Вопрос 3

.

– мгновенная скорость.

Производная скорости по времени называется ускорением материальной точки: ,

Понятие угловая скорость и угловое ускорение относятся к случаю движения материальной точки по окружности. Положение точки М на окружности задается углом , который составляет радиус-вектор точки М с неизменным направлением ОХ. Производная этого угла по времени называется угловой скоростью : . Если  = Сonst, то движение равномерно.=/2– число оборотов в единицу времени (частота обращения).

Первая производная угловой скорости и вторая производная угла по времени – это угловое ускорение: . Продифференцируем S=rпо времени и получаем:

S’=(r’)*+(’)*r=*r

S’’=(*r)’=r*’+r’*=r(тангенциальное ускорение)+v*(=v²/r— центростремительное).

Плоское движение

Плоское движение – это такое движение твердого тела, при котором траектории всех его точек лежат в неподвижных параллельных плоскостях.

Скорость любой точки Атела геометрически складывается из скорости какой-либо другой точкиО, принятой заполюс, и скорости вращательного движения вокруг этого полюса.

Радиус-вектор точки А:

r_A=r₀+r` , r`- вектор, проведенный из полюса в точкуА.

Скорость точки А:

V_A= dr_A/dt= dr₀/dt+ dr`/dt=V<sub>0</sub>+ ω× r`

Отсюда можно сделать вывод, что в любой момент времени должна существовать такая точка М, скорость которой в лабораторной системеX Y Zравна нулю – для этой точки

V₀= -ω×r`

Причем точка может находиться и вне тела.

Таким образом, плоское движение твердого тела в данный момент времени можно представить как чистое вращение вокруг оси, проходящей через эту точку М- мгновенной оси вращения.

Ускорение точки А:

a_A=dV_A/dt=dV₀/dt+dω/dt×r`+ω× dr`/dt=a₀+a_+a_n

a_=×r`

a_n= ω× dr`/dt=ω×(ω×r`)=ω*(ω*r`)-r`(ω*ω)=- ω²*r`

((ω*r`)=0, т.к. ωr`)

Степени свободы и обобщенные координаты. Число степеней абс. тв. тела.

f(x,y,z)=0 – ур-е связи.

Система n: необходимо задать 3n координаты f, 3n-f их число (остается неизменным).

Числом степеней свободы сист. мат. точек наз-ся число независимых величин, которые должны быть заданы для однозначного определения положения системы.

Обобщенные координаты:

q1,q2,..,qf – обобщенные координаты (однозначно определяют положение системы)

q1’,q2’,..,qf’ – обобщенные скорости (производные от обобщенных координат)

W=Фи’ – обобщенная угловая скорость

Числом степеней свободы системы мат. точек число независимых обобщенных координат, которые должны быть заданы для однозначного определения положения системы.

Число степеней свободы абсолютного тв. тела: Абсолютное твердое тело, на движение кот. не наложены ограничения, обладает шестью степенями свободы.

***пример с треугольником***

Твёрдое тело, закрепленное в одной точке имеет 3 степени свободы.

Тело, вращающееся относительно неподвижной оси, имеет 1 степень свободы (5др. заданы)

Тело кот. может вращаться относительно оси и одновременно скользить имеет 2 степени свободы.

Векторы элементарного углового перемещения, угловой скорости, углового ускорения.

за dt: dФи – угловое перемещение.

Угловой скоростью наз-ся предел отношения углового перемещения dФи к промежутку времени dt за кот. это перемещение произошло, при неограниченном уменьшении dt.

если dФи=const вращение наз-ся равномерным.

Ню=W/2Pi – частота обращения

T=1/Ню – период обращения.

DФи – элементарное угловое перемещение (поворот на бесконечно малый угол)- величина векторная.

Замечание: перемещение на конечный угол вектором не является (это скалярная величина).

Угловой скоростью вращения наз-ся величина: W=dФи/dt

Вектор углового ускорения: Угловым ускорением наз-ся величина: b=lim(dW/dt) при dt->0

Замечания:

1)т.к. dW – вектор,то угловое ускорение тоже вектор.

2) угловое ускорение совпадает с вектором dW, кот. не совпадает с вектором b (b не направлен вдоль оси)

3) при вращении тв. тела вдоль неподвижной оси вектор b направлен вдоль этой же оси.

Мгновенная ось вращения.

Тв. тело вращается вокруг неподвижной оси => тв. тело, тело плоское.

***рисую круги со стрелками**

положение оси вращения остается неизменной.

Мгновенной наз-ся такая ось вращения тв. тела, с помощью кот. распределение скоростей всех точек тв. тела может описать как результат чисто вращательного движения в данное мгновение.

Замечания:

В отличие от неподвижной оси, не меняющей свое положение в пространстве и теле, мгновенная ось может перемещаться как в теле, так и в пространстве.

мгновенная ось служит для описания мгновенного распределения только скоростей. Той же осью нельзя пользоваться для описания мгновенного распределения ускорения.

Пример: тело вращается по земле. Vc=const – скорость центра

V=Vc(поступ) + Vвр(вращ.) => a=dVвр./dt направлена к центру.

Плоское движение твердого тела.

движение центра масс:

mdVc/dt=Fвнеш. –поступательное ур-е движения

a(абс)=а(относ.)+а0(переносное)

Твердое тело можно разбить на симметричные эл-ты сумма моментов всех сил равна нулю.

Iz=dWz/dt=Mzвнеш – вращательное

Скатывание цилиндра с наклонной плоскости (m,R,L):

IcdW/dt=Mc

Mc=RFтр

mdVc/dt=mgsina-Fтр

Vc=Wr – условие отсутствия скольжения

dVc/dt=RdW/dt

ac=dVc/dt=gsina/(1+(Ic/mr^2))

Ic=mR^2/2

Кинетическая энергия при плоском движении: T=mVc^2/2 + IcW^2/2