Вопрос 5

Вращательное движение

Вращательное движение – этотакое, при котором две точки тела остаются все время неподвижными. Прямая, проходящая через эти точки, называется осью вращения. Все точки твердого тела, лежащие на оси вращения, неподвижны. Другие точки движутся по окружностям в плоскостях, перпендикулярных оси вращения.

Угловое перемещение всех точек твердого тела за одно и тоже время будут одинаковыми.

Угловая скорость:

Вектор элементарного углового перемещения Δφнаправлен вдоль оси вращения в соответствии с правилом буравчика. Вектор угловой скоростиω=dφ/dtопределяет модуль угловой скорости, ориентацию оси вращения в пространстве и направление вращения тела.

Вектор скорости V_A:V_A=ω×r_A (формула Эйлера)

V_A= ω r_A*sinα=ωρ

Ускорение точки А:

a_A=d ω/dt×r_A+ ω×dr_A/dt=ε×r_A+ω×V_A

 - угловое ускорение тела

a_A=a_+a_n- все три вектора лежат в плоскости, перпендикулярной оси вращения

a_=×r_A=*ρ*- тангенциальное ускорение (- единичный вектор в направленииV_A).

a_n= ω× V_A= ω×( ω× r_A)= ω²n– центростремительное ускорение (n– единичный вектор в направлении к оси вращения)

Момент силы и момент импульса. Ур-е моментов.

Моментом силы мат. точки, относительно некоторой геометрической точки наз-ся векторное произведение радиус вектора точки на приложенную к ней силу. M=[r,F]

Моментом импульса мат. точки, относительно некоторой геометрической точки наз-ся векторное произведение радиус вектора точки на импульс.

@=[r,p]

Ур-е моментов: M=d@/dt. Отсюда мы можем найти момент силы, если известен момент импульса.(решаем дифференцированием @(t) по времени)

Если известен момент силы, можем найти d@(dt) решая интегрированием.

Моментом силы мат. точки относительно некоторой оси, наз-ся проекции на эту ось вектора момента силы относительно геом. точки, при условии что последняя лежит на рассматриваемой оси.

Моментом импульса мат. точки относительно некоторой оси, наз-ся проекция на эту ось вектора момента импульса относительно геом. точки при условии, что последняя лежит на этой оси.

моментом силы мат. точки относительно некоторой оси, наз-ся взятое с надлежащим знаком произведение модуля перпендикулярной составляющей силы на плечо силы.

Произведение берется со знаком + если направление силы F, связано с направлением оси правилом правого винта и со знаком – в противном случае.

Плечом силы наз-ся кротчайшее расстояние от оси до линии действия силы.

Моментом импульса мат. точки относительно некоторой оси наз-ся взятое с надлежащим знаком произведение модуля перпендикулярно оси.

 sВопрос №27 (Момент импульса частицы относительно точки, относительно оси)

Для отдельно взятой частицы моментом импульса относительно точки O называется псевдовектор M = [rp] = [r(mv)]. Моментом импульса системы относительно точки O называется векторная сумма моментов импульсов частиц, входящих в систему: . Проекция вектора M на некоторую ось z называется моментом импульса частицы относительно этой оси: M_z = [rp]_{пр z}. Моментом импульса системы относительно оси z называется величина . Из рисунка видно, что модуль вектора момента импульса частицы равен M = rpsin = lp, где l=rsin - длина перпендикуляра, опущенного из точки O на прямую, вдоль которой направлен импульс частицы. Эта длина называется плечом импульса относительно точки O. Рисунок выполнен в предположении, что точка O, относительно которой берется момент, и вектор p лежат в плоскости рисунка. Вектор M перпендикулярен плоскости рисунка и направлен «от нас».

Вопрос №28 (Момент силы относительно точки и относительно оси. Пара сил)

ПсевдовекторN = [rF] называется моментом силы F относительно точки O, из которой проводится радиус-вектор r точки приложения силы. Из рисунка видно, что модуль момента силы можно представить следующим образом: N = rFsin = lF, где l = rsin - плечо силы относительно точки O (т.е. длина перпендикуляра, опущенного из точки O на прямую, вдоль которой действует сила). Проекция вектора N на некоторую ось z, проходящую через точку O, относительно которой определен псевдовектор N, называется моментом силы относительно этой оси: N_z = [rF]_{пр z}. Две равные по модулю противоположно направленные силы, не действующие вдоль одной прямой, называются парой сил. Расстояние l между прямыми, вдоль которых действуют силы, называется плечом пары. Суммарный момент образующих пару сил F₁ и F₂ равен N = [r₁F₁] + [r₂F₂]. Учтя, что F₁ = -F₂, можно написать: N = -[r₁F₁] + [r₂F₂] = [(r₂ – r₁)F₂] = [r₁₂F₂], где r₁₂ = r₂ – r₁ – вектор, проведенный из точки приложения силы F₁ в точку приложения силы F₂. Выражение не зависит от выбора точки O. Следовательно, момент пары сил относительно любой точки будет один и тот же. Вектор момента пары сил перпендикулярен к плоскости, в которой лежат силы, и численно равен произведению модуля любой из сил на плечо.