Лекции Яголы / 1-2

2. Метрические, нормированные и евклидовы пространства. Элементы

теории линейных операторов.

Множество L называется (вещественным) линейным пространством, если для любых двух его элементов x, y определен элемент x+y L (называемый суммой x и y), и для любого элемента x L и любого (вещественного) числа α определен элемент α x L, причем выполнены следующие условия: 1) для любых элементов x, y L x+y=y+x (коммутативность сложения); 2) для любых элементов x, y, z L (x+y)+z=x+(y+z) (ассоциативность сложения); 3) существует элемент 0 L (называемый нулевым элементом, или нулем пространства L) такой, что для любого элемента x L x+0=x (существование нулевого элемента); 4) для любого элемента x L существует элемент (-x) L (называемый обратным к x) такой, что x+(-x)=0 (существование обратного элемента); 5) для любых элементов x,y L и любого (вещественного) числа α α (x+y)=α x+α y (дистрибутивность умножения суммы элементов на число); 6)

линейное пространство иногда называется векторным. В качестве примера линейного пространства можно привести изучаемое в курсе линейной алгебры конечномерное векторное пространство Rn. Еще один пример – пространство (вещественных) функций, определенных на отрезке [a,b]. Очевидно, что это пространство можно рассматривать как линейное, если определить сумму элементов и умножение на вещественное число обычным образом (как?). Нулевым элементом этого пространства является функция, тождественно равная нулю.

Дадим теперь определение метрического пространства: множество M называется метрическим пространством, если для любых двух его элементов x, y M определено вещественное число ρ (x,y) (называемое метрикой, или расстоянием), причем выполнены следующие условия: 1) для любых элементов x, y M ρ (x,y)≥ 0, и ρ (x,y)=0 тогда и только тогда, когда элементы x и y совпадают

ρ(x,y)≤ ρ (x,z)+ ρ (y,z) (неравенство треугольника).

Вметрическом пространстве можно ввести понятие сходимости

линейным. Дадим далее определение нормированного пространства: линейное пространство N называется нормированным, если для любого элемента x N определено вещественное число ||x|| (называемое нормой), причем выполнены следующие условия: 1) для любого элемента x N ||x||≥ 0, и ||x||=0 тогда и только тогда, когда x=0; 2) для любого элемента x N любого (вещественного) числа α

1

||α x||=|α |||x|| (неотрицательная однородность нормы); 3) для любых элементов x, y N ||x+y||≤ ||x||+||y|| (неравенство треугольника).

Нормированное пространство является метрическим: ρ (x,y)=||x-y||. В нормированном пространстве легко определить понятие сходимости последовательностей. Последовательность элементов x(n) N, n=1, 2, …,

сходится (по норме пространства N) к элементу x(0) N (обозначается x(n)→ x(0) при n→ ), если ||x(n)-x(0)||→ 0 при n→ .Можно дать определение открытого и замкнутого множества (как?). Докажем теперь, что из сходимости по норме следует сходимость норм элементов последовательности к норме предельного элемента. Обратное, очевидно, неверно.

Лемма. Если x(n)→ x(0) при n→ , то ||x(n)||→ ||x(0)||.

Доказательство. Докажем сначала неравенство, тривиально следующее из

конечномерное евклидово пространство Rn (изучавшееся в курсе линейной алгебры) и пространство C[a,b] функций, непрерывных на отрезке [a,b] (опишите подробнее это линейное пространство!). Норма в пространстве C[a,b]

определяется ||y||C[a,b]=max{|y(s)|, s [a,b]}(докажите, что это на самом деле норма!). Сходимость по норме пространства C[a,b] называется равномерной

сходимостью. Свойства равномерно сходящихся последовательностей непрерывных функций изучались в курсе математического анализа. В частности, было доказан критерий Коши равномерной сходимости, а именно, необходимым и достаточным условие равномерной сходимости функциональной последовательности является ее фундаментальность.

