Чертов. Ответы. / Ответы

42.1. 6,6. 42.2. 3,85 см. 42.3. На глубину 115 см. 42.4. 2 МэВ или 6,2 МэВ; 1,33 см. 42.5. 3,6 МэВ; 1,57 см. 42.6. 28,6 см. 42.7. В 5 раз. 42.8. w = ρX/(n₀e) = 7,73∙10^-11(ρ – плотность воздуха; n₀ – концентрация молекул воздуха при нормальных условиях; е – элементарный электрический заряд). 42.9. W = Xmε/e = 8,77 мкДж (е – элементарный электрический заряд). 42.10. X =  = 21,4 Кл/кг (ρ – плотность воздуха, е – элементарный электрический заряд). 42.11. 62 мкКл/кг. 42.12. 13 см. 42.13. 6 м. 42.14. 4,4 мин.

43.1. 1,00728 а.е.м.; 2,01355 а.е.м.; 11,9967 а.е.м. 43.2. 4,00260 а.е.м. 43.3. .7,01546 а.е.м.; 7.01491 а.е.м.; 7,01436 а.е.м. 43.4. 0,00240 а.е.м.;·2,23 МэВ. 43.5. 8,49 МэВ. 43.6. 7,68 МэВ/нуклон. 43.7. 3,01604 а.е.м. 43.8. 5,01258 а.е.м. (атом лития ⁵₃Li). 43.9. 2,2 МэВ. 43.10. 39,2 МэВ; 37,6 МэВ. 43.11. 682 ГДж. 43.12. 10,6 МэВ. 43.13. 7,55 МэВ. 43.14. 8,0 МэВ. 43.15. 23,8 МэВ. 43.16. 7,26 МэВ.

44.1. A = 1; Z = 0; частица – нейтрон (¹₀n). 44.2. A = = 0; Z = 0; частица – фотон. 44.3. 1) 4,36 МэВ, освобождается; 2) 22,4 МэВ, освобождается; 3) 2,80 МэВ, поглощается; 4) 1,64 МэВ, поглощается; 5) 1,05 МэВ, поглощается. 44.4. 1) 19,8 МэВ, освобождается; 2) 23,8 МэВ, освобождается; 3) 6,26 МэВ, освобождается; 4) 8,12 МэВ, освобождается. 44.5. 2,23 МэВ 44.6. 6,82 МэВ. 44.7. 0,63 МэВ. 44.8. 6,7 МэВ. 44.9. 5,26 МэВ; 044 МэВ 44.10. 0,82 МэВ; 2,44 МэВ; |p_Не| = |р_n| = 3,6∙10^-20 кг∙м/с. 44.11. 6,01514 а.е.м. 44.12. 3,01604 а.е.м. 44.13. 3,01604. 44.14. 6,22∙10^-21 Дж;·2,70 км/с. 44.15.  = = 0,847;  = 0,716.· 44.16.·⁹⁴₃₈Sr. 44.17. 0,00091. 44.18. 82 ГДж. 44.19. 3,1∙10¹⁰. 44.20. 53 г. 44.21. 15 МВт. 44.22. 541 МэВ 44.23. 0,104 МэВ; 5,40 МэВ. 44.24. 0,156 МэВ. 44.25. 1 МэВ. 44.26. 26 МэВ. 44.27. 0,2 МэВ. 44,28. 0,78 МэВ. 44.29. 0,99 МэВ. 44.30. 0,75 МэВ, 1,65 пм. 44.31. 67,5 МэВ.

