Добавил:

sergun Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Предмет:

Интегральные уравнения и вариационное исчисление

Файл:

Лекции Яголы / 1-4

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.05.2013

Размер:

176.65 Кб

Скачать

☆

§4. Построение последовательности собственных значений и собственных векторов вполне непрерывного самосопряженного оператора.

Пусть

вполне

непрерывный

самосопряженный

оператор

A действует

бесконечномерном

евклидовом

пространстве

h[a,b].

предыдущем

параграфе

мы

доказали, что такой оператор обладает собственным значением Λ

Az =

z ,

Очевидно,

что это

собственное значение является максимальным по модулю. На

- другое собственное значение:

самом деле, пусть Λ

z . Будем считать, что

≤

. Тем самым,

любое

(иначе просто пронормируем z ). Тогда

другое собственное значение, если оно есть, по модулю не превосходит

Рассмотрим процедуру построения последовательностей собственных значений

и собственных векторов вполне непрерывного оператора A :

В предыдущем параграфе мы доказали существование

собственного значения

Λ 1

Сопоставим

Λ 1

собственный вектор

1 .

Будем считать

Обозначим

H1 = h[a,b]

все

бесконечномерное евклидово

пространство.

Пусть

оператор A≠ 0.

( y,ϕ 1 ) =

y H1

Рассмотрим множество H 2

векторов y:

0 ,

( H 2 -ортогональное

дополнение к ϕ

1 ). Отметим его следующие свойства:

а)

H 2

- линейное пространство.

На самом деле,

для любых вещественных чисел

α 1 и α 2 и любых y1 и y2 таких, что ( y1,ϕ 1) =

( y2 ,ϕ 1) =

(α 1 y1 +

α 2 y2 ,ϕ

1) =

0 .

б) H 2

- замкнуто (если последовательность

→

и ( yn , ϕ

1) = 0 , то

( y,ϕ

1 ) =

0 ,

из того, что yn

H2 следует, что y H2.

n→ ∞

т.е.

Доказательство. Применяя неравенство Коши-Буняковского, получаем

( yn ,ϕ 1 ) − ( y,ϕ 1 )

( yn − y,ϕ 1 )

≤

− y

( yn ,ϕ 1 ) − ( y,ϕ 1 )

→

0 .

т.к.

$!#!"

→

( yn , ϕ 1) = 0 , то и ( y,ϕ 1 ) = 0 .

в)

H 2

- инвариантное подпространство относительно оператора A , т.е.

AH 2

H 2

(из того, что y

следует, что

z = Ay

H 2 ).

Доказательство. (z,ϕ 1 ) = (Ay,ϕ 1 ) = ( y, Aϕ 1 ) = ( y, Λ 1ϕ 1 ) = Λ 1 ( y,ϕ 1 ) = 0 .

Далее будем рассматривать оператор

A :

H 2

→

H 2 .

Очевидно,

что

A -

вполне

непрерывный и самосопряженный;

H 2 →

H 2 ≤

H1 → H1

A , действующий

H 2

→

H 2 ,

Тогда по теореме предыдущего параграфа оператор

обладающий собственным значением Λ

2 :

H2 →

sup

= 1

( y

,ϕ 1 )= 0

Собственному значению

Λ 2 соответствует собственный вектор

2 .

Будем

считать

Если

Λ 2 =0,

то

процесс

построения

собственных

значений

заканчивается. В противном случае введем далее множество H 3 , состоящее из векторов

y таких, что ( y,ϕ 1 ) =

0 , ( y,ϕ

2 ) =

0 . Повторяя рассуждения, приведенные выше, можно

доказать,

что

оператор A ,

отображающий

H 3 →

H 3 ,

вполне

непрерывный

самосопряженный, и по теореме предыдущего параграфа имеет собственное значение

такое, что

Λ 3

H3 →

sup

которому сопоставим

собственный вектор

= 1

( y

,ϕ

1 )= 0

( y,ϕ

2 )= 0

ϕ 3 . Будем считать

ϕ 3

1. Если Λ 3 =0, то процесс заканчивается. В противном случае

введем пространство H4 и т.д.

