ЧМ-1

11

2.Методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

Методы решения систем уравнений:

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2

................................................ (2.1) an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn

делятся на точные и приближенные.

2.1. Метод Гаусса.

Является одним из наиболее распространенных методов решения систем линейных алгебраических уравнений. Этот метод является точным методом. В основе метода Гаусса лежит идея последовательного исключения неизвестных.

Рассмотрим систему из трех уравнений с тремя неизвестными:

I:a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1

Система уравнений (2.2) приводится к эквивалентной системе с треугольной матрицей:

I:a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1

Достигается это при помощи цепочки невырожденных элементарных преобразований, при которых из каждой строки вычитаются некоторые кратные величины, расположенные выше строк.

Процесс приведения системы (2.2) к системе (2.3) называется прямым ходом, а нахождение неизвестных x1, x2, x3 из системы (2.3) называется обратным ходом.

Прямой ход исключения: Исключаем x1 из уравнений (II) и (III) системы (2.2). Для этого умножаем уравнение (I) на d1=-a21/a11 и складываем со вторым, затем умножаем на d2=-a31/a11 и складываем с третьим.

В результате получаем следующую систему:

12

Из полученной системы (2.4) исключаем x2 . Для этого умножая новое уравнение на d3=-a¢32/a¢22 и складываем со вторым уравнением, получим уравнение:

Взяв из каждой системы (2.2), (2.4) и (2.5) первые уравнения, получим систему уравнений с треугольной матрицей.

Обратный ход: Из уравнения (III²) находим x3=b²3/a²33. Из уравнения

(II¢) находим x2=b¢2-a¢23x3. Из уравнения (I) находим x1=b1-a12x2-a13x3. Коэффициенты a11, a¢22 называются ведущими элементами 1-го и 2-го шагов исключения неизвестных. Они должны быть отличны от нуля. Если они равны нулю, то, меняя местами строки, необходимо на их место вывести ненулевые элементы.

Аналогичным путем методом Гаусса решаются системы n уравнений с n неизвестными.

Пример: Решить систему уравнений методом Гаусса:

x1 + 4x2 + 3x3 = 10 2x1 + x2 - x3 = -1 3x1 - x2 +x3 = 11

Решение: Удалить члены с x1 из 2-го и 3-го уравнений можно, вычитая из 2-ой строки 1-ую, умноженную на 2, а из 3-й - первую, умноженную на 3:

x1 + 4x2 + 3x3 = 10 -7x2 - 7x3 = -21 -13x2 -8x3 = -19

2-ая строка делится на -7:

x1 + 4x2 +3x3 = 10 x2 + x3 = 3 13x2 + 8x3 = 19

13

Вторая строка умножается на 13 и вычитается из 3-ей:

x1 + 4x2 + 3x3 = 10 x2 + x3 = 3

-5x3 = -20

3-я строка делится на -5:

x1 + 4x 2+ 3x3 = 10 x2 + x3 = 3 x3 = 4

Процедура обратного хода дает исходное решение:

x3 = 4; x2 = 3 - x3 = -1;

x1 =10 -4x2-3x3 = 10 - 4*(-1) - 3*4=10+4-12=2.

2.2. Метод прогонки.

Является частным случаем метода Гаусса и применяется для решения систем уравнений с трех диагональной (ленточной) матрицей. Такая система уравнений записывается в виде:

a1= 0; cn = 0.

Формула обратного хода записываем в следующем виде:

Уменьшаем в формуле (2.7) индекс на единицу и подставляем в (2.6):

xi-1 = U i -1xi + Vi-1,

ai (Ui-1xi + Vi-1) + bixi + cixi+1 = di

Приведем подобные и запишем:

(aiUi-1 +bi)xi =-cixi+1 + di -aiVi-1,

14

Теперь по формулам (2.9) и (2.10) можно вычислить прогоночные коэффициенты Ui и Vi (i=1,2,3,...,n). Это прямой ход прогонки. Зная прогоночные коэффициенты по формулам (2.7), можно вычислить все xi; i=n,...,3,2,1 (обратный ход прогонки). Поскольку cn = 0, то Un = 0 и xn = Vn. Далее вычис-

ляем xn-1, xn-2, ..., x2, x1.

Пример: Решить систему уравнений методом прогонки:

где значения m - номер варианта, n - номер группы, L – номер факультета.

Решение: Даны значения ai; bi; ci; di; m=0, n=0, L=0; i=1, 2, 3, 4, 5.

Их записываем в виде таблицы 2.1.

