1.2 Во второй форме записи
По аналогии проделаем те же вычисления,
которые были приведены в пункте 1.1 для
второй и последующих форм записи.
Разделим все члены уравнения (1.1) на:
(
:
)
+ (
):(
)
+ (
):(
)
(
sin
ωt):(
)
= 0
(1.3)
После математических преобразований выражения (1.3) и исключения из него всех знаков интегрирования и дифференцирования и неоднородных функций, получим:
+ 1 +
= 0
Запишем найденные критерии подобия во второй форме:
=
,
=
,
=
,
=
,
1.3 В третьей форме записи
Проделаем аналогичные преобразования
для нахождения третьей формы записи.
Разделим все члены уравнения (1.1) на:
(
:
)
+ (
):(
)
+ (
):(
)
(
sin
ωt):(
=
0
(1.4)
Преобразуя выражение (1.4) путем исключения из него всех знаков интегрирования и дифференцирования и неоднородных функций, получаем:
+
+ 1
= 0
Запишем найденные критерии подобия в третьей форме:
,
,
=
,
=
,
1.4 В пятой форме записи
Проделаем аналогичные преобразования
для нахождения пятой формы записи
критериев подобия. Для этого разделим
все члены уравнения (1.1) на
:
(
:
)
+ (
):(
)
+ (
):(
)
(
sin
ωt):(
)
= 0
(1.6)
После математических преобразований и исключения из выражения (1.6) знаков дифференцирования и интегрирования и неоднородных функций, получим следующее выражение:
+
+
1
= 0
Запишем найденные критерии подобия в пятой форме записи:
=
,
=
,
=
,
=
,
2 Определение критериев подобия на базе π-теоремы
2.1 Составление матрицы размерностей параметров процесса
Определим параметры, участвующие в данном процессе и их число, и представим процесс в виде следующего уравнения:
f (
,
,
t,
,
C, L, M,
)
(2.1)
Из уравнения (2.1) видно, что m = 8. Выразим все члены уравнения (2.1) в относительных единицах:
f
(
,
,
,
,
,
,
,
)
= 0
(2.2)
Запишем выражения единиц измерения для всех величин, участвующих в выражении (2.2):
[
]
= [
]
= [
]
[
]
= [
]
= [
]
[
]
= [
]
= [
]
[
]=[
]=[
]
(2.3)
[C] = [
]
= [
]
[
]
= [
]
= [
]
[
]
= [
]
= [
]
[
]
= [
]
= [
]
Построим матрицу размерностей, составленную из показателей степени, входящих в формулы размерности системы (2.3):
|
|
L |
M |
T |
I |
|
|
2 |
1 |
-3 |
-1 |
|
ω |
0 |
0 |
-1 |
0 |
|
t |
0 |
0 |
1 |
(2.4) |
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
C |
-2 |
-1 |
4 |
2 |
|
L |
2 |
1 |
-2 |
-2 |
|
|
2 |
1 |
-2 |
-2 |
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
2.2 Определение независимых параметров процесса и числа возможных форм записи критериев подобия
Определим число независимых параметров
из
,
,
,
,
,
и
и установим их. Число независимых
параметров (К) будет равно порядку
первого не равного нулю определителя,
составленного из указанных показателей
степени(матрица (2.4)). Причем анализ
определителей нужно начинать с
определителей порядка основных единиц
измерения, то есть в нашем случае с
четвертого порядка.
Определим число возможных комбинаций определителей четвертого порядка:
=
= 70
Из следующих свойств определителей: 1) если в определителе имеются одинаковые строки, то такой определитель равен нулю; 2) если в определителе имеются пропорциональные строки, то такой определитель равен нулю; 3) если в определителе имеются нулевые строки, то такой определитель равен нулю; легко показать, что все определители четвертого порядка равны нулю. Следовательно, и число независимых параметров меньше четырех.
Анализируем определители третьего порядка. Определим число возможных комбинаций определителей третьего порядка:
С =
*
=
= 224
Рассчитаем любой произвольный определитель третьего порядка:
M T I
C -1
4 2
D =
1 -2 -2
= -2
0 1 1
Так как определитель третьего порядка
оказался отличен от нуля, то число
независимых параметров (К) равно трем,
при этом в первой форме записи в качестве
независимых параметров являются
,
,
.
Остальные параметры будут зависимы и
будут выражаться через независимые. На
основании расчетов приложения видно,
что число форм записи критериев подобия
на базе π-теоремы составляет двадцать
шесть.