45.1. 727 пм; 0,396 пм. 45.2. 2,7 пм. 45.3. 150 В. 45.4. 39 пм. 45.5. 907 фм; 28,6 фм. 45.6. 0,33 нм. 45.7. 0,67 нм. 45.8. 212 Мм/с. 45.9. 006 пм. 45.10. 0,1 нм. 45.11. 2,1 Мм/с. 45.12. 1,10 мм. 45.13. 30'; 7 пм; 0,41 нм. 45.14. Прибор зарегистрировал групповую скорость. 45.15. Нельзя. Для измерения фазовой скорости надо пометить каким-либо импульсом данный участок монохроматической волны. Измеряя же скорость перемещения импульса, мы измеряем не фазовую, а групповую скорость. 45.16. 334 м/с; 333,23 м/с; 100 м/с. 45.17. υ/2; c²/υ. 45.18. Не противоречит. Фазовая скорость не характеризует ни скорости «сигнала», ни скорости переноса энергии и поэтому может быть как больше, так и меньше скорости света в вакууме. 45.19. В обоих случаях групповая скорость равна скорости υ частицы. 45.20. 1) υ_ф = h/(2mλ); 2) υ_ф = , где Е₀ = т₀с². 45.21. 1) Не будет (нет дисперсии)· 2) будет (дисперсия есть); υ_ф = f(λ). 45.22. 0,77 нм; 0,106 нм; так как Δx > d, то понятие траектории в данном случае неприменимо. 45.23. Δυ/υ = 10^-4. 45.24. В 160 раз. 45.25. 16 %. 45.26. Е_т1п = 2ħ²/(ml²). Е_т1п = 2ħ²/(ml²) = 15 эВ. 45.28. l =  = 2,9 фм. 45.29. 80 МэВ. Решение. Из соотношения неопределенности следует Δр ≥ ħ/(e/2). Разумно считать p > Δp; следовательно, р ≥ 2ħ/l, где р =  (случай релятивистский). Так как T > E₀, то T_min = 2hc/l. Так как эта энергия (80 МэВ) значительно больше энергии связи, приходящейся на одни нуклон в ядре (10 МэВ), то пребывание электронов в ядре невозможно. 45.30. 1) 1,2∙10^-2; 2) 1,2. 45.31. Ввиду малости Δp/p (3∙10^-11) обнаружить отклонение в поведении частицы от законов классической механики нельзя. В этом случае можно говорить о траектории движения частицы, так как если даже Δрр, то отклонения частицы от классической траектории невозможно обнаружит 45.32. Это соотношение показывает, что если система пребывает в некотором энергетическом состоянии в течение промежутка времени Δt, а затем переходит в другое состояние, то существует некоторая неопределенность энергии ΔE ≥ ħ/Δt. Этим, например, объясняется естественная ширина спектральных линий. 45.33. 1) Время пребывания электрона в основном состоянии бесконечно велико, вследствие чего Г = ΔE = 0; 2) в возбужденном состоянии электрон пребывает в течение Δt ≈ 10 нc. Следовательно, ширина уровня Г ≈ ħ/Δt = 0,1 мкэВ. 45.34. 3∙10^-8. 45.35. Нет. Точно определен квадрат импульса, а сам импульс имеет неопределенность по направлению ± р, что отвечает бегущей и отраженной от стенок ящика волнам.