Определение. Последовательность x(n), n=1,2,…, элементов нормированного пространства N называется фундаментальной, если для любого

ε> 0 найдется номер K такой, что для любого n≥ K и любого натурального p

||xn+p-xn||≤ε .

Если последовательность сходится, то она фундаментальна (докажите!). Если же любая фундаментальная последовательность сходится, то нормированное пространство называется полным.

Определение. Полное нормированное пространство называется банаховым.

Поскольку в курсе математического анализа было доказано, что критерий Коши является не только необходимым, но и достаточным условием равномерной сходимости, то, тем самым, было доказано, что пространство C[a,b] является банаховым. Очевидно, свойством полноты обладает и пространство Rn(докажите!).

В дальнейшем нам потребуется и пространство функций, непрерывных с производными до p-го порядка включительно на интервале [a,b], сходимость в котором является равномерной со всеми производными до p-го порядка. Такое пространство обозначается C(p)[a,b]. Можно ввести много различных норм в

2

этом пространстве, порождающих указанный выше тип сходимости. Из всех таких (эквивалентных) норм для нас удобнее всего будет следующая:

Докажите, что это на самом деле норма, и пространство C(p)[a,b] является банаховым (!!!).

Определение. Линейное пространство E называется евклидовым, для

любых двух элементов x, y E определено вещественное число (x,y), называемое скалярным произведением, причем выполнены следующие условия: 1) для любых элементов x, y E (x,y)=(y,x) (симметричность); 2) для любых элементов x1,x2, y E (x1+x2,y)=( x1,y)+(x2,y) (аддитивность по первому аргументу); 3) для любых элементов x, y E и любого вещественного числа α (α x,y)= α (x,y) (однородность по первому аргументу) (в силу симметричности скалярное произведение является линейным как первому, так и по второму аргументу); 4) для любого x E (x,x)≥ 0, причем (x,x)=0 тогда и только тогда, когда x=0 (свойство скалярного квадрата).

Скалярное произведение порождает норму: ||x||E={(x,x)}1/2. Проверьте, что

это на самом деле норма! Примером конечномерного линейного пространства является пространство n-мерных векторов Rn, изучавшееся в курсе линейной алгебры. Это пространство состоит из векторов-столбцов, а скалярное произведение в этом пространстве произведение определяется как

(x,y)=x1y1+…+xnyn, где x1,…,xn; y1,…,yn; - компоненты векторов x и y

соответственно. В курсе линейной алгебры было доказано неравенство КошиБуняковского: |(x,y)|≤ ||x||||y||, причем равенство выполняется тогда и только тогда, когда элементы x и y линейно зависимы. Проверьте сами, что неравенство Коши-Буняковского справедливо в любом евклидовом пространстве. Отметим, что пространство Rn является полным.

Еще один пример евклидового, но уже бесконечномерного пространства рассматривался в курсе математического анализа. А именно, рассмотрим снова линейное пространство функций, непрерывных на отрезке [a,b], но введем норму с помощью скалярного произведения: для любых непрерывных на [a,b] функций y1(x), y2(x) положим

b

( y1, y2 ) = ∫ y1(x) y2 (x)dx.

a

Проверьте, что это на самом деле скалярное произведение! Пространство непрерывных функций с нормой, порожденной введенным скалярным произведением, обозначим h[a,b]. Тем самым,

b

|| y ||h[a,b] = {∫ y 2 (x)dx}}1/ 2 .

a

Сходимость по норме h[a,b] называется сходимостью в среднем. В курсе математического анализа было доказано, что из равномерной сходимости следует сходимость в среднем (докажите!). Из сходимости же в среднем не следует не только равномерная, но даже поточечная сходимость (постройте пример!).

