1 semestr / Лекции в формате PDF - 1-й семестр / lect11

¢-¥-¨ï ˜ ¥¤¨-£¥ ¢ ® ¬¥ ( ¬ ¨¢ ¥ ï ¨ ¥¬

®¤-®© ¥¯¥-ìî ¢®¡®¤ë)

(x)

=

exp i

S(x)

:

h

•® «¥ í ®£® ¢-¥-¨¥ ˜ ¥¤¨-£¥

h2

(x) + V (x) (x) = E (x)

2m

¯ ¨-¨¬ ¥ ¢¨¤

1

S (x)

2

ih

S (x) + V (x) = E:

2m

2m

• ¥¤¯®«®¦¨¬, ® ¢ë¯®«-ï¥ ï «®¢¨¥

hS (x)

=

d

h

<<

1:

(S (x))2

dx S

(x)

… «¨ S { ª« ¨ ¥ ª®¥ ¤¥© ¢¨ï, ® ¢¥«¨ ¨- §¬¥ -® ¨ ¤«¨-ë

(x)

=

h

S (x)

1 S x 2

1 S x S x

1

S x 2

ih S

ih S

V x E

0

0

0

0

( 0 ( )) +

0 ( ) 1 ( ) +

( 1 ( ))

0

1 + ( ) =

2m

m

2m

2m

2m

- ¤¢

1

(S0 (x))2

+ V (x) = E

2m

¨

S0 (x)S1

(x) +

1(S1 (x))2

ih

S0

ih

S1

= 0:

2

2

2

S0 (x)S1

(x)

ih S0 = 0:

2

S

x

ihln

q

S

x

:

1(

)

=

0 (

)

‚¥ -¥¬ ï ª - «¥¢®¬ ¯ ¨¡«¨¦¥-¨î. ‚ ¢-¥-¨¨

1

(S0 (x))2

+ V (x) = E

2m

¥ ¥ ¢¥--® ¢ë¤¥«ïî ï ¤¢

« ï:

1) í-¥ £¨ï E ¡®«ìè¥ ¯® ¥- ¨ «ì-®© í-¥ £¨¨ V (x) ¨

2) ¯ ® ¨¢®¯®«®¦-ë© « ©, ª®£¤

¯ ¢¥¤«¨¢® -¥ ¢¥- ¢® E < V (x).

‚ ¯¥ ¢®¬ « ¥ ¯ ¢¥¤«¨¢® ¢-¥-¨¥

dS0

= p(x);

p2(x) = 2m(E V (x)) > 0;

dx

ª® ® ®¥ ¨¬¥¥ ¥è¥-¨¥

S0(x)

=

Z x p(x)dx:

C1

i

x

C2

i

x

(x)

=

exp

p(x)dx

+

exp

p(x)dx

;

p2(x)

> 0;

hZ

hZ

¨«¨

pp(x)

pp(x)

C1

1

x

C2

1

x

(x)

=

exp hZ

(x)dx

+

exp hZ

(x)dx ;

2(x)

> 0;

p

p

(x)

(x)

Ž¡« ¨ ¯ ¨¬¥-¨¬® ¨ í ¨ ¢ë ¦¥-¨© ®¯ ¥¤¥«ïî ï -¥ ¢¥- ¢ ¬¨

d

h

<<

1;

dx p(x)

¨«¨

d

h

<<

1:

dx (x)

‡ ¬¥ ¨¬, ª¢ §¨ª« ¨ ¥ ª®¥ ¯ ¨¡«¨¦¥-¨¥

-¥¯ ¨¬¥-¨¬® ¢¡«¨§¨ ® ¥ª ¯®¢® ® x0,

¢ ª® ® ë ¢ë¯®«-ïî ï ¢¥- ¢

p(x0) = 0 ¨«¨ (x0) = 0.

… «¨ ª¢ §¨ª« ¨ ¥ ª®¥ ¯ ¨¡«¨¦¥-¨¥ ¯ ¨¬¥-¨¬®, ® ¢ë ¦¥-¨¥

x

i

x

d

1

i

Z

p(x)

1 + 1

d

h

i

Z

exp

p(x)dx

=

exp

p(x)dx

dx

p(x)

h

h

2 dx

p(x)

h

p

¬®¦-®p§ ¬¥-¨ ì -

x

i

p(x)

i

ph

exp

Z

p(x)dx :

h

1

¨ «ì-ë© ¬-®¦¨ ¥«ì pp(x)

¬®¦-® ¬ ¨¢ ì ª ª ¯® ®ï-- î ¢¥«¨ ¨- .