4 6.1.  = 0. 46.2.   = 0 46.3. ψ = Cexp(–iEt/ħ). 46.4.  = ; ψ(x,t) = exp[–i(Et-p_xx)/ħ]. 46.5. Квадрат модуля волновой функции имеет определенный физический смысл. Аналогично тому как в волновой оптике мерой интенсивности волны является квадрат амплитуды, так |ψ²| является мерой интенсивности электронной волны (плотностью вероятности), пропорциональной концентрации частиц. 46.6. Только при условии конечности ψ функции возможна физическая интерпретация |ψ|² как плотности вероятности. 48.7. Значения энергии U и E, а также ψ конечны. Следовательно, d²ψ/dx² должна быть ограничена, а это возможно, если непрерывна dψ/dx. Но чтобы dψ/dx существовала во всей интересующей нас области, ψ(x) должна быть непрерывна. 46.8. Может. Меньше единицы должно быть выражение |ψ(x)|²dx, означающее вероятность обнаружения частицы в интервале от x до x + dx. Но |ψ(x)|²dx может быть меньше единицы и при условии |ψ(x)|² > 1. 46.9. Если ψ(x) = a + ib, то ψ^*(x) = a - ib; |ψ(x)|² = a² + b²; ψ(x)ψ^*(x) = (a + ib)(a - ib) = = a² + b². Следовательно, |ψ(x)|² = ψ(x)ψ^*(x). 46.10.= |ψ(x,t)|² = ψ(x,t)ψ^*(x,t) = exp(-iEt/ħ)ψ(x)ψ^*(x) или |ψ(x,t)|² = = |ψ(x)|². 46.11. ψ"(x) + (2m/ħ²)Eψ(x) = 0; ψ(x) = C₁sinkx + C₂coskx. 46.12. C₂ = 0; k = πn/l. 46.13. Ε = = π²ħ²п²/(2тl²). 46.14. ; 1) 0,78, 2) 0,21, 3) 0. При малых n отчетливо выступает дискретный характер энергетического спектра, при больших дискретный характер сглаживается к энергетический _спектр становится квазинепрерывпым. 40.15. 4,18 эВ. 48.16. C_n = = · 46.17. 1) C₁ = – C₂ = ; 2) Е_н = = π²ħ²п²/(2тl²) и φ_n(x) = . 46.18. См. рис. 21. Число узлов N растет с увеличением квантового числа n: Ν =n – 1, т. е. на единицу меньше, чем квантовое . число. С увеличением энергии λ уменьшается, а число узлов возрастает.

46.19. Максимальна при x₁ и x₃ = 3l/4; минимальна при x₂ = l/2. 46.20. х₁ = ¹/₃l; х₂ = ²/₃l; |ψ(x)|² = 3/(2l) (рис. 22). 46.21. 1) 0,609; 2) 0,195. 46.22. 0,475. 46.23. 0,091. 46.24. 5,22. 46.25. Решение.  =   =  -‑ . При п = т первый интеграл обращается в l/2, а второй  – в нуль. При n ≠ т оба интеграла дают нуль и, следовательно,  =   46.26. ‹x› = l/2. Решение. По общему правилу нахождения среднего значения, ‹x› = = , где ψ_n – нормированная на единицу ψ –функции. В случае бесконечно глубокого прямоугольного потенциального ящика ψ - функция имеет вид ψ_n =  . Следовательно, ‹x› =  =  

Интегрируя это выражение, получаем искомый ответ. 46.27. 1. В случае гармонического осциллятора u_max = = kA²/2, где А = l/2, k = mω², т. е. U_mах = 1/8mω²l²(1). С другой стороны, U_max = E_n = π²ħ²п²/(2тl²) (2). Исключая l из равенств (1) и (2), находим E_n = (π/4)ħωn. Полученное выражение отличается от истинного (без учета нулевой энергии) в π/4 раза. 2. В случае атома водорода U = = ‑ Zl²/(4πε₀r), где r = l/2. Так как |U| = 2|E|, то E = = Zе²/(4πε₀l). С другой стороны, энергия электрона, находящегося в потенциальном ml ящике, E_n = π²ħ²/(2тl)². Исключая из обоих равенств l, находим Е_n = . Полученное выражение отличается от истинного в 4/π² раза. 46.28. 6,2 МэВ. 46.29. С = . 46.30. 0,67. 46.31. C = . 46.32.  = 0;  = 0, где k₁² = 2mE/ħ²; k₂² = = 2m(E ‑ U)/ħ². 46.33. ψ_I(x) = , ψ_II(x) = = , где k₁ = (1/ħ). k₂ = = (1/ħ). Коэффициент A1 – амплитуда вероятности для падающей волны (в положительном направлении оси Οx), β1 –  то же, для волны, отраженной от барьера, А2 – амплитуда вероятности волны, прошедшей через барьер (область II), В2 –  то же, для волны, идущей справа налево в области II. Так как такая волна отсутствует, то В2 = 0. На рис. 23 изображены действительная часть падающей волны (Re ) и действительная часть прошедшей волны (Re ). При этом были использованы следующие свойства волновых функции: 1) непрерывность самой волновой функции – ψ_I(0) = ψ_II(0). 2) непрерывность ее первой производной  – ψ_I^′(0) = ψ_II^″(0) (сопряжение косинусоид плавное).

