Тема №2 «Экстраполяция Ричардсона»

Экстраполяция Ричардсона применяется при моделировании объектов, расчетные схемы которых содержат пластинчатые конечные элементы, и позволяет уточнить решение, если известны результаты расчетов, полученные при различных размерах пластинчатых конечных элементов.

Цели практических занятий:

• моделирование и расчет плит с помощью плоскоизогнутых конечных элементов;

• оценка точности получаемых решений.

Исходные данные:

• размер плиты L_x вдоль оси X;

• размер плиты L_y вдоль оси Y;

• толщина плиты t;

• материал плиты – бетон класса прочности на сжатие B15;

• расчетная временная нагрузка q на плиту.

Численные значения L_x, L_y, t, q выдаются студентам в индивидуальных заданиях.

Состав работы

Создать расчетную модель шарнирно опертой по контуру плиты с сеткой конечных элементов 22. Выполнить расчет модели на заданную нагрузку. Зафиксировать следующие результаты расчетов: вертикальный прогиб в середине плиты, изгибающие моменты M_x и M_y в середине плиты, экстремальные значения поперечных сил Q_x и Q_y в конечных элементах.

Создать расчетную модель шарнирно опертой по контуру плиты с сеткой конечных элементов 44. Дальнейшие действия выполнить аналогично п.1.

Создать расчетную модель шарнирно опертой по контуру плиты с сеткой конечных элементов 88. Дальнейшие действия выполнить аналогично п.1.

Вычислить уточненные значения прогибов, изгибающих моментов и поперечных сил с помощью экстраполяции Ричардсона.

Ход работы

1. Создать новый проект с типом схемы 3 (балочный ростверк, плита).

2. При создании модели выбрать закладку «Схема» для автоматизированного создания конечных элементов плиты.

3. Нажать кнопку «Генерация прямоугольной сетки элементов на плоскости».

4. В открывшемся окне «Генерация пластинчатой схемы»:

• выбрать схему в виде плиты, расположенной в плоскости XoY;

• в столбец «Шаг по оси X» ввести размер конечных элементов по оси X;

• в столбец «Количество шагов» ввести количество конечных элементов по оси X;

• аналогично задать размер конечных элементов и их количество по оси Y;

• нажать кнопку «Жесткость» и в открывшемся окне «Жесткость пластин» выбрать материал (бетон B15) и указать толщину плиты;

другие элементы окна корректировки не требуют (объемный вес материала плиты и коэффициент Пуассона принимаются по умолчанию, ячейка с модулем упругости заполняется автоматически в зависимости от класса бетона, коэффициенты постели вводить не требуется, так как в данной работе конечные элементы плиты на грунт не опираются, бетон обладает изотропными свойствами и, наконец, создаваемая модель отвечает плоско-напряженному состоянию);

• нажать кнопку «Тип элемента» и в открывшемся окне «Назначение типа элемента» выбрать прямоугольный конечный элемент плиты (№11);

• подтвердить выполненные действия.

5. Перейти на закладку «Назначения».

6. Нажать кнопку «Установка связей в узлах».

7. В открывшемся окне «Связи» установить невозможность перемещения опорных узлов по оси Z, оставив свободными угловые перемещения относительно осей X и Y.

8. Подтвердить выполненные действия, выделить узлы по периметру плиты и задать для них установленные связи.

9. Перейти на закладку «Загружения».

10. Нажать кнопку «Собственный вес». При задании собственного веса никаких видимых на экране действий не происходит, поэтому необходимо проявить внимательность для того, чтобы собственный вес не задать дважды.

11. Нажать кнопку «Нагрузка на пластины».

12. В открывшемся окне «Задание нагрузок на пластинчатые элементы» ввести величину равномерно распределенной нагрузки, активизировав переключатели для:

• общей системы координат;

• оболочек (плит);

• вида нагрузки  равномерно распределенной по площади;

• направления действия нагрузки – силы по оси Z.

13. Подтвердить выполненные действия, выделить конечные элементы плиты и задать для них введенную нагрузку.

14. Нажать кнопку «Сохранить/Добавить загружение», в открывшемся окне присвоить загружению имя и номер.

15. Выполнить линейный расчет модели.

16. Перейти в режим графического анализа результатов.

17. Перейти на закладку «Деформации».

18. С помощью кнопки «Вывод значений перемещений в узлах» получить картину деформирования плиты и зафиксировать прогиб f_z в середине плиты.

19. Перейти на закладку «Поля напряжений».

20. В падающем списке «Выбор вида напряжения» выбрать «MX».

21. Нажать кнопку «Отображение изополей напряжений».

22. В окне «Фильтры отображения» включить кнопку «Оцифровка изополей/изолиний» и зафиксировать величину изгибающего момента M_x в середине плиты.

23. В падающем списке «Выбор вида напряжения» выбрать последовательно «MY», «QX», «QY» и зафиксировать результаты расчетов.

24. Повторить пункты 1…23 для других сеток конечных элементов. Каждый проект необходимо сохранять в SPR-файле с уникальным именем.

25. По методике, реализующей экстраполяцию Ричардсона, вычислить уточненные величины прогибов и изгибающих моментов в середине плиты.

Результаты работы

Для защиты лабораторной работы студенту необходимо:

1. Иметь на машинных носителях три SPR-файла с моделями плиты с сетками конечных элементов 22, 44 и 88.

2. Оформить результаты вычисления прогибов и изгибающих моментов в середине плиты с помощью экстраполяции Ричардсона (см. табл. 3 примера).

3. Уметь выполнять действия, необходимые для создания и редактирования моделей с плоскоизогнутыми конечными элементами.

Пример

Рассчитать шарнирно опертую по контуру железобетонную плиту с размерами L_x=5м, L_y=6м, t=0,2м, выполненную из бетона класса прочности на сжатие B15, загруженную равномерно распределенной нагрузкой q = 30 кН/м².

Расчеты выполним по пунктам 1…24 изложенного хода работы.

При автоматической генерации модели используем параметры, приведенные в табл.2.

Таблица 2 – Параметры автоматической генерации моделей

Сетка конечных элементов	Шаг по оси X (м)	Количество шагов	Шаг по оси Y (м)	Количество шагов
22	2,500	2	3,000	2
44	1,250	4	1,500	4
88	0,625	8	0,750	8

Результаты расчетов плиты и результаты экстраполяции Ричардсона приведены в табл. 3.

Таблица 3 – Результаты расчетов плиты

Величина	Результаты при сетке КЭ			Экстраполяция Ричардсона
	22	44	88	2	2+1	22+1	Уточненное решение
	x1	x2	x4				xR
fz (мм)	9,51	8,17	7,82	3,829	7,657	29,316	7,70
Mx (кНм/м)	73,46	56,41	52,85	4,789	9,579	45,875	51,91
My (кНм/м)	53,65	41,88	39,84	5,770	11,539	66,577	39,41
Qx (кН/м)	13,78	43,86	55,20	2,653	5,305	14,072	62,06
Qy (кН/м)	7,80	36,44	48,77	2,323	4,646	10,791	58,09

Примечания к табл. 3

1. Изгибающие моменты и поперечные силы вычислены системой SCAD и приведены в табл. 3 как усилия, приходящиеся на единицу длины.

2. Экстраполяция Ричардсона выполнена по формуле

, где .

3. Формулы для промежуточных вычислений, результаты которых приведены в табл. 3, следуют из понятия возведения в степень:

;

.