Добавил:

sergun Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Предмет:

Интегральные уравнения и вариационное исчисление

Файл:

Лекции Яголы / 1-10

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.05.2013

Размер:

154.59 Кб

Скачать

☆

§10. Уравнения с вырожденными ядрами. Теоремы Фредгольма.

Будем рассматривать уравнения Фредгольма 2 рода с вырожденным ядром K (x, s) :

y = λ Ay +	f , K (x, s) = ∑n	a j (x) bj (s) ,	a j (x), b j (s) - непрерывны по своим аргументам
	j= 1
на [a, b] ;	a1 (x),..., an (x) – линейно независимы; b1 (s),..., bn (s) -линейно независимы (это
предположение не ограничивает общность); f (x) - заданная непрерывная функция.
		y(x) = λ ∑n	b
		y(x) = λ ∑n	a j (x) ∫ b j (s) y(s) ds + f (x) или

j= 1 $a !!#!!"

	c j − числа
y(x) = λ ∑n	cj aj (x) + f (x) .
j = 1

Умножим обе части равенства на bi (x) , i = 1,..., n, и проинтегрируем от a до b:

b		b	b
ci = ∫ y(x) bi (x) = λ ∑n		cj ∫ aj (x) bi (x) dx + ∫ f (x) bi (x) dx .
a	j = 1	a	a
		$!!#!!" $!!#!!"

	kij	fi
Получаем систему линейных алгебраических уравнений
ci − λ ∑n	kij c j = fi ,	i = 1,..., n .
j= 1
Докажите, что задача решения системы		линейных алгебраических уравнений

(СЛАУ) и задача решения неоднородного уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденным ядром эквивалентны!!!

Рассмотрим определитель СЛАУ:

	1− λ k11		−	λ k12 ...		−	λ k1n
	1− λ k11		−	λ k12 ...		−	λ k1n
D(λ ) =	−	λ k21	1−	λ k22 ...		−	λ k2n	.
		...		...	...		...
	−	λ kn1	−	λ kn2 ...		1−	λ knn
Определитель D(λ ) не равен нулю тождественно,						т.к.	D(0) = 1. D(λ ) - полином от

λ степени n . Число его корней не превосходит n. Вещественные корни полинома D(λ ) - это характеристические числа интегрального оператора с вырожденным ядром.

Для каждого заданного λ возможны два случая: 1) D(λ ) ≠ 0 ; 2) D(λ ) = 0 . Рассмотрим первый случай: D(λ ) ≠ 0 .

Теорема. Если λ не является характеристическим числом (т.е. D(λ ) ≠ 0 ), то интегральное уравнение Фредгольма 2 рода имеет, и при том единственное, решение для любой непрерывной функции f (x) .

Решение	находится	по формулам	Крамера:		ci =		1		∑n	Dik (λ ) fk , где	Dik (λ ) -
Решение	находится	по формулам	Крамера:		ci =				∑n	Dik (λ ) fk , где	Dik (λ ) -
							D(λ ) k =			1
			∑n	1	∑n					b
алгебраические дополнения: y(x) = f (x) + λ				1		Dik (λ ) ai (x) ∫ f (s) bk (s) ds .
алгебраические дополнения: y(x) = f (x) + λ						Dik (λ ) ai (x) ∫ f (s) bk (s) ds .
			i= 1 D(λ )		k = 1					a
Т.к. в выражении для y(x) суммы конечные, то можно поменять местами операции
									b
суммирования	и	интегрирования:		y(x) =		f (x) +		λ ∫ R(x, s, λ ) f (s) ds ,			где

R(x, s, λ ) =

∑n∑ n Dik (λ ) ai (x) bk (s)

резольвента,

D(λ )

Dik (λ )

называются

D(λ ) i= 1 k= 1

определителями Фредгольма.

Перейдем ко второму случаю: D(λ ) =

0 .

Рассмотрим сначала однородное уравнение:

f = 0 .

