Добавил:

sergun Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Предмет:

Интегральные уравнения и вариационное исчисление

Файл:

Лекции Яголы / 1-5

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.05.2013

Размер:

129.01 Кб

Скачать

☆

§5. Теорема Гильберта-Шмидта.

Будем рассматривать интегральный оператор А, ядро которого K(x,s) удовлетворяет следующим условиям: K(x,s) – симметрическое, непрерывное по

совокупности переменных на [a, b]× [a, b] и 0. В соответствии с результатами предыдущего параграфа этот оператор обладает конечной или бесконечной

последовательностью

характеристических

чисел:

λ 1

≤

λ 2

≤ ... ≤

≤ ... ,

которым

соответствует ортонормированная система собственных функций ϕ 1 , ϕ

2 ,...,ϕ n ,... .

Определение.

Функция

f (x) называется истокопредставимой с помощью ядра

K (x, s) , если существует непрерывная функция g(x)

такая, что:

f (x) =

∫ k(x, s) g(s) ds

или, что тоже самое,

f = Ag (т.е.

f (x)

принадлежит множеству значений оператора А:

f R( A) , где оператор А действует

h[a, b] →

h[a, b] ).

Любой f (x)

h[a, b] можно

формально

сопоставить ряд Фурье по

системе

функций ϕ

k (x) : ∑∞

f k

ϕ k (x)

k = 1

Теорема Гильберта-Шмидта.

Если

функция

f (x)

истокопредставима с

помощью

ядра

K (x, s) ,

то

она

может

быть

разложена

в ряд:

f (x) = ∑∞

f k ϕ k (x),

f k = ( f , ϕ

k ) =

∫ f (s) ϕ k (s) ds ,

причем

этот

ряд

сходится

k = 1

абсолютно и равномерно на [a, b] .

Доказательство. 1) Докажем, что ряд ∑∞	f k ϕ k (x) сходится абсолютно и
k = 1

равномерно на [a, b] . Для доказательства равномерной сходимости будем

рассматривать случай, когда характеристических чисел бесконечно много (в противном случае ряд очевидно сходится).

Заметим, что f k = ( f ,ϕ k ) = ( Ag,ϕ k ) = (g, Aϕ k ) =	(g,	ϕ	k	) =	g k	. Итак, нам надо доказать
		λ
∞			k		λ k
		ϕ	k (x)
равномерную и абсолютную сходимость ряда ∑	g k				.
			λ k
k = 1

Для доказательства используем критерий Коши равномерной сходимости. Для нас представляет интерес сумма:

k = n+ p		k	ϕ k (x)		∑	n+ p		2	n+ p ϕ k2 (x)
∑	g			≤			∑ k			2	,
k = n+ 1			λ k		k = n+ 1k		g		k = n+ 1 λ
										k

где n и p – произвольные натуральные числа.

						∑∞		b
	а) Используем неравенство Бесселя:					∑∞	g k2 ≤	∫ g 2 (s) ds , из которого следует, что
ряд ∑∞						k = 1		a
ряд ∑∞	g k2	сходится (т.к. состоит из неотрицательных чисел и ограничен).
k = 1			ϕ	k (x)	b
					b
	б)	Заметим, что			= ∫ K (x, s) ϕ	k (s) ds , т.к.			ϕ k – собственная	функция,
	б)	Заметим, что		λ k	= ∫ K (x, s) ϕ	k (s) ds , т.к.			ϕ k – собственная	функция,
				λ k	a				фиксировать x
соответствующая характеристическому числу							λ k .	Если	фиксировать x	[a, b], то

k (x)

коэффициент Фурье ядра

K (x, s) ,

и можно написать неравенство Бесселя:

λ k

n+ p ϕ

(x)

∞

(x)

∑

≤

∫

(x, s) ds ≤

(b − a) ( K

= max | K (x, s) | ).

λ k

∑

k = 1

λ k

x,s [ a,b]

k =

n + 1

Из неравенства Бесселя для функции g(x) следует, что ряд ∑∞

g k2 сходится,

т.е.

необходимое

k = 1

выполняется

критерий

Коши

как

условие сходимости

числового ряда:

n+ p

ε > 0

n ≥

∑

g 2

≤

Но

тогда

при тех

же

Ko2 (b −

k = n+ 1

n+ p

ϕ k (x)

ε , N , n, p

∑

g k

≤

т.е.

