Лекции Яголы / 2-2

2. Понятие вариации функционала.

Мы будем изучать функционалы, действующие из линейного нормированного пространства E в пространство вещественных чисел R1. В качестве пространства E мы будем рассматривать следующие пространства:

1) C [a, b] – пространство непрерывных на [a, b] функций, в котором определена норма

2) C(1)[a, b] – пространство функций, непрерывных вместе со своими первыми производными на [a, b]. Норма в этом пространстве определяется как

Можно ввести эквивалентную норму:

y C(1) [a,b] = max{ y C[a,b] , y' C(1) [a,b]}

(сходимость по обеим введенным нормам одна и та же - равномерная сходимость на отрезке [a, b] как функций, так и их первых производных). Мы будем пользоваться только первой нормой.

3) C(p)[a, b] – пространство функций, непрерывных вместе со своими p-ми производными включительно на [a, b], нормированное с помощью

Сходимость по норме этого пространства – равномерная сходимость на отрезке [a, b] с производными до p-го порядка включительно.

Аналогично можно дать определение непрерывности функционала в точке y0 E' ,

если функционал рассматривается только на множестве E' . Функционал называется непрерывным на всём пространстве E (множестве E' ), если он непрерывен в каждой точке E(E') .

Определение. Будем называть (замкнутым) шаром с центром в точке y0 и радиусом r > 0 множество точек:

Sr ( y0 ) = {y E : y − y0 ≤ r} .

Напомним, что точка y0 является точкой локального минимума (максимума) функционала V[y}, если найдется r > 0 такое, что V[y}≥ V[y0} (V[y}≤ V[y0}) для любого

y Sr ( y0 ) . В дальнейшем речь будет идти об отыскании только локальных минимумов

или максимумов (локальных экстремумов), причем слово «локальный» мы будем опускать.

Пусть y0 E - произвольная фиксированная точка, h E - произвольный элемент

производная называется вариацией функционала V в точке y0 и обозначается δ V ( y0 , h) .

V[ y0 + th] − V[ y0 ] = tδ V ( y0 , h) + O( t ) .

Для того, что был более понятен смысл введенного понятия, вспомним

называемого в этом случае слабой вариацией).

Заметим, что точно такое же определение дифференцируемости вводилось и в

курсе математического анализа для функций многих переменных V : R n → R1 . При этом доказывалось, что, если функция многих переменных дифференцируема в точке y0, то в этой точке существуют производные по всем направлениям. Обратное, вообще говоря, неверно. Точно такая же ситуация и в вариационном исчислении - если существует сильная вариация, то существует вариация (слабая вариация). Обратное неверно.

Мы будем использовать только данное выше определение вариации

неравенство Φ (t) ≥ Φ (0) . По условию теоремы Φ (t) дифференцируема в точке t=0, а, следовательно, Φ '(t)t= 0 = 0 . Т.е. δ V ( y0 , h) = 0 , что и требовалось доказать.

При тех же предположениях Теорема справедлива и в случае, когда функционал рассматривается на множестве E' E .