Тогда

имеем

однородную

СЛАУ:

ci − λ ∑n

kij cj = 0 i, j =

1, n

j = 1

Т.к. λ

–

характеристическое число,

то однородная система имеет нетривиальное

решение (вообще говоря, может быть несколько линейно независимых решений). Пусть λ соответствует p линейно независимых решений: 1 ≤ p ≤ n (число линейно независимых

решений – это так называемая геометрическая кратность характеристического числа):
p=n-r, r – ранг матрицы I-λ K, K = {kij }, i, j = 1,...n .
Обозначим нетривиальное решение однородной СЛАУ: (c( l ) ,..., c(l )), l =
			1, p
	1	n
Запишем нетривиальное решение однородного уравнения		Фредгольма 2 рода:
ϕ l (x) = ∑n	ci(l ) ai (x) .
i= 1

Т.к. c1( l ) ,..., cn(l ) – линейно независимы при разных l и a1,..., an - линейно независимы, то уравнение Фредгольма 2 рода имеет p линейно независимых решений, а общее

решение однородного уравнения представимо в виде

y(x) =

∑p

α l ϕ l (x) ,

где α

l - любые

вещественные числа.

l = 1

Напомним некоторые сведения из линейной алгебры. Пусть дана СЛАУ:

BX =

F ;

Rn .

X =

% R n ;

F =

B - линейный оператор: R n →

R n ,

ранг B = r(b) равен

размерности

R(B) . Однородное

уравнение: BX = 0 имеет (n −

r) линейно независимых решений.

Рассмотрим теперь СЛАУ B X = G ,

B - транспонированная матрица. В курсе

линейной алгебры было доказано, что ранг B равен рангу B*. Если есть однородное

уравнение с матрицей B ( BX = 0 ) и однородное уравнение с матрицей B

( B

X = 0 ), то

у них одно и то же число линейно независимых решений.

Определение. Сопряженное (союзное) интегральное уравнение – это уравнение с

ядром K (x, s) = K (s, x) .

Наряду с уравнением

y(x) =

λ ∫b K (x, s) y(s) ds +

f (x)

или в операторной форме

y = λ Ay + f мы будем рассматривать союзное с ним интегральное уравнение:

ψ (x) = λ ∫b

K * (x, s)ψ

(s) ds +

g(x)

(в операторной

форме

= λ

A ψ + g ),

g(x) - непрерывная функция.

Решение союзного уравнения имеет вид: ψ (x) =

λ ∫b

∑n

aj (s) bj (x)ψ

(s)ds +

g(x)

или

j = 1

bj (x) ,

(s) a j (s) ds .

Получаем

СЛАУ,

эквивалентную

союзному

ψ (x) = λ ∑

c j

= ∫ψ

j= 1

интегральному уравнению:

−

gi ,

i = 1,..., n, , или

∑

k ji c j

j= 1

(I −

0 , kij =

∫ai (s) bj (s) ds = k ji ,

K * =

{kij }, i,j=1,…,n.

K )C

Мы получили СЛАУ с транспонированной матрицей.

D(λ

) = 0 .

Рассмотрим

однородную

систему.

Определитель

такой

же:

~( l )

~(l )

l =

1,..., p, - линейно независимых решений ровно столько же, сколько и для

(c1

,..., cn

исходной системы, т.е.

p .

Однородному

исходному

уравнению

соответствует

СЛАУ:

(I −

λ K )C = 0 , а однородному союзному уравнению:

(I −

0 .

Мы доказали

K )C =

следующую теорему:

Теорема.

Для

любого

число

линейно независимых

решений

однородного

интегрального уравнения Фредгольма второго рода и союзного с ним однородного уравнения одинаково.

Будем решать неоднородное уравнение в случае D(λ ) = 0 . Возникает вопрос:

когда разрешима неоднородная система линейных алгебраических уравнений, определитель которой равен нулю? Пусть нам дана СЛАУ

		f1				x1
BX = F , B : Rn → Rn ,	F =			,	X =
BX = F , B : Rn → Rn ,	F =	%		,	X =	% .
		f				x
			n			n

Лемма (о разложении пространства Rn). Rn = R(B) Ker B .

Перед тем, как доказывать Лемму, выясним, как решать вопрос о разрешимости уравнения BX = F . Ответ очень простой – разрешимость означает, что F R(B) . Таким образом, чтобы убедиться, что решения есть, надо в соответствии с Леммой доказать, что

F Ker B .

Для

этого достаточно найти базис пространства

Ker B

проверить

ортогональность F базисным векторам

Ker B .