40.34. Β₁/Α₁ = (k₁ –‑ k₂)/(k₁ + k₂); A₂/A₁ = 2k_l/(k₁ + k₂). 46.35. ρ = = ; . 46.36.ρ + τ =  = =  =  = 1. 46.37. 0,8. Указание. n = λ₁/λ₂ = k₂/k₁.·Но так как k₁ =  и k₂ = , то n = . 46.38. n =  = 1,25. 46.39. 0,632; 1,58; 0,632. 46.40. 20 кэВ. Указание. λ₁ = λ₂; так как U/E < 1, то λ₂ ≈ λ₁[1 + U/(2E)], откуда U ≈ 2ΔλE/λ_1. 46.41. λ₂ = =  = 218 пм. 46.42. 0,0625. 46.43. ρ = . 46.44.·2 %. 46.45. ρ = . 46.46. 0,172 и 5,83. Решение. Коэффициент отражения ρ = = . Разделим числитель на . Далее, заменив  = п (коэффициент преломления), получим ρ = [(1 – n)/(1 + n)]².·Отсюда n = = . 46.47. 0,971. Решение. Коэффициент отражения ρ = . Разделим числитель и знаменатель на и обозначим U/E = x. Тогда ρ =  При ρ = 1/2 находим x = = , или х =U/Е. 46.48. 9,13 эВ. 46.49. 0,0295, 0,97. 40.50. В 1,03 раза. 46.51. τ = 4n/(1 + n)². 40.52. 0,384; 2,61. 46.53. ρ = = ; τ = . 46.54. τ ≈ . 46.55. 0,2. 46.56. Решение. По определению, ρ =  и τ = N_τ/N = 4k₁k₂/(k₁ + k₂)². Следовательно, ρ + τ = N_ρ/N + N_τ/N = 1, откуда N_ρ + N_τ = N. 46.57. 0,64 Вт/м². 46.58. 0,242. 46.59. 48 мПа. 46.60. Для области I ψ_I^″(x) + k₁²ψ_I(x) = 0; ψ_I(x) =  + + , где k₁ = ; для области II ψ_II^″(x) + k₂²ψ_II(x) = 0; ψ_II(x) = , где принято k₂ = ik; k = (l/ħ). На рис. 24 изображены действительная часть падающей волны в области I (Re  = α₁coskx и экспоненциально убывающая волновая функция в области II (ψ_II(x) = ). 46.61. A₂/A₁ = 2k₁/(k₁+ik). 46.62. ψ_II(x) = = 2k₁e^-kx/(k₁ + ik). 46.63. |ψ_II(x)|² = . 46.64.·ρ =  46.65.

· 1 Указание.  = 

46.66. |ψ_II(0)|² = 4E/U. 46.67. ψ_I^″(x) + k₁²ψ_I(x) = = 0; ψ_II^″(x) + k₂²ψ_II(x) = 0; ψ_III^″(x) + k₃²ψ_III(x) = 0, где k₂² = k₃² = 2mE/ħ². k₂² = 2m(E – U)/ħ². 46.68. ψ_I/(x) = ; ψ_II(x) = = , ψ_III(x) = , где k₁ = k₃ = (l/ħ), k = (l/ħ),

A₁ – амплитуда вероятности для падающей волны, A₃ – то же, для волны, прошедшей через барьер. Пренебрегая отраженными волнами на границах I – II и II – III, можно написать: A₂ ≈ A₁ и А₃ ≈ ; D = , или D =  На рис. 25 изображены действительная часть падающей волны в области I Re , экспоненциально убывающая волновая функция в области II (ψ_II(x) = ) и действительная часть прошедшей волны в области III (Re ). 46.69. 0,35; 5,9∙10^-3,46.70. 0,2; 6,5∙10^-3. 46.71. Уменьшится в 79 раз. 46.72. 0,22 нм. 46.73. 0,143 нм. 46.74. 0,45 эВ. 46.75. 0,2. 46.76. 10^-4 эВ. 46.77. 0,89. 46.78. Примерно 74.