Очевидно, что евклидово пространство h[a,b] является бесконечномерным (почему?). К сожалению, это пространство не является полным. На самом деле,

3

легко построить последовательность функций, непрерывных на отрезке [a,b] (например, кусочно-линейных), которая сходится в среднем к разрывной функции: y(x)=0 при a≤ x< (a+b)/2; y(x)=1 при (a+b)/2≤ x≤ b. Такая функциональная последовательность является фундаментальной в h[a,b], но не имеет в h[a,b] предел (почему? Докажите!).

В курсе функционального анализа доказывается, что любое неполное нормированное пространство можно пополнить. Полное бесконечномерное евклидово пространство называется гильбертовым. Если пополнить пространство h[a,b], то мы получим гильбертово пространство L2[a,b]. Однако для того, чтобы описать, из каких элементов состоит это пространство, нужно знать не только интеграл Римана (который изучался в курсе математического анализа), но и интеграл Лебега. При изложении курса интегральных уравнений мы будем рассматривать пространство h[a,b], понимая, что это пространство неполно. Но в этом пространстве легко определить, что такое ортогональность, поскольку в этом пространстве задано скалярное произведение. Если же нам потребуется полнота, то мы будем рассматривать пространство C[a,b]. К сожалению (это доказывается в курсе функционального анализа), в этом пространстве нельзя ввести эквивалентную норму, порожденную скалярным произведением, т.е. превратить это пространство в гильбертово, сохранив в качестве сходимости по норме равномерную сходимость.

Перейдем теперь к определению линейного оператора. Оператор А, действующий из линейного пространства L1 в линейное пространство L2 называется линейным, если для любых элементов y1 и y2 из L1 и любых вещественных чисел α 1 и α 2 выполнено равенство

A(α 1 y1+α 2 y2)= α 1A y1+α 2A y2.

Будем обозначать область определения оператора A как D(A). Для простоты будем считать D(A)= L1. Множество значений оператора A обозначим R(A). В данном случае R(A) L2 - линейное подпространство L2.

Если оператор A взаимно однозначный, то можно ввести обратный оператор A-1 с областью определения D(A-1)=R(A) и множеством значений R(A-1)=D(A)= L1. Для линейного оператора вопрос о существовании обратного решается следующим образом: будем называть нуль-пространством оператора A множество KerA={x L1: Ax=0}. Очевидно, что KerA – линейное подпространство L1, причем 0 KerA. Если KerA≠ {0} (в этом случае говорят, что нуль-пространство нетривиально), то оператор A называется вырожденным. Обратный оператор существует тогда и только тогда, когда оператор A не является вырожденным (докажите!).

В качестве основного примера линейного оператора мы будем рассматривать интегральный оператор Фредгольма

Ay ≡ ∫x K (x, s) y(s)ds; x, s [a,b].

a

Если ядро K(x,s) непрерывно по совокупности аргументов (а это мы будем предполагать в течение всего курса), то в соответствии с теоремой о непрерывной зависимости от параметра собственного интеграла, доказанной в курсе математического анализа, оператор A действует в линейном пространстве функций, непрерывных на отрезке [a,b] и, очевидно, является линейным.

Мы будем рассматривать линейные операторы, действующие в нормированных пространствах. Пусть оператор А отображает нормированное

4

пространство N1 в нормированное пространство N2 (для простоты будем считать, что D(A)=N1).

Определение. Оператор A называется непрерывным в точке y0 D(A), если для любого ε> 0 найдется такое δ> 0, что для всех y D(A) и удовлетворяющих неравенству ||y-y0||≤δ выполняется неравенство ||Ay-Ay0||≤ε .

Как и в курсе математического анализа можно дать эквивалентное определение непрерывности оператора в точке (докажите их эквивалентность!):

Определение. Оператор A называется непрерывным в точке y0 D(A), если для любой последовательности yn, n=1, 2, …, yn D(A), yn→ y0, последовательность Ayn сходится к Ay0.

Оператор A называется непрерывным на D(A) (на N1), если он непрерывен в каждой точке.