Ker B

Доказательство. Заметим, что R(B) =

Ker B

это замкнутые

R(B)

линейные подпространства Rn

(докажите замкнутость!!!).

1) Докажем, что из

Y R(B)

следует, что

Y Ker B .

Т.к.

R(B) , то

существует

X Rn

такой,

что

Y =

BX .

Тогда

Ker B

(Y ,ψ ) = (BX ,ψ ) =

( X , B ψ

) = 0 , т.е. Y Ker B

2). Докажем, что из ψ R(B) следует, что ψ

Ker B . На

самом деле, ψ R(B)

означает, что

0 = (ψ

, BX ) =

(B ψ , X )

Отсюда

B ψ

= 0 или ψ

Ker B .

Лемма доказана.

Пусть

BX =

F . Как определить, есть ли решения? Надо найти все нетривиальные

линейно независимые решения уравнения B ψ

= 0 . Если F

ортогональна всем этим

решениям, то неоднородная система имеет решения; если

не

ортогональна всем

нетривиальным решениям уравнения B ψ

= 0 , то уравнение BX =

F не имеет решений.

Получаем следующие условие разрешимости СЛАУ для уравнения Фредгольма 2 рода в случае D(λ ) = 0 :

f1	c1
		~ (l )
%		%	l = 1,..., p .
%		%	l = 1,..., p .
		~ (l )
fn		cn

Чтобы СЛАУ для неоднородного уравнения Фредгольма 2 рода с вырожденным ядром была разрешима, необходимо и достаточно, чтобы вектор правой части был ортогонален всем линейно независимым решениям СЛАУ для однородного союзного

n	~	(l )	= 0,	l = 1,..., p	или	b	n	~	(l )	bi (x) dx = 0 ,	ψ l (x) - решения
уравнения, т.е. ∑	fi ci		= 0,	l = 1,..., p	или	∫	f (x) ∑	ci		bi (x) dx = 0 ,	ψ l (x) - решения
i= 1						a	i= 1
						a	$!!#!!"
									ψ l ( x)
однородного союзного уравнения. Т.е. ∫b					f (x)ψ	l (x) dx =		0		l = 1,..., p .
				a

Теорема. Неоднородное уравнение Фредгольма 2 рода с вырожденным ядром разрешимо тогда и только тогда, когда неоднородность f (x) ортогональна всем линейно

независимым решениям однородного союзного уравнения.

Теорема. Неоднородное уравнение Фредгольма 2 рода с вырожденным ядром разрешимо для любой неоднородности f (x) тогда и только тогда, когда однородное

уравнение имеет только тривиальное решение (теорема уже доказана).

Перейдем теперь к общему случаю невырожденного несимметрического ядра. Оказывается, что для каждого фиксированного λ неоднородное уравнение Фредгольма 2- го рода с невырожденным ядром можно заменить эквивалентным интегральным уравнением с вырожденным ядром. Для уравнений же с вырожденными ядрами теория построена выше.

Теорема. Любое

интегральное

уравнение

Фредгольма 2

рода y = λ A y + f с

невырожденным ядром при фиксированном λ

можно заменить

эквивалентным

интегральным уравнением с вырожденным ядром.

Доказательство.

Для

любого

ε >0

ядро

интегрального

уравнения можно

представить в виде суммы

K (x, s) =

Kв (x, s) + Kε (x, s) , где Kв (x, s) =

N∑(ε )ak (x)bk (s) -

k = 1

вырожденное ядро, Kε (x, s) - невырожденное ядро такое, что

max

Kε (x, s)

max

K (x, s) − Kв (x, s)

≤

ε .

x,s [a,b]

Аппроксимировать ядро вырожденным с любой заданной точностью можно хотя бы потому, что в двумерном случае верна теорема Вейерштрасса о равномерной аппроксимации на квадрате [a, b]x[a, b] функции полиномами, зависящими от двух

переменных: PN (x, s) =

∑

ank x n s k .

n+ k ≤ N

n,k =

0, N

Вернемся к интегральному уравнению и запишем его в виде:

y = λ Tε y + λ Sε

y + f ,

Tε - интегральный оператор с вырожденным ядром Kв (x, s) , Sε

- интегральный оператор

с невырожденным ядром

Kε (x, s) . Будем считать, что

фиксировано и перепишем

уравнение в виде: (I −

λ Sε

) y = λ Tε y +

f .

