Лекции Яголы / 1-7

Пусть

D –

оператор,

вообще говоря, нелинейный,

действующий

из банахова

пространства B в себя.

Оператор D

Определение.

называется

сжимающим

(или

сжимающим

отображением),

если

существует

константа

q:

0≤q< 1,

такая,

что

y1 , y2 B

Dy1 − Dy2

≤ q

y1 − y2

.

Очевидно, что сжимающий оператор является непрерывным.

Определение. Элемент

y называется неподвижной

точкой

оператора D,

если

Dy = y .

использовать

полноту

пространства B.

Сначала

докажем

одно

вспомогательное

утверждение. Будем называть рядом следующую бесконечную сумму:

z1 +

z2 + ... +

zn +

... =

∑∞

zn

zn

B,

n = 1,2,... ,

n= 1

а его частичной суммой:

S N = ∑N

zn .

Как

обычно,

определим сходимость

ряда как

n=

1

SN , zn

сходимость последовательности частичных сумм: если

SN →

S ,

B ,

то говорят,

что ряд сходится, а S называется его суммой.

N →

∞

Поскольку

пространство B полное,

то

необходимым

и

достаточным

условием

n+ p

сходимости ряда является критерий Коши:

ε

>

0

N

n ≥

N

p

∑

zk

≤

ε .

k =

n+ 1

Теорема

(признак

Вейерштрасса

сходимости

ряда).

Пусть

zn

≤ an ,

an

≥ 0,

n =

1,2,...

( an - последовательность неотрицательных чисел). Тогда из

сходимости числового ряда ∑∞

an следует сходимость ряда ∑∞ zn .

n= 1

n= 1

Доказательство.

Из неравенства треугольника и условия теоремы следует

n∑+ p zk

≤

n∑+ p

zk

≤ ∑n+ p ak .

k = n+ 1

k = n+ 1

k = n+ 1

Запишем критерий Коши как необходимое условие сходимости числового ряда из

n+

p

ak:

для

ε >

0

N

n ≥

N p

∑

ak

≤ ε

.

Из

этого

неравенства

и неравенства,

k = n+ 1

полученного в начале доказательства теоремы, следует, что,

начиная с этого номера,

n+

p

∑

zk

≤ ε

, т.е. выполняется критерий Коши как достаточное условие сходимости ряда в

k = n+ 1

банаховом пространстве B.

Теорема (о неподвижной точке).

Пусть D –

сжимающий

оператор. Тогда

существует, и притом единственная,

точка y

B такая,

что Dy = y . Эта точка может быть

найдена

методом

последовательных

приближений

(простой

итерации):

yn+ 1 = Dyn , n =

0,1,2,...

, y0

B - произвольная фиксированная точка из B

(начальное

приближение), причем yn →

y : Dy =

y .

Доказательство.

1) Единственность. Пусть существуют

две

неподвижные

точки

y1

и

y2 :

Dy1 = y1 , Dy2 = y2 , y1 ≠ y2 . Тогда 0 <

y1 − y2

=

Dy1 −

Dy2

≤ q

y1 − y2

<

y1 −

y2

,

и мы

приближение

y0

B

и построим последовательность yn+ 1 =

Dyn , n =

0,1,2,...

. Докажем

сходимость последовательности

yn+ 1 .

Вместо изучения сходимости последовательности

мы будем изучать сходимость ряда

yn+ 1 =

( yn+ 1

− yn ) +

( yn

−

yn− 1 ) + ... +

( y1 − y0 ) +

y0 .

$!#!"

общий

член ряда

Тогда:

y

n+ 1

− y

n

=

Dy

n

− Dy

n− 1

≤

q

y

n

−

y

n− 1

≤ ... ≤ qn

y

−

y

0

, 0 ≤ q < 1. Отсюда общий

1

$!#!"

=

const

тем самым,

yn сходится по признаку Вейерштрасса:

yn →

y,

y B .

~

~

Покажем, что

Dy =

y , т.е. y –

неподвижная точка. Пусть это не так: Dy =

y .

y,

y ≠

Тогда 0 <

y −

~

≤

~

yn+ 1

+

yn+ 1 −

y

=

Dy −

Dyn

+

yn+ 1 −

y

≤

q

y − yn

+

yn+ 1 −

y

→

0 ,

из

y

y −

чего следует, что

y −

~

= 0 или y =

~

n→

∞

y

y . Теорема доказана.

Теорема. Пусть D - оператор, отображающий банахово пространство B

в себя, и

существует натуральное число k такое, что D k - сжимающий оператор. Тогда существует

единственная неподвижная точка оператора D (такая, что Dy = y ), причем y может быть

найдено

методом

последовательных

приближений:

для

любого

y0

B

yn+ 1 = D yn ,

n =

0,1,... , yn →

y .

Доказательство. 1) Возьмем любой элемент y0 и получим последовательность:

y0

y1

… yk − 1

yk

yk + 1 … y2k − 1

y2k , …

↑

↑

↑

↑

↑

↑

D y0

D k − 1 y0

D k y0

D k + 1 y0 … D 2k − 1 y0

D 2k y0

Рассмотрим подпоследовательности:

y0 ,

yk ,

y2k ,... →

y (т.к.

D k - сжимающий).

y ,

y

k +

1

,

y

2k +

1

,... →

y

(

y то же, т.к.

D k -сжимающий,

и его неподвижная

1

………

yk − 1,

y2k − 1,

y3k − 1,... →

y .

Вернемся

к

исходной

последовательности:

она

состоит

из

k

подпоследовательностей, каждая

из которых сходится

к

y . Отсюда

легко

следует

(докажите!!!), что и вся последовательность сходится к

y .

Очевидно,

что элемент

y

является неподвижной точкой оператора D k .

D и D k

2)

Докажем,

что

неподвижные точки операторов

совпадают.

Пусть

y = Dy .

Подействуем

слева

и

справа оператором D

(k − 1)

раз:

y = D k y ,

т.е.

неподвижная точка оператора D является неподвижной точкой оператора D k :

y =

D k y .

В силу

того,

что

D k

- сжимающий оператор, а, следовательно,

имеет только

одну

Докажем

обратное

утверждение:

пусть

y = D k y .

Тогда

рассмотрим:

Dy = D(Dk )n y =

Dnk (D y) →

y ,

поскольку

метод

простой

итерации

сходится к

n→ ∞

результате y = D y .

неподвижной точек независимо

от начального приближения.

В