Лекции Яголы / 1-8

K (x, s) непрерывно по

a

совокупности

переменных

x, s ,

но

не

предполагается

симметрическим.

b

Определим оператор D : Dy = λ

Ay +

f =

λ ∫ K (x, s) y(s) ds +

f (x) ,

f (x) - заданная

непрерывная функция.

a

Интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода

можно записать в операторном

виде: y(x) = λ

Ay +

f

или

y = Dy .

Чтобы применить теорему о неподвижной точке, доказанную в предыдущем

параграфе, оператор

D нельзя рассматривать в пространстве h[a, b] , т.к. это – неполное

пространство. Будем рассматривать оператор

D :

C[a, b] →

C[a, b] ( C[a, b]-банахово, т.е.

полное нормированное пространство). Очевидно, что D является непрерывным, вообще

говоря, нелинейным оператором, а решение интегрального уравнения является его

неподвижной точкой. Обозначим: max

K (x, s)

=

M .

x,s [a,b]

Найдем достаточные

условия,

при которых оператор D является сжимающим.

Возьмем произвольные y1, y2

C[a, b]

и определим

z1 = λ Ay1 + f = D y1;

z2 = λ Ay2 + f = D y2 .

Оценим модуль разности

b

K (x, s)( y (s) − y

(s)) ds

(b −

a) =

z (x) −

z

(x)

=

λ

∫

≤

λ

M

max

y (s) −

y

(s)

λ

M (b −

a)

y

− y

.

1

2

1

2

1

2

1

2

C[a,b]

a

s [a,b]

Отсюда

z1 −

z2

C[a,b]

=

D y1 −

D y2

C[a,b] ≤

λ

M (b −

a)

y1 −

y2

C[a,b] .

Обозначим

q =

λ

M (b −

a) и потребуем, чтобы выполнялось условие q< 1. В этом случае оператор D,

действующий в банаховом пространстве C[a,b], является сжимающим, а, следовательно,

имеет место доказанная в предыдущем параграфе теорема о неподвижной точке.

Теорема. Если

λ

<

1

(такие λ

будем называть «малыми»), то неоднородное

M (b −

a)

уравнение Фредгольма 2 рода имеет, и притом единственное, решение для любой

непрерывной функции

f (x)

C[a, b] , причем это решение может быть найдено методом

последовательных приближений.

Следствие 1. Если

λ

<

1

, то однородное уравнение имеет только тривиальное

M (b −

a)

решение.

1

Следствие 2. На интервале

0 <

λ

<

нет

характеристических

чисел

M (b −

a)

интегрального оператора

A .

(Если у оператора

A есть характеристические числа,

то

λ min

≥

1

).

M (b −

a)

Рассмотрим метод последовательных приближений в данном случае.

yn+ 1 =

λ Ayn +

f

n =

0,1,2,...

y0

≡ 0 . Тогда:

b

+ λ ∫b K (x, s) f (s)ds + f (x) ,

K2 (x, s) - повторное (итерированное) ядро.

a

Продолжая,

получим:

yn+ 1 = f +

λ A f +

λ 2 A2 f +

... + λ n− 1 An− 1 f + λ n An f . An –

интегральный

оператор

с

повторным

ядром

Kn (x, s) =

∫b K (x,ξ ) Kn− 1 (ξ , s) dξ , n=2,3,…;

a

решением

интегрального

уравнения.

y

представляется

рядом

Неймана:

y = f + λ A f +

λ 2 A2 f + ... +

λ

n An f + ... .

Полученный

результат можно

представить в

операторной форме. При

«малых» λ

решение интегрального уравнения существует и

единственно.

Если мы перепишем уравнение

y =

λ

Ay + f в виде

(I − λ

A) y =

f , то из

пространстве C[a, b]:

y = (I − λ A)− 1 f . Покажем, что это выражение можно записать как

y = f + λ Rλ

f ,

где

Rλ

-интегральный оператор с непрерывным по x,s

ядром

R(x, s, λ )

(резольвентой):

y =

f + λ ∫b

R(x, s, λ

) f (s) ds , или (I − λ A)− 1 = I +

λ Rλ .

a

Докажем,

что ряд

K1 (x, s) + λ

K2 (x, s) + ... +

λ n− 1 Kn (x, s) +…

сходится

равномерно по

$!#!"

x, s [a, b] .

= K ( x,s)

1)

K1 (x, s)

=

K (x, s)

≤ M ;

2)

K2 (x, s)

≤ ∫b

K (x,ξ )

K (ξ , s)

dξ ≤ M 2 (b − a) ;

…;

a

n)

Kn (x, s)

≤ M n (b − a)n− 1 ;

….

(

− a))n− 1 M ,

Отсюда

λ n− 1 Kn (x, s)

≤

λ

M (b

0 ≤ q =

λ

M (b −

a) < 1.

По

признаку

$

!!#!!"

qn− 1

геометрической прогрессии:

K (x, s) + λ K2 (x, s) + ... = R(x, s,λ ) .

В

силу

равномерной

сходимости резольвента R(x, s,λ ) непрерывна по совокупности

переменных

(x, s) .

Суммируя геометрическую прогрессию, получаем оценку сверху:

R

≤

M

.

В

1−

λ

(b − a)