Если по заданному λ

выберем ε

0 так, чтобы

, то λ

будем “малым”

(b −

для оператора S

, и оператор (I − λ S

)

будет обратимым:

(I −

λ S

)− 1 =

I +

λ R ,

где R

интегральный оператор с ядром Rε (x, s, λ

) . Введем новую функцию: (I −

Sε ) y =

Y .

В силу обратимости оператора (I −			λ Sε ) существует взаимно-однозначное соответствие:
y Y . Покажем, что уравнение для Y является уравнением с вырожденным ядром:
			Y = λ Tε (I + λ Rε )Y + f .
	Отсюда	Y = λ (Tε +	λ Tε Rε )Y + f .		Ядро интегрального оператора
Tε + λ Tε Rε	вырождено потому, что ядро оператора Tε				вырождено, и
b N (ε )	ak (x) bk (ξ ) Rε (ξ , s, λ ) dξ =∑		N (ε )	~	~	b
∫ ∑			k= 1	ak (x) bk (s, λ ) , где bk (s, λ ) =		∫ bk (ξ ) Rε (ξ , s, λ ) dξ .
a k = 1						a

Тем самым мы показали, что любому интегральному уравнению с невырожденным ядром эквивалентно интегральное уравнение с вырожденным ядром.

На основании этого можно (но мы не будем это делать) получить результаты, аналогичные полученным выше для уравнений с вырожденными ядрами.

Сформулируем теперь 4 теоремы Фредгольма. Теорема 1. Однородное уравнение

(1)	ϕ (x) − λ	b	K(x, s)ϕ (s) ds = 0
		∫

и союзное с ним однородное уравнение

(2)	ψ	(x) − λ	b	K * (x, s)ψ (s) ds = 0
			∫

(K*(x, s)=K(s, x)) при любом фиксированном λ имеют либо только тривиальные решения, либо одинаковое конечное число линейно независимых решений: ϕ 1 ,...,ϕ n ; ψ 1 ,...,ψ n .

Теорема была доказана для интегральных уравнений с вырожденными ядрами. Теорема тривиальна для уравнений с симметрическими ядрами. В общем случае она доказывается путем сведения интегрального уравнения с невырожденным ядром к интегральному уравнению с вырожденным ядром.

Теорема 2.. Для разрешимости неоднородного уравнения

	ϕ (x) −	λ	b	f (x)
(3)	ϕ (x) −	λ	∫ K(x, s)ϕ (s) ds =	f (x)
			a
необходимо и достаточно, чтобы		f (x) была ортогональна всем линейно независимым
решениям однородного	союзного		уравнения (2)	( f (x) ψ 1 ,ψ 2 ,...,ψ n , если λ -
характеристическое число).

Теорема была доказана для случаев симметрического и вырожденного ядер. В общем случае она доказывается путем сведения интегрального уравнения с невырожденным ядром к интегральному уравнению с вырожденным ядром.

Теорема 3. (Альтернатива Фредгольма).

Либо неоднородное уравнение (3) разрешимо для любой неоднородности f (x)

либо однородное уравнение (1) имеет нетривиальное решение.

Теорема 4. Множество характеристических чисел однородного уравнения (1) не более, чем счетно, с единственной возможной предельной точкой ∞ .

Этот результат справедлив для любого вполне непрерывного оператора. Нами он был получен для вполне непрерывных самосопряженных операторов, и, тем самым, доказан для случая симметрических ядер. Для интегральных операторов с вырожденными ядрами результат тривиален.

Замечание. Все эти теоремы мы доказали для случая, когда		K (x, s) -
непрерывная функция по совокупности	переменных на [a,b]× [a,b] ; f (x) ,	y(x) -
непрерывные на [a,b] функции; K (x, s) ,	f (x) , y(x) - вещественные функции.

Соседние файлы в папке Лекции Яголы

#
06.05.2013113.96 Кб671-1.pdf
#
06.05.2013154.59 Кб561-10.pdf
#
06.05.2013152.91 Кб551-11.pdf
#
06.05.2013193.41 Кб601-2.pdf
#
06.05.2013134.39 Кб551-3.pdf
#
06.05.2013176.65 Кб551-4.pdf
#
06.05.2013129.01 Кб541-5.pdf