Контрольная работа №1

16

Задание 1.1.

Даны координаты вершин пирамиды , , , .

1). длину ребра ;

2). угол между ребрами и ;

3). угол между ребром и гранью ;

4). площадь грани ;

5). объём пирамиды;

6). уравнение прямой ;

7). уравнение плоскости ;

8). уравнение высоты, опущенной из вершины на грань .

Решение.

1). Используем формулу для нахождения длины ребра через координаты его конечных точек:

.

2). Запишем координаты векторов и :

;

Угол между ребрами – это угол между векторами и , поэтому используем соответствующую формулу:

.

Тогда, получим:

.

3). Угол между ребром и гранью – это угол между вектором и нормальным вектором плоскости .

Находим нормальный вектор плоскости как векторное произведение векторов и :

.

Далее, используем соответствующую формулу для вычисления искомого угла:

.

Следовательно,

.

4). Площадь грани вычисляется как половина длины векторного произведения векторов и , на которых она построена, т.е. половина длины нормального вектора плоскости . Тогда, получим:

Векторное произведение:

i(5 • 2-0 • (-3)) - j(0 • 2-(-3) • (-3)) + k(0 • 0-(-3) • 5) = 10i + 9j + 15k

.

5). Используем формулу для нахождения объёма пирамиды через координаты векторов ; ; , на которых она построена:

.

6). Запишем симметричные уравнения прямой через координаты точки и направляющего вектора :

;

.

7). Запишем уравнение плоскости по известному нормальному вектору и точке плоскости :

;

;

;

.

8). Направляющим вектором искомой высоты есть нормальный вектор плоскости : (поскольку высота перпендикулярна к этой плоскости).

Запишем симметричные уравнения высоты через координаты точки и направляющего вектора :

;

;..

Задание 1.2.

Составить уравнение и построить линию, расстояния каждой точки которой от начала координат и от точки относятся как 2:1.

Решение.

Пусть – произвольная точка данной линии.

Находим расстояние от точки линии к началу координат по соответствующей формуле расстояния между двумя точками:

.

Находим расстояние от точки на линии к точке :

.

По условию, найденные расстояния относятся как 2:1. Следовательно,

; ;

.

Преобразуем полученное уравнение указанной линии:

;

;

;

;

;

.

Выделяем полные квадраты:

;

;

;

;

;

.

Следовательно, – каноническое уравнение окружности с центром в точке и радиусом .

Задание 1.3.

Дана система линейных уравнений. Доказать её совместность и решить методом Гаусса.

.

Решение.

Теорема Кронекера-Капелли: для того, чтобы линейная система уравнений являлась совместной необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы.

Запишем расширенную матрицу системы:

.

Сводим расширенную матрицу системы к трапециевидной форме, используя эквивалентные преобразования.

Поменяем местами первую и третью строки расширенной матрицы:

.

Разделим первую строку на 2.

.

Умножим первую строку на (-2) и прибавим ко второй. Полученные результаты запишем во вторую строку новой расширенной матрицы.

.

Умножим первую строку на (-3) и прибавим к третьей. Полученные результаты запишем в третью строку новой расширенной матрицы.

.

Прибавим вторую строку к третьей. Полученные результаты запишем в третью строку новой расширенной матрицы.

.

Требуемая форма расширенной матрицы получена. Количество ненулевых строк основной и расширенной матрицы одинаковы, поэтому ранг основной матрицы равен рангу расширенной. Это означает, что система линейных уравнений является совместной.

Из последней расширенной матрицы находим решение системы (обратный ход):

1). из третьей строки получим:

; ;

2). из второй строки получим:

; ; ;

3). из первой строки получим

; ; .

Таким образом ,,.

Выполним проверку полученного решения. Подставляя найденные значения x₁,x₂,x_3.

Приходим к тождеству.

Задание 1.4.

Привести к каноническому виду уравнения линий второго порядка. Сделать чертежи.

а). ;

б). ;

в). .

Решение.

а). .

Разделим обе части уравнения на 2:

; ; .

Следовательно, имеем каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат, с фокусами на оси ординат (поскольку ), малой полуосью и большой полуосью .

б). .

Разделим обе части уравнения на 3:

; ; .

Следовательно, имеем каноническое уравнение гиперболы с фокусами на оси абсцисс, действительной полуосью и мнимой полуосью .

в). .

Выделяем полный квадрат по переменной :

; ;

.

Тогда, получим:

; ; .

Следовательно, получили каноническое уравнение параболы с вершиной в точке , с фокусом на отрицательной полупрямой (парабола опущена ветками вниз)