Вопрос 20

Свободные гармоничесие колебания. Колебания с одной степенью свободы. Сложения колебаний. Биения. Фигуры Лиссажу.

Среди различных процессов втречаются периодически повторяющиеся (колебания). Колебательный процесс может возникнуть за счёт внешней силы, которая вывела систему из равнвесия и перестала действовать, а колебания происходят под действием только внутренних сил, без участия внешних. Такие колебания наз. собственными. Колебания содной степенью свободы– это колебания при которых движения системы можно описать одним независимым параметром (координатой). Пример: колебания математического маятника, колебания физического маятника (твёрдое тело, подвешенное за точку и способное колебаться вокруг оси, не проходящей через ц. м.), колебания груза на пружинке.

Уравнения для физического маятника: J=–mgasin–mga, приведённая длинна физического маятника, равна длинне математического маятника с тем же периодом –l=J₀+ma²/ma.T=, решение этого уравнения:=₀cos(t+),₀,определяются начальными условиями,– параметр системы.Колебания происходящие по законуsinуса илиcosинуса наз.гармоническими.

Сложение гармонических колебаний одинаковой частоты. x₁=A₁cos(t+₁),x₂=A₂cos(t+₂). Представим в комплексной форме: x=x₁+x₂=A₁e^i(t+1)+ A₂e^i(t+2)=e^it(A₁e^i1+A₂e^i2), A₁e^i1+A₂e^i2=Ae^i, A²=A₁²+A₂²+2 A₁A₂cos(₁–₂,), tg =(A₁sin₁+A₂sin₂)/(A₁cos₁+A₂cos₂)  x=x₁+x₂=Ae^i(t+)  x=Acos( t–).

Сложения гармонических колебаний с близкими частотами. x₁=A₁cos(₁t+₁),x₂=A₂cos(₂t+₂). Каждое из колебаний представим в комплексной форме, а сложение будем производить векторно. ПустьA₁>A₂.Cуммой двух колебаний с близкими частотами является колебание с изменяющейся амплитудой (от А₁–А₂до А₁+А₂) и с частотой |₁–₂|. Колебания амплитуды с частотой=|₁–₂| называются с биениями, а частота– частотой биения.

Затухающие колебания. Воспользуемся наиболее простым случаем «жидкого» или «вязкого» трения, когда сила трения направлениа противоположно скорости и пропорциональна скорости. Колебания при наличии трения становятся затухающими:

. - коэффициент трения,

Решение этого уравнения удобно искать в виде

. Учитывая, что ,

, находим

Решение этого уравфнения:, где

, (*)

При не очень больших

- вещественная величина и

- гармоническая функция

Вещественная часть колебания, описываемого равенством (*), представляется формулой:

Отсюда видно, что амплитуда колебаний уменьшается в е=2,7 раза в течение времени

-время затухания, а - показатель (коэффициент, декремент) затухания.

Всё выше написанное относится к случаю не очень больщих коэффициентов трения и когда – действительное число.

Вынужденные колебания под действием гармонической внешней силы. Если на систему постоянно действует постоянно меняющаяся внешняя, зависящая от времени сила, то такие колебания наз.вынужденными.

mx``=-Dx-x`+F₀cost

x``+2x`+₀²x=(F₀/m)cost

АЧХ и ФЧХ. Резонанс.

АЧХ-кривая,описывающая зависимость амплитуды вынужденных установившихся колебаний от частоты внешней силы.

ФЧХ-то же для разности фаз вынужденных колебаний и внешней силы. резонанс: ₀

А=А₀sin(₀t+)

Ä+₀²A=0

2Á=(F₀/m)sin₀t

A=(F₀/2m₀)sin(t-/2)

A₀=F₀/2m₀=( F₀/m₀²)*(₀/2)=(F₀/k)*Q

tg  = (2)/(₀²-²)

(₀-)/  1

(₀²-²)² = (₀-)²*(₀₊)² ; ₀₊ ≈ 2ω ; 4γ²ω² ≈ 4γ²ω₀²

–Формула Лоренца

∆ω = 2δ=ω₀/Q- ширина резонансной кривой.

 — дектремент затухания.

(ω₀²-²)^1/2.

Пусть нужно сложить два гармонических колебания одинаковой частоты и направления.

x=x1+x2

x1=A1cos(W0t+Фи1)

x2=A2cos(W0t+Фи2)

По теореме косинусов: A^2=A1^2+A2^2 – 2A1A2cos(Pi-(Фи2-Фи1))

A^2=A1^2+A2^2 +2A1A2cos(Фи2-Фи1)

tgФи=(A1sinФи1+A2sinФи2)/(A1cosФи1+A2cosФи2)

x=Acos(W0t+Фи)

Затухающие колебания.

Fтр=-Bx, где B-коэффициент сопротивления

mx’’+Bx’+kx=0

x’’+Bx’/m+kx/m=0

B/m=2b=W0^2, где b-коэффициент затухания

тогда: x’’+2bx’+W0^2*x=0 – ур-е затухающих колебаний.

Логарифмический декримент затухания:

W1^2>b^2 A=A0e^(-bt)

тау=1/b – время затухания

N=тау/T=1/BT

A(t+T)/A(t)=e^(bT)

Логарифмический декримент затухания называется лог. отношением двух последоват. колебаний, разделимых промежутками времени равными одному периоду.

d=ln(A(t+T)/A(t))=bT

d=1/N, где N – число колебаний за которое уменьшается в e раз.

Q=PiN=Pi/D – добросность.

Q=-2PiE(t)/(E(t+T)-E(t)) – где E –кинетическая энергия.

Резонанс

Резкое возрастание амплитуды колебаний при частоте внешней возбуждающей силы равной или близкой собственной частоте к колебательной системе наз-ся резонансом.

x’->dx’ –смещение

1)если W<<W0

tgФи=2bW/W0^2 – сдвиг фаз=0

2)частота внешней возбуждающей силы больше колебательной системе (W>>W0),то

tgФи=-2b/W – смещение в противофазе

3)W=W0

tgФи->к бесконечности Фи->A/2

смещение мах при внешней силе равной нулю

Вынужденные колебания под действием синосоидальной силы.

mx’’+bx’+kx=F(t) – ур-е вынужденных колебаний (неоднородное)

x’’+2bx’+W0^2x=f(t), где f(t)=F(t)/m

F=f0cosWt

x’’+2bx’+W0^2x=fo*cosWt – ур-е вынужденных колебаний при гармоническом внешнем воздействии.

33