15

Прямой ход прогонки. По формулам (2.9) и (2.10) определяем прогоночные коэффициенты Ui и Vi (i=1,2,3,4).

U1=-c1/b1=-1/10=-0,1

V1=d1/b1=5/10=0,5

U2= -c2 /(b2 + a2U1)=-1/(9+2·0,1)= -0,1087

V2 = (d2 - a2V1)/(b2 + a2U1)=(-1+2·0,5)/(9+2·0,1)=0

U3= -c3 /(b3 + a3U2)=1/(4-0,1·0,1087)= 0,25068

V3 = (d3 - a3V2)/(b3 + a3U2)=(-5-0,1·0)/( 4-0,1·0,1087)=-1,25341

U4= -c4 /(b4 + a4U3)= 1/(8-1·0,25068)= 0,1290436

V4 = (d4 - a4V3)/(b4 + a4U3)=(40-1·1,25341)/(8-1·0,25068)= 5

U5= -c5 /(b5 + a5U4)=0

V5 = (d5 – a 5V4)/(b5 + a5U4)=(0-0·5)/(1+0·0,1290436)= 0

Обратный ход прогонки. По формулам (2.7) вычисляем все xi; i=4,3,2,1). Поскольку cn = 0, то x5 = V5 = 0.

Далее вычисляем x4, x3, x2, x1.

x 4 = U4 x5 + V4 =0,1290436 · 0+5=5

x 3 = U3 x4 + V3 =0,25068·5-1,25341=0

x2 = U2 x3 + V2 =-0,1087·0+0=0

x1 = U1 x2 + V1 =-0,1·0+0,5=0,5

Вычисляем невязки ri = di - aixi-1 - bixi - cixi+1; i=1, 2, 3, 4, 5.

r1 = d1 - b1x1 - c1x2 = 5 -10·0,5 – 1 · 0=0

r2 = d2 - a2x1 - b2x2 - c2x3 = -1+2·0,5- 9·0 - 0=0

r3 = d3 - a3x2 - b3x3 - c3x4 = -5-0,1 · 0-4 · 0+1 · 5=0

16

r4 = d4 - a4x3 – b 4x4 – c 4x5 = 40 +1 · 0-8 · 5 +1 · 0 =0 r5 = d5 – a 5x4 – b 5x5 = 0 -0 · 5 -1 · 0 = 0

Алгоритм метода прогонки заключается в следующем:

1. Ввести ai; bi; ci; di; i=1, 2, 3, ..., n.

2.Выполнить прямой ход, т.е. вычислить Ui и Vi; i=1, 2, 3, ..., n.

3.Выполнить обратный ход прогонки, т.е. вычислить xi=Ui · xi+1+Vi; i=n, n-1,...,1.

4.Напечатать xi; i=1, 2, 3, ..., n.

5.Вычислить невязки ri = di - aixi-1 - bixi - cixi+1; i=1, 2, 3, ..., n.

6.Напечатать ri ; i=1, 2, 3, ..., n.

На рис. 2.1 приведена программа решения методом прогонки.

REM LR-2-2, m=13, n=5

DIM A(5), B(5), C(5), D(5), U(5), V(5), X(6), R(5)

DATA 0, 10, 1, 5

DATA -2, 9, 1, -1

DATA 0.1, 4, -1, -5

DATA -1, 8, -1, 40

DATA 0, 1, 0, 0

FOR I =1 TO 5

READ A(I), B(I), C(I), D(I)

U(I) = -C(I) / (A(I)*U(I-1) + B(I))

V(I) =(D(I)-A(I)*V(I-1)) / (A(I)*U(I-1) + B(I))

NEXT I

X(5) = V(5)

FOR I =4 TO 1 STEP -1

X(I) = U(I)*X(I+1) + V(I)

NEXT I

FOR I =1 TO 5

R(I) = D(I)-A(I)*X(I-1)-B(I) *X(I)-C(I)*X(I+1)

PRINT ²X ²; I; ² = ²; X(I); ²R²; I; R(I)

NEXT I

Рис.2.1. Программа решения методом прогонки.

17

2.3. Метод простой итерации (метод Якоби).

Суть вычислений итерационными методами состоит в следующем: расчет начинается с некоторого заранее выбранного приближения x(0) (начального приближения). Вычислительный процесс, использующий матрицу А, вектор В, системы (2.1) и x(0) приводит к новому вектору x(1):

i=1, 2, 3, ..., n; j =1, 2, 3, ..., n.

