый сдвиг

Рассмотрим частный случай ПНС, когда главные напряжения

σ1 = σ , σ2 = −σ .

Вэтом случае экстремальные τ m найдем по (12.12), а нормальные

напряжения σm на этих площадках по (17). Итак

τ m = σ , σ m = 0

Такой случай носит название чистый сдвиг.

Вырежем из тела прямоугольный элемент, испытывающий чистый сдвиг, т.е. по его граням

известно, характеристики главной площадки.

Итак, при чистом сдвиге главные площадки расположены под углом 45° к площадкам чистого сдвига, а главные напряжения на них:

σ1 = τm , σ 2 = −τ m (при α0 = −45o )

III. Анализ деформированного состояния

ванного состояния проведем по аналогии с

вышеприведенным анализом напряженного состояния. Три взаимно ортогональных направления, сдвиги между которыми при деформации тела равны нулю, называются главными деформациями и обозначаются

ε1, ε2, ε3 .

Главные деформации находятся из уравнения, аналогичного уравнению (12.4) для определения главных напряжений

157

Здесь J1, J2 и J3 − инварианты деформированного состояния:

Решение кубического уравнения (12.15) дает три величины главных

Экстремальные сдвиги находятся по формулам, аналогичным (12.6) для определения экстремальных касательных напряжений

Для изотропных материалов направления главных деформаций совпадает с направлениями главных напряжений.

Выясним физический смысл инварианта J1(ε ) : Рассмотрим кубик, у

которого ребра совпадают с направлениями главных деформаций и до нагружения тела их длины равны 1. Его объем V0 = 1×1×1 = 1. После

деформации его объем станет V = (1+ ε1)(1+ ε2 )(1+ ε3) . Относительное изменение объема обозначим θ

θ= (V −V0 ) /V0 = (1+ ε1)(1+ ε2 )(1+ ε3) −1

θ= ε1 + ε2 + ε3 + ε1ε2 + ε2ε3 + ε3ε1 + ε1ε2ε3

Деформации ε1, ε2, ε3 малы, поэтому величины второго и третьего порядка малости можно не учитывать, тогда

Итак, первый инвариант деформированного состояния определяет относительное изменение объема тела.

Октоэдрический сдвиг, по аналогии с (12.7) – октаэдрических касательных напряжений, определяется так

Последняя формула получена с учетом (12.18)

158

РАЗДЕЛ 13 ФИЗИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ.

ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ

Физическим уравнениями называются соотношения, устанавливающие зависимости между напряжениями и деформациями. Экспериментально легко получить зависимость σ = f (ε ) в случае осевой

нагрузки (см. диаграммы растяжения-сжатия, приведенные в разделе 3 – механические свойства материалов). Сложные эксперименты с трубчатыми образцами позволяют получить такие зависимости для плоского напряженного состояния. Для трехмерного тела в общем случае нагружения, физические уравнения можно получить на основе одномерных экспериментов, используя некоторые гипотезы, проверенные практикой.

Обобщенный закон Гука

Рассмотрим трехмерное изотропное тело. Пусть в некоторой его точке возникают σ x, σ y , σ z , τ xy , τ yz , τ zx , которым соответствуют деформации

εx , ε y , εz , γ xy , γ yz , γ zx . Найдем связь между ними, используя следующие гипотезы, подтвержденные экспериментально:

1.Деформации малы, поэтому напряжения и деформации связаны линейно.

2.Сдвиги не влияют на линейные деформации и наоборот.

Найдем деформации в направлении оси х от σ x , σ y и σ z :