Федеральное агенство по образованию

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра сопротивления материалов и основ теории упругости и пластичности

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

СЛОЖНЫХ СЕЧЕНИЙ СОСТАВНЫХ

СТЕРЖНЕЙ

Методические указания для выполнения

расчетно-графического задания

студентами специальностей 270102, 270109, 270112,

270114, 270115, 270201, 240400, 290600, 291000

Казань

2009 Основные понятия и формулы

Рассмотрим некоторые основные геометрические характеристики поперечных сечений. Пусть дано произвольное поперечное сечение бруса в системе координат. Выделим элементарную площадкус координатамии. Введем следующие соотношения и определения:

1. Площадь плоской фигуры можно представить в виде суммы площадок . Это записывается в виде:

, [см²]

2. Статические моменты относительно осей иопределяются как суммы произведений плеча площадкина

величину :

, ,[см³]

3. На основании известной из теоретической механики теоремы о моменте равнодействующей статические моменты могут быть вычислены по более простым формулам. Отсюда вытекает, что центр тяжести плоской фигуры определяется как:

, ,[см]

4. Осевыми ,ицентробежным моментами инерции фигуры называются геометрические характеристики численно равные интегралам:

[см⁴]

5. Полярный момент инерции фигуры вводится соотношением:

, [см⁴]

6. В некоторых расчетах вводятся радиусы инерции плоской фигуры. Относительно осей иони имеют вид:

, [см]

Замечание: Статические и центробежный моменты в зависимости от выбора системы координат могут быть положительными, отрицательными и равными нулю. Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны (это видно из их определений).

Изменение геметрических характеристик при преобразовании прямоугольных координат

1. Связь моментов относительно параллельных осей

(параллельный перенос осей координат)

Пусть известны все геометрические характеристики сеченияотносительно осейи, которые параллельны осями(рис.2).

Координаты элементарной площадки в системе координатпримут вид:

,

Статические моменты сечения относительно системы координатимеют вид:

(1)

Оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются центральными осями. Относительно центральной оси статический момент равен нулю.

Таким образом, если оси и- центральные, то, из формулы (1) следует:

Моменты инерции относительно системы координат определяются как:

(2)

Если оси и- центральные (рис.3), то, и соотношение (2) упрощается:

(3)

Если наоборот, необходимо найти то из (3) вытекает:

(4)

б) Поворот осей координат

Повернем осина уголпротив часовой стрелки, считая угол поворота осей в этом направлении положительным. Получим оси.

Координаты произвольной элементарной площадки ивыразятся через старые координатыиследующим образом:

Статические моменты в новых осях примут вид:

Моменты инерции относительно осей иповернутых относительно первоначальных,на уголпримут вид:

(5)

Следствие: Из (5) вытекает, что сумма моментов инерции относительно любых взаимно перпендикулярных осей ине меняется при их повороте:

(6)

Оси, относительно которых центробежный момент инерции обращается в нуль, называются главными осями инерции. Относительно этих осей осевые моменты инерции принимают экстремальные значения и называются главными моментами инерции и обозначаются и .

Действительно, если, например, взять первую производную от , то из условиявытекает, что. Таким образом это означает, чтобудет принимать экстремальное значение относительно главной оси. Аналогично, момент инерциибудет принимать экстремальное значение относительно главной оси.

Таким образом, если оси - главные оси инерции, то главные моменты инерции можно определить из первых двух соотношений (5), а последнее соотношение в (5) для центробежного момента должно обращаться в нуль ().

Замечание: Главные моменты инерции можно определить и по следующим выражениям:

(7)

Главные оси инерции, проходящие через центр тяжести сечения, называются главными центральными осями.

Таким образом, согласно третьему соотношению (5) угол между главной осьюи осьюопределится как:

(8)

Угол считается положительным, если он отложен против хода часовой стрелки от оси.