Затем процесс повторяется, только вместо x(0) используется новое значение x(1). На k +1-м шаге итерационного процесса по A,B,X получают:

i=1, 2, 3, ..., n; j =1, 2, 3, ..., n.

При выполнении некоторых заранее оговоренных условий процесс сходится при k®¥. Сходимость метода простой итерации обеспечивается при выполнении условия преобладания диагональных элементов матрицы A, т.е. при:

Заданная точность достигается при выполнении условия:

Пример: Преобразовать систему уравнений:

18

к виду, пригодному для построения итерационного процесса методом Якоби и выполнить три итерации.

Решение: Достаточное условие сходимости (2.13) выполняется, поэтому начальное приближение может быть любым.

½a12½+½a13½=4+1<½a11½=7

½a21½+½a23½=2+3<½a22½=6

½a31½+½a32½=1+1<½a33½=4

В i-ом уравнении все члены, кроме xi, переносятся в правую часть:

Задается начальное приближение x(0)=(x1(0); x2(0); x3(0)), которое подставляется в правую часть. Обычно x1(0)=0, x2(0)=0, x3(0)=0 и получают результаты первой итерации:

Результаты первой итерации x(1)=(x1(1); x2(1); x3(1)) подставляют в правую часть и получают результаты второй итерации:

x1(2) =(7-4· (-0.333)+1)/7 = 4/3= 1.333

x2(2) =(-2-2·1-3·1)/6 = -7/6 = - 1.167

x3(2) =(4+1-(-1/3))/4 = 4/3 = 1.333

19

Результаты второй итерации x(2)=(x1(2); x2(2); x3(2)) подставляют в правую часть и получают результаты третьей итерации:

x1(3) =(7-4· (-1.167)+1.333)/7 = 1.857

x2(3) =(-2-2·1.333-3·1.333)/6 = - 1.444

x3(3) =(4+1.333-(-1.167))/4 = 1.625

Определяют достигнутую точность из условия:

max ½xi(3) - xi(2)½< e .

1[i[3

½x1(3) - x1(2) ½= ½1.857-1.333½= 0.524

½x2(3) - x2(2) ½= ½- 1.444+ 1.167½= 0.278

½x3(3) - x3(2) ½= ½1.625-1.333½= 0.292

2.4. Метод Зейделя.

Вычисления в этом методе почти такие же, как и в методе Якоби, с той лишь разницей, что в последнем новые значения x(k+1) не используются до новой итерации. В методе Зейделя при нахождении k+1-ой компоненты используются уже найденные компоненты этой же итерации с меньшими номерами, т.е. последовательность итераций задается формулой:

i=1, 2, 3, ..., n; j =1, 2, 3, ..., n.

Сходимость и точность достигаются условиями (2.13) и (2.14).

Пример: Задать итерационный процесс Зейделя для нахождения решений системы уравнений (2.15).

Решение: Достаточное условие сходимости (2.13) выполняется, поэтому начальное приближение может быть любым.

20

Используя (2.16) получим:

x1(k+1) =(7-4x2(k) +x3(k))/7 x2(k+1) =(-2-2x1(k+1)-3x3(k))/6 x3(k+1) =(4+x1(k+1) -x2(k+1))/4.

После задания начального приближения x(0)=(x1(0); x2(0); x3(0)), например, x(0)=(0; 0; 0) выражение для первой итерации имеет вид:

x1(1) =(7-4x2(0) +x3(0))/7 =(7-4·0+0)/7 =1

x2(1) =(-2-2x1(1)-3x3(0))/6 =(-2-2·1-3·0)/6 = - 0.667 x3(1) =(4+x1(1)-x2(1))/4 =(4+1-(-2/3))/4 =1.417

Результаты первой итерации x(1)=(x1(1); x2(1); x3(1)) подставляют в правую часть и получают результаты второй итерации:

x1(2) =(7-4· (-0.667)+1.417)/7 = 1.583

x2(2) =(-2-2·1.583-3·1.417)/6 = - 1.569

x3(2) =(4+1.583-(-1.569))/4 = 1.788

Результаты второй итерации x(2)=(x1(2); x2(2); x3(2)) подставляют в правую часть и получают результаты третьей итерации:

x1(3) =(7-4· (-1.1569)+1.788)/7 = 2.152 x2(3) =(-2-2·2.152-3·1.788)/6 = - 1.945 x3(3) =(4+2.152-(-1.945))/4 = 2.024

Точность решения определяют из условия:

max ½xi(3) - xi(2)½< e .

1[i[3

½x1(3) - x1(2) ½= ½2.152-1.583½= 0.469