Вопрос 6

 Момент инерции тела относительно оси. Теорема Гюйгенса-Штейнера.

Li=Sum(i)miR^2iWz – момент инерции тела относительно оси z (ось вращения)

Некоторые простейшие случаи:

1)однородный стержень: I=mL^2/12

 однородный сплошной цилиндр или диска:

dI=dm*r^2

dS=hdr

dV=2Pi*r*h*dr

т.к. цилиндр однородный dr=pdV=2Pi*p*h*r*dr

dI=2Pi*p*h*r^3*dr

проинтегрировав I по dr получаем I=Pi*p*h*R^4/2; m=p*Pi*R^2*h =>

I=mr^3/2

 однородного сплошного шара: I=2*m*R^2/5

теорема Гюйгенса-Штейнера:

рассмотрим 2 параллельные оси

r’=r-a

r’^2=r^2+a^2-2(r,a)

проинтегрировав по всем эл-ам твердого тела:

Ia=I0+ma^2-2m(rc,a) пусть ось О проходит через центр масс тела, тогда rc=0 => Ia=Ic+ma^2

Момент инерции тела относительно некоторой оси равен его моменту инерции относительно оси параллельной данной и проходящей через центр масс, сложенному с произведением массы на квадрат расстояния м\д осями.

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.

Lz=IzWz продифференцируем по времени, получаем Izbz=Mz – ур-е вращательного движения твердого тела. m->I, az->bz,Fz->Mz => maz=Fz->Ibz=Mz – соотношение м\д мат. точкой и вращательным телом.

Работа внутренних сил, действующих в абсолютно твердом теле, равна нулю при любых движениях тела.

dA=MzDФи – работа внешних сил при повороте на конечный угол.

Вопрос №38 (Уравнение динамики для тела, вращ вокруг неподв оси)

о движения твёрдого тела вокруг неподвижной оси. dMz/dt=N_zвнешн; M_z=I_z_z; _z=d/dt; _z=d_z/dt; dM_z/dt=I_zd_z/dt=I_z_z=I_z^**(2-ая производная)=N_zвнешн; ₀(0)=_­0; _z(0)=_z0.

Вопрос 7

Из вытекает, что при отсутствии внешних сил dM/dt = 0. Следовательно, для замкнутой системы вектор M постоянен. Это утверждение составляет содержание закона сохранения момента импульса, который формулируется следующим образом: момент импульса замкнутой системы материальных точек остается постоянным. Мы доказали соотношение для системы из двух частиц. Однако его легко обобщить на случай любого числа частиц. Напишем уравнения движения частиц: (от 1 до N частиц). Умножив каждое из уравнений на соответствующий радиус-вектор, получим: (от 1 до N частиц). Сложим почленно все N уравнений: . Первая сумма в правой части представляет собой сумму моментов всех внутренних сил, которая, равна нулю (). Вторая сумма справа есть сумма моментов внешних сил. Следовательно, мы пришли к формуле . Отметим, что момент импульса остается постоянным и для незамкнутой системы при условии, что суммарный момент внешних сил равен нулю. Спроецировав все величины, входящие в уравнение , на некоторое направление z, получим соотношение , согласно которому производная по времени от момента импульса системы относительно оси z равна сумме моментов внешних сил относительно этой оси. Отсюда же следует, что в том случае, когда сумма внешних сил относительно некоторой оси равна нулю, момент импульса системы относительно этой оси остается постоянным. В заключение отметим, что без указания точки или оси, относительно которых определяется момент, понятия момента импульса и момента силы утрачивают смысл.