выполняется

критерий

Коши как достаточное

k =

условие равномерной сходимости ряда с общим членом

g k

ϕ k (x)

. Итак, равномерная и

λ k

абсолютная сходимость ряда Фурье доказана.

Докажем, что ряд Фурье

∑∞

f k ϕ

k (x) сходится к

f (x) . Т.к. ряд состоит из

k = 1

непрерывных функций и сходится равномерно на [a,b], то сумма ряда – непрерывная на

[a,b] функция. Обозначим ω (x) = f (x) −		∑∞		f k ϕ	k (x) . Надо доказать, что ω (x) ≡ 0 .
			k = 1
b	b	b	∞			i (x) dx = fi −∑	∞	b
(ω ,ϕ i ) = ∫ω (x)ϕ i (x) dx =	∫ f (x)ϕ i (x) dx −	∫	∑	fk ϕ	k (x)ϕ	i (x) dx = fi −∑		fk ∫ϕ k (x)ϕ i (x) dx =
a	a	a	k = 1				k = 1	a

= fi − fi = 0 i = 1,2,...

(из равномерной сходимости ряда следует, что можно менять местами интегрирование и суммирование).

Итак, ω (x) ортогональна всем ϕ i (x) . Отсюда следует (см. предыдущий параграф),

чтоω	(x)	принадлежит нуль-пространству оператора А, т.е. Aω = 0 .
		Рассмотрим
∫b ω 2 (x) dx = ∫b [ f (x) − ∑∞				f k ϕ k (x)]ω (x) dx = ∫b	f (x) ω (x) dx = ( f ,ω ) = ( Ag,ω ) = (g, Aω ) = 0 .
a		a	k = 1	a
Т.к.ω	(x)	– непрерывная функция, то ω (x) ≡			0 . Теорема доказана.

В заключение этого параграфа сформулируем без доказательства некоторые обобщения полученных результатов. Можно рассматривать задачу в многомерном

случае. Пусть Ω - замкнутая ограниченная область: Ω Rn , для которой можно определить указанные ниже интегралы. Введем пространство h[Ω ], состоящее из

функций,		непрерывных	на	Ω ,	со	скалярным	произведением:
( y1, y2 ) =	∫b	y1 (x) y2 (x) dx, dx =	dx1 dx2 ...dxn .		Рассмотрим многомерное		интегральное

уравнение Фредгольма 2-го рода:

y(x) = λ ∫ K (x, s) y(s)ds + f (x), x, s Ω ,

Ω

с ядром K (x, s), x, s Ω . Тогда при условии, что ядро непрерывно и симметрично по x, s , все результаты, полученные выше, остаются верными и в многомерном случае.

В курсе методов математической физики рассматриваются ядра K (x, s) =

Φ (x, s)

x − s

где Φ (x, s) непрерывная в Ω по совокупности аргументов и симметрическая функция,

x − s

= rxs -расстояние между точками x и s в пространстве R n .

dim R n ). Для таких ядер

Если α

< n , то ядра K (x, s) называются полярными ( n =

доказывается,

что

интегральный

оператор

h[Ω ] → h[Ω ]

является

вполне непрерывным, т.е. для интегральных операторов с полярными ядрами справедливы теоремы о существовании хотя бы одного собственного значения и теоремы о построении последовательности собственных значений.

Если α	<	n	, то ядра	K (x, s) называются слабополярными.	Для	таких ядер

	2
справедлива еще и теорема Гильберта-Шмидта.
Все результаты могут быть перенесены на случай комплексных						пространств
h[a, b] и h[Ω	] , но вместо требования симметричности ядра, если ядро						является
комплексным,	надо требовать:			K (x, s) = K (s, x) , для любых x, s из	Ω	где	- знак

комплексного сопряжения.

Соседние файлы в папке Лекции Яголы

#
06.05.2013154.59 Кб561-10.pdf
#
06.05.2013152.91 Кб551-11.pdf
#
06.05.2013193.41 Кб601-2.pdf
#
06.05.2013134.39 Кб551-3.pdf
#
06.05.2013176.65 Кб551-4.pdf
#
06.05.2013129.01 Кб541-5.pdf
#
06.05.2013121.46 Кб551-6.pdf
#
06.05.2013115.81 Кб551-7.pdf
#
06.05.2013125.85 Кб581-8.pdf
#
06.05.2013109.17 Кб541-9.pdf
#
06.05.201366.65 Кб582-1.pdf