2 semestr / lect16n

‡ ¤ ® ®¡ ¢¥--ë §- ¥-¨ï

^

H

= E

^

¯ ®¨§¢®«ì-ë¬ ®¯¥ ® ®¬ H, ª ª ¯ ¢¨«®, -¥ § ¥è¨¬ - «¨ ¨ ¥ ª¨.

Ž¤- ª®, ¯ ¨ ¥è¥-¨¨ ¬-®£¨ ¨§¨ ¥ ª¨ ¢ ¦-ë § ¤ ¤® ® -® ¬¥-¥¥ ®¡é¨

¦¤¥-¨©. • ì £ ¬¨«ì ®-¨ - ¨ ¥¬ë ¬®¦-® ¯ ¥¤ ¢¨ ì ¢ ® ¬¥

^

=

^

+

^

<< 1;

H

H0

H1;

^

£¤¥ H0 { ®¯¥ ® ¨ ® ¤¨ ª ¥ -ë¬ ¯¥ª ®¬, ¯ ¨ ¥¬ ¢ ¥ ¥£® ®¡ ¢¥--ë¥ §- ¥-¨ï

¨ ®¡ ¢¥--ë¥ ¢¥ª ® ë ¨§¢¥ -ë.

‚Ž‡Œ“™…•ˆŸ •…‚›•Ž†„…••ŽƒŽ ‘•…Š’•€

‘- « ¤«ï ¯ ® ® ë ¯ ¥¤¯®«®¦¨¬, ¢ ¥ ®¡ ¢¥--ë¥ §- ¥-¨ï í ® ®¯¥ ®

-¥¢ë ®¦¤¥-ë:

^

n

= E0n n;

H0

< mj n > = Æmn;

8 2 H =

n

n < nj > :

• ¨-¨¬ ï ¢® ¢-¨¬ -¨¥ ¢ï§ì ®¯¥ ® ®¢ ^ ¨

X

^0, ¬®¦-® ª § ì, ® E0n ¨ n {

¯ ¨¡«¨¦¥--ë¥ ¥è¥-¨ï ® -®© § ¤ ¨:

H

H

n = n + O( );

En = E0n + O( ):

•¥ ¤-® ® -¨ ì ª ¯®¯ ¢® -ë « £ ¥¬ë ¢ í ¨ ® ¬ « .

Œ®¦-®

¤¨ ì ª: ¯® ª®«ìª ®¯¥ ® H

- «¨ ¨ ¥ ª¨ § ¢¨ ¨ ® ¯ ¬¥

, ¬®¦-

è¥-¨¥

^

^

^

(1)

+

n

=

H0 0

+

H0

n

H1

E0n n +

En0 (1)n

+ E1n n

+ O( 2 ):

( ^0

E0n ) n = 0;

H

( ^0

E0n) (1)n

= F1;

H

£¤¥

^

F1

= E1n n H1 n:

“¬-®¦¨¢ ®¡¥ ¨ ¢-¥-¨ï ª «ï -® -

¢¥ª ® n, ¯®« ¨¬

< n

F1 >

= < n ( ^0

E0n) (1)n >

=

< ( ^0

E0n) n

(1)n >

= 0:

j

j H

H

j

’ ª¨¬ ®¡ §®¬, ¢¥- ¢

< njF1 >

=

0

^

E1n =

< njH1j n > :

•¥è¥-¨¥ ¢-¥-¨ï

( ^0

E0n) (1)n = F1;

H

(1)n =

X

mCmn:

m6=n

ª®í ¨ ¨¥- ®¢ Cmn:

^

>:

Cmn

=

< mjH1j n

E0n E0m

‡ ¬¥ ¨¬, ® ª®í ¨ ¨¥- ë Cmn

- ¨ ¨¬¬¥ ¨ -ë ¯® ¨-¤¥ª ¬ m ¨ n. ‚ ¨« í ®£®

¢¥ª ® ë

X

(1)n =

n

+

mCmn

… «¨ ¢ ª ¥ ¢¥ ¢¥«¨ ¨- E1n ¨ (1)n ¢§ï ì §- ¥-¨ï, - ©¤¥--ë¥ ¯ ¨ ¥è¥-¨¨ ¢-

^

-¥-¨© ¢ ¯¥ ¢®¬ ¯® 浪¥ ¯® , ® ¢-¥-¨¥

H = E ¯ ¨¬¥ ¢¨¤:

2( ^0 (2)n +

^1 (1)n) =

H

H

2(E0n (2)n + E1n (1)n

+ E2n n) + O( 3):

( ^0

E0n) (2)n

=

F2;

H

^

F2 = E2n n + E1n

(1)

(1)

n

H1

n:

“ «®¢¨¥ § ¥è¨¬® ¨ í ¨ ¢-¥-¨©, < njF2 >= 0, ®¯ ¥¤¥«ï¥ ¯®¯ ¢ª ª ®¢-î

í-¥ £¨¨:

^

(1)

E2n =

< njH1j

n > :

•®¤ -®¢ª ï¢-®£® §- ¥-¨ï ¢¥ª ®

(1)n ¯ ¨¢®¤¨ ª ® ¬ «¥

^

2

E2n

=

X

j < mjH1j n > j

:

E0n

E0m

m6=n

^

(k)

(H0

E0n) n

= Fk;

‚Ž‡Œ“™…•ˆŸ ‚›•Ž†„…••ŽƒŽ ‘•…Š’•€

‘« © ¢ë ®¦¤¥--®£® ¯¥ª

^

¥¡ ¥ ¡®«¥¥ é ¥«ì-®£®

£ ¬¨«ì ®-¨ - H0

- «¨§ . • ¥¤¯®«®¦¨¬, ® ®¤¨- ¨§ ¡ §¨ ®¢ ¢ ¯ ® - ¢¥ ® ®ï-¨© ®¡ § î ®¡-

¢¥--ë¥ ¢¥ª ® ë í ®£® £ ¬¨«ì ®-¨ - :

^

H0 n

=

E0n n ; = 1; :::; sn:

•®¤ -®¢ª ¢ ¢-¥-¨¥

( ^0

+

^1) n = En n

H

H

¢ë ¦¥-¨©

En = E0n + E1n + O( 2 );

n

=

n

+ (1)n

+

O( 2 )

¯ ¨¢®¤¨ ª ®® -®è¥-¨ï¬

^

^

(1)

^

E1n n ) +

2

(H0 E0n) n

+ ((H0 E0n) n

+

H1 n

O(

) = 0:

( ^0

E0n) n = 0

H

¨

^

(1)

^

(H0

E0n) n

=

E1n n H1

n ;

< n jE1n n > =

^

< n jH1j n >;

¯ ® ¨¢® ¥ ¨ï, ® ¬ «¨ ¥¬ ¯ ¢¨«® ¢ë¡®

¢¥ª ® ®¢ n «¥¤ î騬 ®¡ §®¬:

¢¥ª ® ë n ¤®«¦-ë ¤®¢«¥ ¢® ï ì «®¢¨ï¬

^

(H0 E0n) n

= 0;

¨

^

< n jH1j n >

= h Æ :

l^3Ylm

=

mYlm;

^

lm

=

p

(

)(

+ 1)

l;m 1

l^

Y

l

m l

m

Y

:

… «¨ l

¥ «¨§ î ï ª ª ¤¨ ¥ ¥- ¨ «ì-ë¥ ®¯¥ ® ë, ® í ¨ ¢¥- ¢ ¬®¦-®

¯ ¥¤ ¢¨ ì ª ª ¯¥ ¥ -®¢® -ë¥ ®® -®è¥-¨ï

^

] = mYlm;

[l3; Ylm

^

lm]

=

(

)(

+ 1) l;m 1

[

; Y

m

:

l

l

m

l

Y

• ®¬ ®¡ § «¥¤ ¥ ®¯ ¥¤¥«-¨¥ -p¥¯ ¨¢®¤¨¬ë ¥-§® ®¢.