47.1. Подставим в уравнение Шредингера ψ = RY, тогда  +   =0. Деля на RY, умножая на г² разделяя переменные, получаем  + +  = ‑  Это равенство должно выполняться при любых значениях r, и φ, что возможно только в том случае, если обе части его могут быть приравнены к одной и той же постоянной λ. После преобразования получим  =0;  +   = – λY Таким образом исходное уравнение распалось на два: радиальное и угловое. 47.2. Применим подстановку χ(r) = rR(r) и найдем первую и вторую производные: и =  выражения в исходное уравнение, после упрощений получаем  = 0. 47.3. При больших r членами 2β/r и l(l+1)/r² можно пренебречь по сравнению с α. Тогда уравнение примет вид  = 0. Решение этого уравнения: . При α > 0 (E > 0) функция χ(r) конечна при любых r, энергетический спектр непрерывный и движение электрона не связанное. При α < 0 (Е < 0) выражение χ(r) преобразуется к виду χ(r) = , где введено обозначение α = – |α| (этим подчеркивается, что α < 0). Тогда из условия конечности ψ-функции С₂ = 0 и χ(r) = . Решение с Ε < 0 приводят к связанным состояниям. 47.4. При малых r членами α и 2β,/r можно пренебречь по сравнению с l(l+1)/r², тогда исходное уравнение примет вид  = 0. Применим подстановку x(r) = r^γ, тогда γ(γ – l)r^γ-2 –‑ l(l + l)r^γ/r³ = 0 или γ(γ – l) = l(l + l). Из двух решений χ(r) = r^-l и χ(r) = r^(l+1) только второе удовлетворяет при малых r условию конечности функции. Поэтому решение уравнения при малых r есть χ(r) = r^(l+1). 47.5. Применим подстановку R(r) = e^-γr. После сокращения на e^-γr получим γ² + α = 2/r(γ+β). Член, содержащий l, не вошел, так как в основном состоянии l = 0. Полученное равенство выполняется при любых r, но это возможно только тогда, когда левая и правая части равенства порознь равны нулю: γ² + α = 0 и γ+β = 0. Решая оба уравнения совместно, имеем β² + α = 0. Подставляя значения α и β в это выражение, находим энергию основного состояния атома водорода: E = – Z²е⁴m(32π²). 47.6. С = . 47.7. r = π/(e²m) 47.48. 0,825. 4 7.9. 0,324; 0,676; 2,09. 47.10. 3/2a. 47.11. 2,62. 44.12. 1) 0,70; 5,24; 2) 0,2; ∞; 3) см. рис. 26. 47.13. Подставим в исходное уравнение Y(, φ) = θ()Φ(φ) и перенесем в правую часть равенства переменные, зависящие от φ:  + +  Это равенство должно выполняться при любых и φ, что возможно только в том случае, если правая и левая части равны некоторой постоянной величине, которую обозначим m².

Тогда исходное уравнение распадается на два:  +  =m²; = – m² 47.14. Решением уравнения является функция Φ(φ) = = C₁e^imφ + C₂e^-imφ. Так как встречная волна отсутствует, то С₂ = 0. Из условия однозначности e^imφ = Ce^im(φ+2π), откуда e^i2πm = 1 или cos2πm + i sin2πm = 1. Последнее равенство возможно лишь при целочисленных значениях т. Таким образом, Φ(φ) = e^imφ, где m = 0, ±1, ±2, ... 47.15. С = = . 47.16. См. рис. 27. 47.17. Согласно принципу суперпозиции состояний, Y_1,m =Y_1,0 + Y_1,1 + Y_1,-1 ; |Y_1,m|² = |Y_1,0|² + |Y_1,1|² + |Y_1,-1|² , так как все смешанные функции типа Y_1,0,Y_1,1 и т. д. при интегрировании дают из-за ортогональности нуль. Тогда |Y_1,m|² = . Отсюда видно, что плотность вероятности не зависит от углов, т. е. обладает сферической симметрией. 47.18. 1)0; 2) 1,50∙10^-34 Дж∙с. 47.19. 0; ±1,55∙10^-31 Дж∙с; ±2,11∙10^-34 Дж∙с. 47.20. 1,49∙10^-34 Дж∙с. 47.21. 35˚21΄. 47.22.  = 3,46ħ; 3ħ. 47.23. 1,61∙10 Дж/Тл. 47.24. – 3,4 эВ; 1,50∙10^-31 Дж∙с; 1,31∙10^-23 Дж/Тл. 47.25. Не может, так как максимальная проекция μ_Ζ = ħl, а модуль вектора μ = , т. е. всегда μ_Ζ < μ. Тот же результат следует и из соотношения неопределенностей. Действительно, если вектор орбитального магнитного момента μ_m электрона установился строго вдоль линий индукции, то это значит, что все три проекции μ_mx, μ_my, μ_mz вектора μ_m точно определены. Но этого не допускают соотношения неопределенностей. 47.26. 0; 1,31∙10^-23 Дж/Тл; 2,27∙10^-23 Дж/Тл. 47.27. 0,912 10^-31 Дж∙с; 0,528∙10^-34 Дж∙с.

47.28. 1,61∙10^-23 А∙м²; 9,27 10^-21 А∙м². 47.30. 5,8 кТл/м. 47.31. 4,46 мм. 47.32. 432 Тл/м. 47.33. 2,86∙10^-21Η. 47.34. – μ_Β; + μ_Β. 47.35. Два s-электрона; два s-электрона и шесть р-электронов; два s-электрона, шесть р-электронов и десять d-электронов. 47.35. 1) 1; 2) 2; 3) 2(2l + l); 4) 2n². 47.37. 1) 9, 2) 4; 3) 2; 4) 3; 5) 5. 47.38. 1) 15 (атом фосфора); 2) 40 (атом палладия). 47.39. 1) ls²2s²p¹, 2) ls²2s²p² 3) ls²2s²p⁶3s¹. 47.41. 1/2 и 1/3; и 47.42. 1, 2, 3; . 47.43. 1) 110˚45'; 2) 45˚, 3) 160˚35'. 47.44. 54˚45'. 47.45. А и ; 61˚51' и 135˚. 47.46. 71˚З1'. 47.47. 54˚45'; 106˚45' и 150˚. 47.48. 1) 46˚50' (J = ⁵/₂); 116˚35' (J = ³/₂); 2) 54˚45' (S = 1, L = 3); 106˚45' (S = 1, L = 2); и 150°(S = 1, L = l). 47.49. ; ; . 47.50. 1) 1; 2; 3; ; ; ; 2) 2; 3; 4; ; ; . 47.51. 1) ³/₂; ⁵/₂; ⁷/₂; ⁹/₂; 2) l; 2, 3, 4, 5; 3) ¹/₂,³/₂, ... ¹¹/₂; 4) 1, 2, ... 7. 47.52. 1) ²S_1/2; 2) ¹S₀; 3) ²S_1/2; 4) ¹S₀; 5) ²S_1/2. 47.53. 1) ²S_1/2; 2) ²P_1/2; ²P_3/2; 3) ⁴P_1/2; ⁴P_3/2; ⁴P_3/2; ⁴P_5/2; 4) ⁵D₀; ⁵D₁; ⁵D₂; ⁵D₃; ⁵D₄; ⁵D₅; 47.54. 1) 4; 2) 7; 3) 7.