Оказывается, что линейный оператор непрерывен тогда и только тогда, когда он непрерывен в нуле! На самом деле, если yn→ y0, то yn - y0→ 0, а из линейности оператора вытекает, что Ayn→ Ay0 тогда и только тогда, когда A(yn - y0)→ 0 (завершите доказательство!).

Определение. Нормой оператора А называется

Если это не будет вызывать разночтений, то для сокращения записи будем

непрерывно дифференцируемых функций из C[0,1] . Покажем, что А - неограниченный линейный оператор. Возьмем последовательность функций

линейный ограниченный оператор, действующий из нормированного пространства N1 в нормированное пространство N 2 .

утверждение теоремы.

Теорема. Линейный оператор А: N1 → N 2 , является непрерывным тогда

и только тогда, когда он ограничен.

Доказательство. Поскольку оператор A линейный мы будем исследовать непрерывность только в точке 0.

5

1) Докажем, что из ограниченности следует непрерывность. Возьмем последовательность yn→ 0 при n→∞ .Тогда ||Ayn||≤ ||A||||yn||→ 0 , а следовательно, оператор А непрерывный.

2) Докажем, что из непрерывности следует ограниченность. Предположим, что оператор A неограниченный. Тогда существует последовательность yn, n=1, 2, …; такая, что ||yn||=1, ||Ayn||≥ n. Но при n→∞ ||Ayn/n||≥ 1, а yn/n→ 0, что противоречит непрерывности оператора A.

Покажем теперь, что интегральный оператор Ay ≡ ∫b K (x, s) y(s) ds , x [a, b] ,

По неравенству Коши-Буняковского для каждого фиксированного x [a,b]:

неравенства не зависит от у, то:

A ≤ ∫b ∫b K 2 (x, s) dx ds < + ,

a a

что и требовалось доказать.

Докажите, что оператор интегральный оператор Фредгольма А является ограниченным при действии из C[a,b] в C[a,b], из h[a,b] в C[a,b] и из C[a,b] в h[a,b] и найдите оценки сверху для нормы оператора!

В дальнейшем нам потребуется следующая тривиальная

Лемма. Пусть линейный ограниченный оператор A действует из нормированного пространства N1 нормированное пространство N2, линейный ограниченный оператор B действует из нормированного пространства N2 нормированное пространство N3. Тогда ||BA||≤||A||||B||.

Доказательство. Для любого элемента y из N1 (||y||=1) имеет место:

||BAy||≤||B||||Ay||≤||B||||A||||y||=||B||||A||. Отсюда и из определения нормы линейного оператора следует утверждение Леммы.

Дадим теперь определение вполне непрерывности линейного оператора,

существует константа C такая, что ||yn||≤ C для всех n=1,2,… .

Определение. Линейный оператор А называется вполне непрерывным, если для любой ограниченной последовательности элементов yn из

N1 последовательность zn=Ayn такова, что из любой ее подпоследовательности

можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Последовательность, обладающая тем свойством, что из любой ее подпоследовательности можно выделить сходящуюся, называется компактной. Таким образом, вполне непрерывный оператор преобразует любую ограниченную последовательность в компактную.

6

Теорема. Вполне непрерывный оператор является ограниченным (а, следовательно, непрерывным).

Доказательство. Предположим, что вполне непрерывный оператор A не является ограниченным. Тогда найдется последовательность yn, n=1,2,…, yn N1, ||yn||=1, такая, что ||Ayn||≥ n. Но тогда из последовательности zn=Ayn нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность, что противоречит тому, что A – вполне непрерывный оператор.

(Докажите сами, что если последовательность элементов нормированного пространства сходится, то она ограниченна).

Определение. Множество D N2 называется компактом, если D - замкнутое ограниченное множество, и из любой последовательности элементов zn D можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторому элементу из D.

Замечание. В R1 критерий компактности последовательности определяется теоремой Больцано-Вейерштрасса: из любой ограниченной последовательности вещественных чисел можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Аналогичное утверждение (какое?) имеет место и в Rn. Для ∞ -мерных пространств это не так.

Пример 1. Приведем пример некомпактной последовательности вещественных чисел: 1, 2, 3, … . Очевидно, что из этой последовательности нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность. Рассмотрим теперь следующую последовательность: 1, 1, 2, 1, 3, 1, … . Эта последовательность также некомпактна – из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность, но нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность из любой ее подпоследовательности.

Пример. Рассмотрим пространство h[a,b]. В курсе математического анализа доказывалось существование в h[a,b] ортонормированной системы, состоящей из бесконечного числа элементов (например, с помощью тригонометрической системы функций):

Покажем, что из последовательности членов ортонормированной системы (эта последовательность, очевидно, является ограниченной) нельзя выделить

никакая подпоследовательность этой последовательности не может быть фундаментальной, а, следовательно, сходящейся. Рассмотрим теперь последовательность: e1, c, e2, c, e3, c, … (c – фиксированный вектор из h[a,b]). Эта последовательность также некомпактна – из нее можно выделить

любого y. Он, очевидно, является ограниченным, но не является вполне непрерывным. Для доказательства этого утверждения достаточно рассмотреть последовательность членов ортонормированной системы из предыдущего примера и заметить, что Aen=en.

7

последовательности элементов пространства C[a,b] определяется теоремой Арцела, доказанной в курсе математического анализа.

Теорема Арцела. Если последовательность элементов C[a,b] равномерно ограничена и равностепенно непрерывна, то из нее можно выделить равномерно сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство данной теоремы основывается на проверке условий

последовательность zn(x) равномерно ограниченна и равностепенно непрерывна. 1) Докажем сначала равномерную ограниченность. Обозначим

K0=sup{|K(x,s)|: x,s [a,b]}. Поскольку функция K(x,s) непрерывна по совокупности аргументов x, s на замкнутом ограниченном множестве (квадрате)

[a,b]x[a,b], то K0< +∞ . (Более того, K0=max{|K(x,s)|: x,s [a,b]}). Тогда

для всех x [a, b] и всех n=1,2,… , а это и есть равномерная ограниченность.

2) Докажем теперь равностепенную непрерывность последовательности zn(x). Возьмем произвольные точки x1 , x2 [a, b] . Имеем

Фиксируем произвольное ε> 0. Функция K(x,s) непрерывна по совокупности аргументов x, s на замкнутом ограниченном множестве [a,b]x[a,b], а,

интервале [a,b], равномерно ограниченна и равностепенно непрерывна. Из теоремы Арцела следует, что из последовательности zn (x) можно выделить

равномерно сходящуюся подпоследовательность, а, как было доказано в курсе математического анализа, равномерно сходящаяся последовательность непрерывных функций сходится к непрерывной функции. Очевидно, что этим

8

же свойством обладает и любая подпоследовательность последовательности zn (x) . Следовательно, оператор А является вполне непрерывным при действии

h[a,b] → C[a,b] . Но, т.к. из равномерной сходимости следует сходимость в

среднем, то та же самая подпоследовательность непрерывных функций, которая сходится равномерно к некоторой непрерывной функции, сходится и в среднем к той же функции. Тем самым, оператор А является вполне непрерывным и из h[a,b] в h[a,b]. Теорема доказана.

Нам потребуется понятие самосопряженного (или симметрического)

A 2 ≤ A A . Из этих двух неравенств получаем, что A = A .

Определение. Если A = A , то оператор А называется самосопряженным. Рассмотрим оператор Фредгольма, действующий из E=h[a,b] в E=h[a,b]:

b

Ay ≡ ∫ K (x, s) y(s) ds . Тогда для любых y1, y2 E

Итак, A -оператор, сопряженный к оператору Фредгольма с ядром K(x,s) ,

называется симметрическим. В этом случае интегральный оператор является самосопряженным (при действии из E в E).

9