•¥¯ ¨¢®¤¨¬ë© ¥-§® -£

j { í ® ®¢®ª ¯-® ì 2j + 1 ®¯¥ ® ®¢

^

j m j;

Tjm;

¤®¢«¥ ¢® ïîé¨ ¯¥ ¥ -®¢® -ë¬ ®® -®è¥-¨ï¬

^

^

^

[j3; Tjm

] = mTjm;

^

^

^

] =

p

(j

m)(j

[j ; Tjm

m + 1)Tj;m 1:

‘¯ ¢¥¤«¨¢ë ¯ ¢¨«

® ¡® :

1)

< 1; j1; m1

^

2; j2; m2 > = 0; ¥ «¨ m1

= m + m2;

j

Tjm

^

j

6

6

2)

= < 1; j1jTj j 2; j2 >< j2m2jmjj2jj1m1 >;

< 1; j1; m1jTjmj 2; j2; m2

>

jj1j2jm > =

X

jj1m1j2m2

>< j1m1j2m2jj1j2jm > :

m1m2

ë Š«¥¡è {ƒ® ¤®- ï¢-®. • ¥¤¯®«®¦¨¬, ® é¥ ¢ ¥ ª®© -¥¯ ¨¢®¤¨¬ë© ¥--

^

^

; j2; m2 > -¥ ¢-ë - «î.

§® Qjm , ¬ ¨ -ë¥ í«¥¬¥- ë ª® ® ®£® < 1; j1; m1jQjmj 2

‚ í ®¬ « ¥ ¯ ¢¥¤«¨¢ ® ¬ «

^

^

< 1; j1; m1jTjmj 2; j2; m2 > = C

( 1; 2; j1; j2) < 1; j1

; m1jQjmj 2; j2; m2 > :

é¨ -¥¯ ¨¢®¤¨¬ë ¥-§® ®¢.

^

•¥¯ ¨¢®¤¨¬ë© ¥-§® - «¥¢®£® -£

¤®¢«¥ ¢® ï¥ ¯¥ ¥ -®¢® -ë¬ ®® -®-

T

è¥-¨ï¬

^

^

=

0;

[J ; T ]

® ®¢¯ ¤ ¥ ¯ ¨-ï ë¬ -¥¥ ®¯ ¥¤¥«¥-¨¥¬ ª «ï .

„¥ª ®¢ë ® ¢«ïî騥 ¢¥ª ®

A ¤®¢«¥ ¢® ïî ¯¥ ¥ -®¢® -ë¬ ®® -®-

è¥-¨ï¬

[J ; A ]

=

i A :

’ ¨ ¢¥«¨ ¨-ë

^

^

^

^

^

^

^

^

T1; 1

=

b(A1

iA2);

T1;0

=

dA3;

T1;1

=

c(A1

+ iA2 )

¤®¢«¥ ¢® ïî ¯¥ ¥ -®¢® -ë¬ ®® -®è¥-¨ï¬

^

^

[J3; T1m] =

mT1m:

ˆ ¬®¦-® ¨ ì ® ¢«ïî騬¨ -¥¯ ¨¢®¤¨¬®£® ¥-§®

¯¥ ¢®£® -£

¢ ®¬ « -

¥, ¥ «¨ ¢ë¯®«-¥-ë ®® -®è¥-¨ï

^

^

^

^

d

^

^

[J+; T1;0]

=

d(A1 + iA2)

=

c T1;1

=

p(1 0)(1 + 0 + 1)T1;1;

^

^

^

d ^

p(1 + 1)(1

^

[J+; T1; 1]

=

2ibA3

=

c T1;0

=

1 + 1)T1;0:

• ¨ ¢¥- ¢

¯®§¢®«ïî ¢¥ ¨ ª®í ¨ ¨¥- ë b ¨ c

ª d:

^

d

^

^

^

^

^

d

^

^

T1; 1

=

p

2

(A1 iA2);

T1;0

=

dA3

;

T1;1

=

p

(A1

+ iA2):

2c

^

®¢¯ «¨ § ¬¨

Š®í ¨ ¨¥- d ¤®¡-® ¢ë¡ ì ª¨¬, ®¡ë §ë ¥-§® ®¢ T1m

Ylm(~n)

=

(

1)

2

il

2l + 1 (l

jmj)!P jmj(cos )eim

;

m+

j

s 4

^

(l +

m

)!

l

j

j

¯®í ®¬ ¥ ¥ ¢¥--® ¢ë¡ ì ®¯ ¥¤¥«¥-¨¥

^

=

i

^

^

^

^

^

i

^

^

T1; 1

p2

(A1

iA2);

T1;0

=

iA3

;

T1;1

=

p2c

(A1

+ iA2):

„¥ª ®¢ ¥-§® ¢ ® ®£® -£

¬®¦-® ¨-¢ ¨ - -® ® -® ¨ ¥«ì-® ¯®¢® ® ®¢ §-

¡¨ ì -

¨¬¬¥ ¨ - î ¨

- ¨ ¨¬¬¥ ¨ - î ¨:

A =

1

(A + A ) +

1

(A

A ):

2

2

® ¬¥

1

1

A = 3Æ T rA

+

A 3Æ T rA :

•® ª®«ìª «¥¤ ¥-§®

-¥ ¨§¬¥-ï¥ ï ¯ ¨ ¯®¢® ® , ® ¯¥ ¢®¥ « £ ¥¬®¥ ¯ ¥¤ -

¢«ï¥ ®¡®© ª «ï ,

¢ ® ®¥ { ¨¬¬¥ ¨ -ë© ¥-§® ¢ ® ®£® ¯® 浪 - «¥¢ë¬

¥-§® ¢ ® ®£® -£ . •¥ ¤-® - © ¨ ï¢-ë¥ ® ¬ «ë, ¯¥ ¥¢®¤ï騥 ¤¥ª ®¢ë ®-

^

¢«ïî騥 ¢ ® ¢«ïî騥 T2;m:

3

1

T2;0 = r2T33; T2; 1

= (T13 iT23); T2; 2 = 2

(T11

T22 2iT12):

T = T ;

X

T = 0:

^

• ¨ ®® -®è¥-¨ï ® ®¡¥--® ¤®¡-ë, ¥ «¨ ¥-§® Qjm ¯® ®¥- ¨§ ® ¢«ïîé¨

®¯¥ ® ¬®¬¥- ª®«¨ ¥ ¢

¤¢¨¦¥-¨ï. • ¥¦¤¥ ¥¬ ¯ ¨¢¥ ¨ ï¢-ë¥ ® ¬ «ë, § -

ì ¢¥- ¢ ®¦¤¥ ¢¥--® ¢-

- «î (¢ ¨« ¯¥ ¥ -®¢® -ë ®® -®è¥-¨©

~2

; J ] = 0).

[J

^

1) •¥¯ ¨¢®¤¨¬ë© ¥-§® - «¥¢®£® -£

¤®¢«¥ ¢® ï¥ ¯¥ ¥ -®¢® -ë¬ ®® -

T

-®è¥-¨ï¬

^

^

=

0;

[J ; T ]

® ®¢¯ ¤ ¥ ¯ ¨-ï ë¬ -¥¥ ®¯ ¥¤¥«¥-¨¥¬ ª «ï .

‚ ª ¥ ¢¥ ¥-§®

^

^

Qjm ¬®¦-® ¢§ï ì ¥¤¨-¨ -ë© ®¯¥ ® E, ¯®í ®¬

^

^

< 1; j; m1jT j 2; j; m2

> = C( 1; 2

; j) < j; m1jEjj; m2 >

= C ( 1; 2; j)Æm1m2

: