в виде булевой функции |
32 |
|
|
(прдлж). |
|
Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) |
||
|
|
|
называется конъюнкция элементарных |
|
|
Элементарной дизъюнкцией D называется |
||
логическая сумма конечного числа переменных и их |
||
отрицаний, причем каждая переменная встречается в |
||
сумме один раз. Число переменных, составляющих |
||
элементарную |
юнкцию, называется ее рангом. Так, |
|
выражение |
|
|
является элементарной дизъюнкцией четвертого |
||
ранга. |
|
в КНФ, |
Любую |
|
|
например, |
|
|
Одна и та же логическая функция путем эквивалентных преобразований может быть
представлена различными ДНФ или КНФ.
Физика компьютеров 2011
ЕдинственностьЛпредставления.А.Золоторевич обеспечивают
в виде булевой функции |
33 |
(прдлж). |
|
Совершенной ДНФ (СДНФ) логической функции от n различных переменных называется
ДНФ, которая содержит только конъюнкции ранга n и не содержит одинаковых конъюнкций.
Произвольная логическая функция приводится к СДНФ в следующей последовательности: 1)функция f приводится к какой-либо ДНФ; 2)конъюнкции, не содержащие всех двоичных
переменных, дополняются до конъюнкций n-го ранга; 3)из полученной ДНФ с конъюнкциями n-го ранга удаляются повторяющие юнкции. Пример 1. Привести функцию
к СДНФ.
ранга до конъюнкций закон склеивания:
Физика компьютеров 2011
Просуммируем конъюнкции:Л.А.Золоторевич
в виде булевой функции |
34 |
(прдлж).
2) В виде таблицы:
Если логическая функция задана таблицей, построение СДНФ осуществляется по следующему алгоритму:
1)выбираются наборы аргументов, на которых функция обращается в единицу;
2)выписываются конъюнкции, соответствующие
этим наборам, причем если аргумент хi входит в
набор как единица, то в конъюнкцию он вписывается без изменения. Если же аргумент хi входит в данный
набор как нуль, то в соответствующую конъюнкцию вписывается его отрицание;
3) все выписанныеФизика компьютеровконъюнкции2011соединяют знаком
дизъюнкции. Л.А.Золоторевич
в виде булевой функции |
35 |
(прдлж). |
|
Совершенной КНФ (СКНФ) логической
от n различных переменных называется КНФ, которая содержит только дизъюнкции ранга n и не содержит одинаковых дизъюнкций.
Построение СКНФ по таблично заданной функции
осуществляется в следующей последовательности:
1)выбираются наборы аргументов, на которых функция обращается в нуль;
2)выписываются дизъюнкции, соответствующие этим наборам, причем если аргумент хi входит в набор как нуль, то в дизъюнкцию он вписывается без изменения. Если же аргумент хi входит в данный набор как единица, то в соответствующую дизъюнкцию вписывается его отрицание;
3)все выписанные дизъюнкции соединяют знаком
конъюнкцииФизика. компьютеров 2011
ЭлементарныеЛдизъюнкции.А.Золоторевич СКНФ называют
в виде булевой функции |
36 |
(прдлж). |
|
Пример:
Построить СКНФ для функции f(x1, x2, x3), заданной
Функция f принимает значение нуль три раза, поэтому ее СКНФ представляет собой логическое произведение трех элементарных
Физика компьютеров 2011 Л.А.Золоторевич
|
функций |
37 |
||
Законы булевой алгебры. |
|
|
||
1) |
коммутативность дизъюнкции и конъюнкции |
|||
2) |
x1\/x2 |
= x2\/x1, x1x2 = x2x1; |
||
ассоциативности дизъюнкции и конъюнкции |
||||
3) |
x1\/( x2\/x3) = (x1\/x2)\/x3, |
x1(x2x3) = (x1x2)x3; |
||
дистрибутивности конъюнкции относительно |
||||
|
дизъюнкции и дизъюнкции относительно |
|||
|
конъюнкции |
|
|
|
|
x1(x2\/x3) = x1x2\/x1x3, |
|
x1\/ x2x3 = (x1\/x2) |
|
4) |
( x1\/x3); |
юнкции и конъюнкции |
||
идемпотентности |
||||
|
x |
xx = x; |
||
5)де Моргана
6)двойного отрицания
7)склеивания
8) поглощения x1\/ x1x2 = x1, |
x1(x1\/x2) = x1; |
Физика компьютеров |
2011 |
Л.А.Золоторевич |
|
Минимизация булевых функций 38
Законы булевой алгебры.
Из последнего закона вытекают следующие правила:
Правило 1. Если логическая сумма двоичных переменных содержит хотя бы одну пару слагаемых, из которых одно есть некоторая переменная, отрицание, то она является
Правило 2. Если логическое произведение двоичных переменных содержит хотя бы одну
пару сомножителей, |
один есть |
некоторая |
– ее |
отрицание, то оно является тождественно
ложным Физика компьютеров 2011
Л.А.Золоторевич
функций 39
Законы булевой алгебры.
Запишем ряд тождеств, часто используемых для упрощения сложных логических функций:
Последнее соотношение показывает возможность дополнения исходной формулы фиктивными членами, совокупность которых является тождественно ложной.
Следует отметить, что законы де Моргана справедливы для л
Физика компьютеров 2011 Л.А.Золоторевич
функций 40
Минимизация логических функций методом
непосредственных преобразований.
Сущность метода непосредственных преобразований заключается с том, что минимизация исходной ФАЛ осуществляется путем применения основных законов и тождеств алгебры логики.
Метод карт Карно.
Логическая функция, записанная в СНДФ, может быть представлена в виде специальных таблиц, известных под названием карт Карно или диаграмм Вейча.
Каждая клетка таблицы соответствует одному из наборов таблицы истинности. Клетки карты обозначаются таким образом, что любой соседней
паре клеток соответствуют склеивающиеся
Физика компьютеров 2011 слагаемые. Л.А.Золоторевич
Минимизация булевых |
41 |
|
|
||
Метод карт Карно (прдлж). |
|
|
Пусть |
|
|
В каждую клетку записывается |
|
|
значение функции единица или |
|
|
на соответствующем этой клетке |
|
|
наборе переменных. Единицы |
|
|
в клетках карты Карно объединя |
|
|
контуром. Любая пара единиц, расположенных в |
|
|
соседних клетках, выражается одной переменной, той, |
|
|
которая присутствует в каждом из наборов, |
|
|
объединенных в группу. Одна и та же клетка может |
|
|
входить в несколько групп. Карта Карно для функции |
|
|
трех переменных содержит восемь клеток (совпадает с |
|
|
числом строк таблицы истинности равным 23). Ее следует |
|
|
рассматривать не как плоскостную, а как свернутую в |
|
|
трубку (в виде |
соединением первого и |
|
последнего столбца. При этом соседними оказываются
Физика компьютеров 2011
клетки на противоположных границах карты.
Л.А.Золоторевич