Лекции Яголы / 1-6

b

y(x) = λ ∫ K (x, s) y(s) ds + f (x) ≡ λ Ay + f .

a

Пусть ядро K (x, s) непрерывно по совокупности переменных,

симметрическое и

0; λ -

вещественное число

( λ ≠ 0 , в противном случае решение

находится

тривиально);

f (x) - заданная

непрерывная функция;

λ 1

≤

λ 2

≤ ... ≤

λ n

≤ ... -

b

f (x) + g(x) = λ ∫ K (x, s) ( f (s) + g(s)) ds + f (x) .

a

Сократив f(x), получим уравнение для g(x), операторная форма которого

g = λ

A(g +

f ) .

Решение этого уравнения, если оно есть, является истокопредставимым. Следовательно,

по теореме Гильберта-Шмидта, функция

g(x)

может быть разложена в равномерно и

абсолютно сходящийся ряд Фурье по собственным функциям ядра K (x, s) :

g(x) = ∑∞

g k ϕ k (x) .

k = 1

Вычисляя коэффициенты Фурье функций g и λ A(g +

f ) , получаем

λ (A(g + f ),ϕ

)

λ ( g +

)

ϕ

k

λ

(g

)

g

k

=

k

=

f , Aϕ

=

λ

g +

f ,

=

k

+ f

k

k = 1,2,...

k

λ

λ k

g k (λ

− λ ) =

λ

f k ,

k =

k

Получаем систему уравнений:

k

1,2,...

Возможны два случая:

λ

1) λ ≠ λ

k ,

k = 1,2,...

Тогда

g k

=

f k .

Тогда можно формально записать ряды Фурье

λ

k −

λ

∞

λ

∞

λ

для g(x) :

g(x) = ∑

f k ϕ k (x) ,

и

для

y(x):

y(x) =

f (x) + ∑

f k ϕ k (x) . Чтобы

λ k − λ

λ k − λ

k = 1

k = 1

построенный ряд Фурье на самом деле являлся

решением, достаточно доказать, что этот ряд

сходится равномерно на [a,b].

Заметим, что, поскольку λ k→∞

, то, начиная с некоторого номера,

λ

=

λ

1

≤ 5

λ

.

λ k − λ

λ k

1−

1

λ k

λ

k

Тогда для достаточно больших n и любого натурального p

n+

p

λ

n+ p

fk ϕ k

(x)

∑

fk

ϕ

k (x)

≤ 5

λ∑

.

λ k −

λ

λ k

n+ 1

n+ 1

∞

∫b

f (s) ϕ k (s) ds ϕ k (x)

y(x) = f (x) + λ ∑

a

.

λ

k − λ

k = 1

b

∞

ϕ k (x)ϕ

k (s)

y(x) = f (x) + λ

∫

∑

λ k −

λ

f (s) ds ,

a

k = 1

$!!#!!"

R( x,s,λ

)

a

y =

λ Ay +

f ,

(I −

λ

A) y =

f . Т.к.

рода

имеет

вид:

или

решение существует

и

единственно,

то

y =

(I −

λ

A)− 1 f =

f +

λ R

f ,

где

R

λ

- интегральный оператор с ядром

R(x, s, λ ) . В

λ

операторном

виде

полученный

результат

можно

записать

и так:

(I − λ A)− 1 = I + λ R .

λ

Определение. Ядро R(x, s, λ ) называется резольвентой.

Рассмотрим теперь случай:

2) λ

=

λ

ko . Пусть сначала λ ko – простое характеристическое число. Тогда при

k ≠ k0 : (λ

k

−

λ )gk =

λ

fk ; k = 1,2,...;k ≠

k0 , и g k

=

λ

f k

.

λ

k

−

λ

0 g ko

f ko ,

≠

При k=k0:

=

λ

λ

0 .

Если

fko

≠

0 ,

fko = ( f ,ϕ

ko ) ,

то

уравнение

не

имеет решения.

Следовательно,

и

исходное уравнение не имеет решений. Если же f ko

=

0 , то получаем бесконечно много

решений: g ko

= cko ,

cko - произвольная постоянная.

Если

же

λ ko

-

характеристическое

число

кратности

r , то

получаем

систему

уравнений:

0 g ko

λ

=

f ko

0 g ko+ 1 =

λ f ko+ 1

.

%

0 g ko+ r − 1

= λ f ko+ r − 1

Система имеет решение тогда и только тогда, когда все коэффициенты Фурье

f ko , f ko+ 1 ,%, f ko+

r − 1 равны нулю. Если хотя бы один коэффициент Фурье не равен нулю,

случае: y(x) =

f (x) +

∑∞

λ fk

ϕ k (x) + cko ϕ ko (x) + ... + cko+ r− 1ϕ ko+ r− 1 (x) ,

λ k − λ

k = 1

k ≠ ko

...

r− 1

k ≠ k0 +

где c ko ,...,

c ko +

r − 1

- произвольные константы. Бесконечный ряд, записанный в