Вопрос 16

Уравнение движения в релятивистской меканике. Импульс и энергия. Энергия покоя.

Уравнение движения в релятивистской механике

Полную силу F, действующую на частицу, можно разложить на тангенциальную и нормальную компоненты:

Каждая из компонент силы создает в соответствующем направлении ускорение, которое определяется инертностью тела в этом направлении

;

Если ввести единичные векторы: и, то эти уравнения можно записать в виде:

Левую часть этого уравнения можно упростить.

Принимая во внимание, что:, и представляя формулу:

в виде заменимна

, прямым дифференцированием проверяем равенство , с помощью которого левую часть упрощаемого уравнения преобразуем к виду:

, где -скорость частицы.

Таким образом, уравнение движения в релятивистской механике:

, или - релятивистский импульс.

Импульс материальной точки – вектор, равный произведению массы точки на ее скорость:

Энергия покоя

получается из при

(Законы динамики твердого тела)

Уравнение движения центра масс. dP/dt=mdVc/dt=mWc=F_внешн. P=MiVi. Уравнение моментов:dMo/dt=N_oвнешн. Mo=[r,M_iV_i]; P=M_iV_i; dMc/dt=N_cвнешн. Условие равновесия твёрдого тела.Vx=0,P=0,Mo=0,F_i=0, F_xi=0; F_yi=0; F_zi=0; Ni=0; N_xi=0; N_yi=0; N_zi=0.Момент импульса твёрдого тела относительно оси вращения.r_i=R_ie_ri+z_ie_r; Vi=Ri[,e_ri]=[,R_i]=_zR_ie_; M_z=RiPi=zMiRiRi; Момент инерции: Iz=MiRiRi; M_z+I_z_z.

Вопрос 17

Движение тел с переменной массой. Уравнение Мещерского. Формула Циолковского.

Движение тел с переменной массой.

Уравнение движения тел с переменной не содержат ничего принципиально нового по сравнению с законами Ньютона, и являются их следствиями. Но они представляют большой интерес в связи с ракетной техникой.

Выведем уравнение движения материальной точки с переменной массой на примере движения ракеты. Пусть m(t)-масса пакеты в произвольный момент времениt, аv(t)-ее скорость в тот же момент. Импульс ракеты в этот момент будетmv. Спустяdtмасса и скорость ракеты получат приращениеdmиdv(dm-отрицательна). Импульс ракеты станет (m+dm)(v+dv). Сюда надо добавить импульс движения газов, образовавшихся заdt. Он равенdm_газv_газ–масса и скорость газа, образовавшихся заdt. Вычитая из суммарного импульса системы в моментt+dtимпульс системы в моментt, найдем приращение этой величины за dt. Это приращение равноFdt, гдеF– геометрическая сумма всех внешних сил, действующих на ракету.

(m+dm)(v+dv)+dm­_газv_газ-mv=Fdt

Время dtустремим к нулю. Поэтому, раскрывая скобки, отбрасываемdmdv. Далееdm+dm_газ=0 иv_отн=v_газ-vесть скорость истечения газов относительно ракеты. Тогда

mdv=v_отнdm+Fdt, деля наdt

m(dv/dt) =v_отн(dm/dt) +F(1)

Член v_отн(dm/dt) – реактивная сила . Уравнение (1)-уравнение Мещерского или уравнение движения точки с переменной массой.

Пусть теперь у нас F=0, тогдаmdv=v_отнdm.

Допустим, что ракета движется прямолинейно в направлении, противоположном скорости v_отн. Тогда проекцияv_отнна направление движения будет –v_отн. Тогда

dv/dm= -(v_отн/m)

Пусть скорость газовой струи v_отнпостоянна, тогда

v= -v_отн (dm/m) = -v_отн ln(m) +C

Значение С определяется начальными условиями. Если, в начальный момент времени скорость ракеты =0, а масса = m_0, тогда 0 = -v_отн­ ln(m₀) +C, откуда С =v_отнln(m₀). Следовательно :v=v_отнln(m/m₀) или

m₀/m=e^{v / v отн} . (2)

Уравнение (2) – формула Циолковского. Она справедлива для нерелятивистских движений (vиv_отн­ <<c)

Релятивистская формула имеет вид :

, где =v/c.