Λ 3

≤

Λ 2

≤

Замечание. Очевидно, что

Возможны два случая:

n = 1,2,...

H n →

H n

≠

0 . Тогда мы получаем бесконечные последовательности

Λ n и ϕ

n .

2) Для некоторого n

H n+ 1

≠ 0

→ H

= 0 ,

т.е. для некоторого n сужение

A на пространство

n + 1

Λ n+ 1

= 0 и

оператора

Hn+1

станет

нулевым оператором. Тогда

процесс построения прекращается.

Замечание.

Для

оператора

Фредгольма

важна

последовательность

характеристических чисел:

λ 1

≤

λ 2

≤ ... . Тогда следует рассматривать следующие два

варианта:

1)бесконечное число λ n ;

2)конечное число λ n .

Теорема. Собственные векторы самосопряженного оператора

A , соответствующие

различным собственным значениям, ортогональны.

Доказательство.

Пусть

Aϕ 1

= Λ

1ϕ 1 ,

Aϕ 2 = Λ 2ϕ

2 ,

1 ≠

Λ 2 ,

ϕ 1 и

ϕ 2 –

соответствующие собственные векторы. Тогда

0 = (Aϕ

1 ,ϕ

2 ) − ( Aϕ

2 ,ϕ 1 ) =

(Λ 1

−

2 )(ϕ

1 ,ϕ 2 ) ,

из чего следует

(ϕ

1 ,ϕ

2 ) = 0 .

$!#!"

≠ 0

Теорема. Число собственных значений вполне непрерывного самосопряженного оператора A , удовлетворяющих условию: Λ ≥ δ > 0 , конечно.

Доказательство. Предположим, что собственных значений бесконечно много. Выберем последовательность (различных) собственного значения Λ 1,Λ 2 ,...,Λ n ,... и для

каждого

собственного

значения выберем собственные

вектора

1 ,ϕ

2 ,...,ϕ n ,....

(

ϕ n

= 1

n =

1,2,...),

по

предыдущей

лемме

они образуют

ортонормированную

систему.

Оператор A -

вполне непрерывный. Следовательно,

из

последовательности

Aϕ n = Λ

nϕ n можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Покажем,

что это не

так. Возьмем произвольные натуральные числа i и j, i≠ j. Тогда

Aϕ i − Aϕ j

2 =

Λ iϕ i − Λ jϕ j

2 = (Λ iϕ i − Λ jϕ j ,Λ iϕ i − Λ j ϕ j ) = Λ 2i + Λ 2j ≥ 2δ 2 > 0 ,

т.е. никакая подпоследовательность последовательности

Aϕ n =

Λ nϕ

не

является

фундаментальной,

а,

следовательно,

никакая

подпоследовательность не может

сходиться.

Определение.

Число

линейно

независимых

собственных

векторов,

соответствующих собственному значению, называется кратностью собственного значения.

Теорема. Ненулевому собственному значению вполне непрерывного оператора A может соответствовать только конечное число линейно независимых собственных векторов.

Доказательство. Пусть Λ ≠ 0 , и Λ соответствует бесконечно много линейно независимых собственных векторов ϕ 1 ,ϕ 2 ,...,ϕ n ,.... Применив процедуру ГрамаШмидта, хорошо известную из курса линейной алгебры (на всякий случай, ниже мы опишем эту процедуру), мы можем преобразовать ϕ 1 ,ϕ 2 ,...,ϕ n ,... в ортонормированную систему. А тогда доказательство этой теоремы дословно повторяет доказательство

предыдущей теоремы, если мы обозначим

δ >

0 .

А именно, поскольку

= 1,

(ϕ i ,ϕ j ) = 0, i ≠ j , а Aϕ n = Λ ϕ n , из

последовательности

Aϕ

нельзя

выбрать

сходящуюся подпоследовательность, поскольку

Aϕ

i −

Aϕ j

2 =

2 >

0 при i≠

j. Этот

результат противоречит тому, что оператор A является вполне непрерывным. Замечание. Нулевому собственному значению может соответствовать

бесконечное число линейно независимых собственных векторов.

Если существует последовательность линейно независимых собственных векторов ϕ 1 ,ϕ 2 ,...,ϕ n ,..., то, используя процедуру Грама-Шмидта, ее можно преобразовать в ортонормированную систему. Напомним формулы процедуры Грама-

Шмидта. По заданной последовательности векторов

ϕ 1,ϕ 2 ,...,ϕ n ,.. строятся

последовательности ψ 1,ψ 2 ,...,ψ n ,... и e1, e2 ,...en ,... по формулам: на первом шаге -

= ϕ

e =

;

на n-ом шаге -

ψ n

ψ n = ϕ n − ∑n− 1 (ϕ n , ek ) ek ,

en =

ψ n

k = 1

Теперь мы можем формулировать основной результат о построении последовательности собственных значений, упорядоченных в порядке невозрастания

модуля: Λ 1 ≥ Λ 2 ≥ ... ≥ Λ n ≥ ... . Каждое собственное значение повторяется в этой

последовательности столько раз, какова его кратность (Почему? Докажите!). Каждому собственному значению соответствует собственный вектор, причем можно выбрать собственные векторы так, что они образуют ортонормированную систему. На самом деле, собственные векторы, соответствующие разным собственным значениям ортогональны, а собственные векторы, соответствующие одному и тому же собственному значению, можно ортогонализовать, используя процедуру Грама-Шмидта.

При этом, если ненулевых собственных значений бесконечно много, то	Λ n	→	0 .
	Λ n	→	0 .
		n→	∞

Последовательность Λ n является монотонно невозрастающей и ограниченной снизу

(нулем). Поэтому эта последовательность имеет предел. Если этот предел больше нуля, то мы получаем противоречие с доказанным выше утверждением о том, что число собственных значений, модули которых превышают любое фиксированное положительное число, конечно.

Подытожим результаты, полученные выше в данном параграфе, в следующей теореме.

Теорема. Пусть оператор А: действует из h[a,b] в h[a,b] и является вполне непрерывным и самосопряженным. Тогда следующий процесс построения последовательности собственных значений и собственных векторов оператора А:

1). H1 = h[a, b] , Λ 1 = A H1 → H1 ;

ϕ ↑ 1

2). H 2 = {y h[a, b] : ( y,ϕ 1 ) = 0} , Λ 2 = A H 2 → H 2 ;

…

ϕ ↑

n). H n

h[a, b] : ( y,ϕ

1 ) =

0,..., ( y,ϕ n− 1 ) = 0},

Λ n

H n → H n ,

ϕ ↑ n

где можно считать, что ϕ

1 ,ϕ

2 ,...,ϕ

n ,... образуют ортонормированную систему (критерий

остановки процесса

H n → H n =

0 ) приводит к двум возможным результатам:

Λ 1

≥

... ≥

≥

n+ 1

0 - конечная последовательность собственных значений.

Λ 1

≥

... ≥

≥

... - бесконечная последовательность собственных значений.

При этом, в последовательности собственных значений каждое собственное значение будет повторяться столько раз, какова его кратность. Процесс приводит к нахождению

всех собственных значений, кроме, быть может,

в случае 2) нулевого собственного

значения.

Следствия. 1) Для характеристических чисел вполне непрерывного

самосопряженного оператора:

а).

λ 1

≤

λ 2

≤

... ≤

λ n

(конечная последовательность

характеристических чисел);

б).

λ 1

≤

≤ ... ≤

λ n

≤

...

(бесконечная последовательность

характеристических чисел).

В этом случае lim

= ∞

. Каждому характеристическому

n←

∞

числу λ n можно сопоставить собственный вектор ϕ n , причем векторы {ϕ n} образуют ортонормированную систему.

2) Все полученные результаты верны для интегрального оператора с непрерывным, симметрическим и неравным тождественно нулю ядром. В этом случае вместо слов собственные векторы говорят собственные функции интегрального оператора или собственные функции ядра K (x, s) .

Рассмотрим множество векторов y h[a,b] таких, что Ay = 0 . Множество таких векторов образует замкнутое линейное пространство в h[a,b](доказать самостоятельно). Это множество называется (см. 2) нуль-пространством оператора A и обозначается: Ker A = {y : Ay = 0} . Очевидно, что нуль-пространство нетривиально (т.е.

содержит ненулевые элементы) тогда и только тогда, когда оператор A имеет нулевое собственное значение.

Определение. Если нуль-пространство оператора A нетривиально, то оператор называется вырожденным.

Определение. Ядро интегрального оператора K(x,s) называется замкнутым, если интегральный оператор является невырожденным.

Пусть А - вполне непрерывный самосопряженный оператор со следующей последовательностью характеристических чисел (неважно, конечной или бесконечной) :

λ 1 ≤ λ 2 ≤ ... ≤ λ n ≤ ... , которым соответствует ортонормированная последовательность собственных векторов ϕ 1 ,ϕ 2 ,...,ϕ n ,... .

Теорема. Вектор y принадлежит нуль-пространству оператора А ( y Ker A ) тогда и только тогда, когда ( y,ϕ k ) = 0 k = 1,2,... (ϕ k - конечная или бесконечная

последовательность).

Доказательство. 1) Необходимость. Нуль-пространство оператора A – это множество векторов, соответствующих нулевому собственному значению: Ay = 0 y .

Пустьϕ 1 ,ϕ 2 ,...,ϕ n ,...-последовательность

векторов,

соответствующих

характеристическим числам (ненулевым собственным значениям). Мы доказали ранее, что векторы, соответствующие различным собственным значениям самосопряженного

оператора А, являются ортогональными, поэтому ( y,ϕ

k ) = 0

k =

1,2,...

2) Достаточность. Рассмотрим множество P

h[a, b] , состоящее из векторов

таких, что ( y,ϕ

k ) =

0 k =

1,2,... Очевидно (докажите!), что Р - линейное пространство.

Р - замкнутое линейное подпространство,

т.к. для любой последовательности yn

P ,

n=1, 2, …,

( yn ,ϕ

k ) =

0, k = 1,2,...

yn → y0 ,

получаем в силу

непрерывности

скалярного произведения ( y0 ,ϕ

k ) = 0,

k =

1,2,... , т.е. y0 – элемент Р.

Р – инвариантное подпространство оператора А. Пусть

P ,

k = 1,2,... Тогда

(Ay,ϕ k ) = ( y, Aϕ k ) =

( y,

) =

( y,ϕ

k ) = 0 . Таким образом, из

следует Ay

P ,

т.е. Р - инвариантное подпространство.

Докажем теперь, что Р – нуль-пространство оператора А:

АР=0. Допустим, что

это не так. Тогда существует вектор

= 1. Следовательно,

P такой, что Ay ≠

P → P = sup

0 .

По доказанному в предыдущем параграфе оператор А

y P

y = 1

имеет ненулевое собственное значение, а, следовательно, и характеристическое число

λ~ > 0 , которому соответствует собственный вектор, который не входит в последовательность ϕ n (иначе этот вектор был бы ортогонален сам себе). Мы приходим

к противоречию с тем, что в последовательности характеристических чисел перечислены все характеристические числа с учетом кратности. Теорема доказана.

Рассмотрим теперь следующий процесс построения для интегрального оператора А с симметрическим ядром K(x,s): пусть характеристические числа упорядочены в порядке неубывания модуля

λ 1

≤

λ 2

≤

... ≤

≤ ...

и им соответствует ортонормированная система ϕ

1 ,ϕ 2 ,...,ϕ

n ,...

1) Обозначим K (1) (x, s) = K (x, s) .

2) Определим K

(2)

(x, s) =

K (x, s) −

1 (x)ϕ

1 (s)

(2)

λ 1

и пусть интегральный оператор A имеет

ядро K(2)(x,s).

Все функции ϕ

2 ,...,ϕ

n ,... остаются собственными функциями и оператора

A(2) , соответствующими тем же характеристическим числам

λ 2

≤

... ≤

λ n

≤ ..., поскольку

∫b K (2) (x, s)ϕ

k (s) ds = ∫b K (x, s)ϕ

k (s) ds −

∫b ϕ

1 (x)ϕ 1 (s) ϕ k (s) ds

k (x) −

ϕ k (x)

k = 2,3,...

λ 1

Функция ϕ

остается

собственной

функцией оператора A(2), но

соответствующей

нулевому

собственному

значению

ядра

K (2) (x, s) . Поэтому λ

отсутствует

последовательности характеристических чисел. Докажите, что оператор A(2) не имеет

других характеристических чисел, отличных от указанных!

…

ϕ i (x)ϕ i (s)

n+1) K (n+ 1) (x, s) = K (x, s) − ∑n

i= 1

λ i

оператор A(n+1) с ядром K (n+ 1) (x, s) имеет те же характеристические числа и те же собственные функции, что и оператор A, кроме первых n характеристических чисел.

Если характеристических чисел бесконечное число, то мы получаем ряд (мы не будем исследовать его сходимость).

Если			характеристических чисел конечное число, то: K (n+ 1) (x, s) ≡ 0
K (x, s) = ∑	n	ϕ	i (x)ϕ i (s)		. Ядро интегрального уравнения получается вырожденным.
			λ
i= 1				i
Определение. Ядро K(x,s) называется вырожденным, если оно представимо в
виде K (x, s) =			∑n	a j (x) bj (s) на [a, b] , где функции a j (x), b j (s) - непрерывны по своим
			j= 1

аргументам на интервале [a, b] .

Можно считать,	что	a1 (x),..., an (x) – линейно независимы,	и b1 (s),..., bn (s) -
линейно независимы.	Если	это не так, число членов в сумме	можно уменьшить
(докажите!).

Интегральный оператор с вырожденным ядром, очевидно, является вырожденным, т.е. у него всегда есть нулевое собственное значение, причем кратность нулевого значения равна ∞ .

Для отыскания других собственных значений поступим следующим образом. Рассмотрим задачу на собственные значения и собственные функции для интегрального

оператора с вырожденным ядром:
	Λ y(x) = ∫b ∑n			a j (x) b j (s) y(s) ds .
			a j = 1
Обозначим ∫b	y(s) b j (s) ds = c j .	Домножим левую и правую части на bi (x) и
a
проинтегрируем от a до b:
	Λ ci = ∑	c j ∫b	a j (x)bi (x) dx, i = 1,2,...,n.

j= 1 $a !!#!!"

		kij
	c1
Обозначим C =		K = {kij }in, j = 1 и получим задачу на собственные значения и
Обозначим C =	%

	cn

собственные векторы		для матрицы K: K C =			Λ C .	Для отыскания собственных
значений	матрицы	К	можно, например,	решить		характеристическое уравнение
det(K − Λ	E) = 0 .
Если оператор		А:	h[a, b] → h[a, b] ,	т.е.	действует в вещественном линейном

пространстве h[a,b], он по определению может иметь только вещественные собственные значения. Тем не менее, при решении задач на семинарских занятиях могут находиться и комплексные собственные значения. В частности, комплексные корни может иметь записанное выше характеристическое уравнение. О чем же идет речь?

Дело в том, что мы можем рассматривать тот же оператор в пространстве непрерывных комплекснозначных функций hC[a,b], состоящем из комплекснозначных функций вещественной переменной x: y(x) = u(x) + i v(x) x [a,b], функции u(x), v(x)

– непрерывные на [a,b] вещественные функции. Умножение на комплексное число элементов этого пространства определяется обычным образом. В этом пространстве

можно ввести скалярное произведение:	( y1, y2 ) = ∫b	y1 (x) y2 (x) dx (здесь * - знак
	a

комплексного сопряжения). Опишите свойства этого скалярного произведения (они

отличаются от свойств скалярного произведения в вещественном случае, в частности, ( y1, y2 ) = ( y2 , y1 )* ) и проверьте, что это скалярное произведение порождает норму!

Если же оператор А имеет симметрическое вещественное непрерывное ядро, то

он имеет только вещественные собственные значения и при действии в пространстве hC[a,b].

Теорема. Пусть интегральный оператор с непрерывным симметрическим вещественным ядром K (x, s) действует в комплексном пространстве hC[a,b]. Тогда этот

оператор может иметь только вещественные собственные значения.

Доказательство. Пусть

Λ -

собственное

значение оператора А,

y(x) ≠ 0 -

соответствующая собственная

функция.

Тогда

Λ y(x) = ∫b K (x, s) y(s) ds .

Применим

операцию комплексного сопряжения к левой и правой части и получим:

Λ y (x) = ∫b K (x, s) y (s) ds .

Домножим первое равенство на y*(x),

второе на y(x) и

проинтегрируем от a до b.

Получим:

Λ ∫b

y(x)

2 dx = ∫b

y (x) ( ∫b K (x, s) y(s) ds ) dx ;

Λ ∫b

y(x)

2 dx = ∫b

y(x) ( ∫b K (x, s) y (s) ds ) dx .

После вычитания получаем

(Λ − Λ ) ∫b

y(x)

2 dx = 0 ,

$!#!"

≠

из чего следует Λ = Λ , т.е. Λ - вещественное число. Теорема доказана.

Вернемся к вещественному пространству h[a, b]

и рассмотрим случай, когда ядро

K (x, s) - вырожденное.

Примеры. Будем рассматривать [a, b] =

[0,π ] и пространство h[0,π ].

Как было показано в курсе математического анализа, в этом пространстве

существует ортогональный базис: ϕ

n (s) = sin ns ,

n=1,2,…

(чтобы

получить

ортонормированную систему, надо домножить каждую функцию на

2 ). Эта система

замкнутая: из того, что

непрерывная функция

y(s)

ортогональна всем

функциям

ϕ n (s) = sin ns , n=1,2,…., следует, что y(s)≡

∞

sin nx sin ns

1) Составим ядро: K (x, s) =

∑

на [0,π ]×[0,π ] . Тогда по признаку

n= 1

Вейерштрасса записанный ряд сходится равномерно, т.к. каждый член этого ряда

мажорируется	1			.	Из равномерной сходимости ряда следует,	что	функция	K(x,s)
		n 2
								K(x,s)
непрерывна	по			совокупности переменных. Очевидно,		что	ядро
cимметрическое.			Его		собственные функции – sinns, а характеристические числа –
λ n = n 2 , n=1,2,…				(если бы было другое характеристическое число, то соответствующая

ему собственная функция была бы ортогональна всем sinns, а такой функции нет, т.к. sinns образуют замкнутую систему). Из замкнутости системы sinns следует, что ядро K(x,s) определяет невырожденный интегральный оператор, а, следовательно, замкнутое.

						2			∞	sin nx sin ns
2)	Теперь рассмотрим ядро				K (x, s) =			∑n= 2			. Появляется собственное
							π			n2
значение	Λ 0 = 0 кратности,		равной 1.				Оператор А с таким ядром является
вырожденным, а его ядро невырожденное, но и незамкнутое.
	2		∞	sin 2nx sin 2ns
3). Рассмотрим K (x, s) =			∑n= 1						. Интегральный оператор с таким ядром
		π			(2n)2
имеет собственное значение			Λ 0	=	0 бесконечной кратности. Интегральный оператор

вырожденный, имеет бесконечномерное нуль-пространство, а его ядро невырожденное.

Соседние файлы в папке Лекции Яголы

#
06.05.2013113.96 Кб671-1.pdf
#
06.05.2013154.59 Кб561-10.pdf
#
06.05.2013152.91 Кб551-11.pdf
#
06.05.2013193.41 Кб601-2.pdf
#
06.05.2013134.39 Кб551-3.pdf
#
06.05.2013176.65 Кб551-4.pdf
#
06.05.2013129.01 Кб541-5.pdf
#
06.05.2013121.46 Кб551-6.pdf
#
06.05.2013115.81 Кб551-7.pdf
#
06.05.2013125.85 Кб581-8.pdf
#
06.05.2013109.17 Кб541-9.pdf