¯®¢® ® , ® ¢®«-®¢ î -ª ¨î -

® ¥§ª¥

x1 < x < x2, ®¤¥ ¦ 饬 ® ª ¯®¢® ®

x0, ¬®¦-® ¡ë«® ¯® ®¨ ì ¯® ® ¬ «¥

(x) =

1(x);

x < x0

2(x); x0 < x

‹¨-¥©- î § ¢¨ ¨¬® ì -ª ¨©

1 ¨

2 ®¡¥ ¯¥ ¨«® ¡ë «®¢¨¥

W ( 1;

2)

=

0:

•® ª®«ìª í ®£® ¤¥« ì -¥«ì§ï, ® ¥è¥-¨ï 1 ¨

1 ¯ ¨ ®¤¨ ï ®¯® ¢«ï ì ¡®«¥¥

¨§®é ¥--묨 ¯® ®¡ ¬¨. Ž «®¦¨¢ ¯®ª ®¯¨ -¨¥ í ¨ ¯® ®¡®¢, ¯ ¨¢¥¤¥¬ ®ª®- -

¦¥-¨¥. … «¨ ª« ¨ ¥ ª¨ ¤® ¨¦¨¬ ï ®¡« ì «¥¦¨ ¯ ¢

® ® ª¨ ¯®¢® ® :

E < V (x); x < a;

E > V (x); x > a;

® ¬¥¦¤ ª¢ §¨ª« ¨ ¥ ª¨¬¨ ¥è¥-¨ï¬¨ «¥¢ ¨ ¯ ¢

® ® ª¨ ¯®¢® ® é¥-

¢ ¥ ª®¥ ®® ¢¥ ¢¨¥:

1

1

a

2

1

x

x < a;

exp hZx

(x)dx ;

,

cos hZa

p(x)dx 4 ;

a < x:

p

(x)

p

p(x)

® ® ª¨ ¯®¢® ® :

… «¨ ¦¥ ª« ¨ ¥ ª¨ ¤® ¨¦¨¬ ï ®¡« ì «¥¦¨ «¥¢

E > V (x); x < b;

E < V (x); x > b;

® ª¢ §¨ª« ¨ ¥ ª¨¥ ¥è¥-¨ï «¥¢

¨ ¯ ¢ ® ® ª¨ ¯®¢® ®

¢ï§ -ë ®® -®è¥-

-¨¥¬:

2

1

b

1

1

x

x < b;

cos hZx p(x)dx 4

,

exp hZb

(x)dx ;

b < x;

(x)

p

p(x)

lim

(x) = 0; lim (x) = 0

x! 1

x!1

‚ ª« ¨ ¥ ª®© ¬¥ -¨ª¥ ¨

í-¥ £¨¨ E, - ¢ ¤¢¨¦¥-¨¥ ¢ ®¡« ¨ «¥¢

® ¡ ì¥ -¥ ¬®¦¥ ®ª § ì ï «¥¢

® -¥£®. Ž -®¢¨¢è¨ ì ¢ ® ª¥ ¯®¢® ® , ®-

- -¥ ¡¥ ® -®¢® -®¥ ¤¢¨¦¥-¨¥ - ¯ ¢®. ‚ ª¢ - ®¢®© ¬¥ -¨ª¥ ¨ ¢ ¥£¤

¨¬¥¥ è - ®ª § ì ï ¯ ¢

® ¡ ì¥ .

‚¥ ®ï -® ì ¦¥ ® ¦¥-¨ï ®ª §ë¢¥ ï

¢¥«¨ ¨-®©, ¬¥-ì襩 ¥¤¨-¨ ë.

— ®¡ë ¤®ª § ì í ® ¯® ®¨¬ ¥è¥-¨¥ ¢-¥-¨ï ˜ ¥¤¨-£¥ , ª® ® ®¥ «¥¢ ®

® ª¨ b ®® ¢¥ ¢ ¥ ¤¢¨¦¥-¨î ¨ ë «¥¢

- ¯ ¢®. ‘®® ¢¥ ¢ îé ï ¢®«-®¢ ï

-ª ¨ï ¢ ®¡« ¨ b < x ¢-

C

i

x

(x)

=

exp

Zb

p(x)dx i 4

:

h

p

p(x)

•¥ ¥©¤ï ª ¨£®-®¬¥ ¨ ¥ ª®© § ¯¨ ¨, -¥ ¤-® - © ¨ ª¢ §¨ª« ¨ ¥ ª î ¢®«-®¢ î

-ª ¨î ¢ ®¡« ¨ a < x < b:

C

1

b

C

1

b

(x) =

exp

hZx (x)dx

i

exp hZx (x)dx =

2

(x)

p

(x)

Ce p

1

x

Ce

1

x

exp hZa

(x)dx

i

exp

hZ a (x)dx ;

2

p

(x)

(x)

£¤¥

1

bp

=

hZa (x)dx:

‘«¥¢ ® ® ª¨ a ¥è¥-¨¥ ¯ ¨-¨¬ ¥ ¢¨¤

C1

1 x

C2

1 x

(x) =

exp i

hZa

p(x)dx + i

+

exp i

hZa

p(x)dx i

:

p

p(x)

4

p

p(x)

4

«¨èì § ¬¥ ¨¬, ®

Ÿ¢-ë© ¢¨¤ ª®í ¨ ¨¥- ®¢ C1

¨ C2 ¡ ¤¥ ¯ ¨¢¥¤¥- ¯®§¤-¥¥, ¯®ª

D =

jCj2

;

R = jC2j2

:

j

C

1j

2

j

C

1j

2

£¤¥