Добавил:

sergun Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Предмет:

Интегральные уравнения и вариационное исчисление

Файл:

Лекции Яголы / 2-4

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.05.2013

Размер:

110.33 Кб

Скачать

☆

	4. Задача на условный экстремум.
Рассмотрим задачу об отыскании экстремума функционала
		b
		V [y, z] = ∫ F(x, y, z, y′, z′) dx ,
где y = y(x),		a
где y = y(x),	z = z( x) , с граничными условиями
		y(a) = y0 ;	z( a) = z0 ;
		y(b) = y1;	z( b) = z1.
Кроме того,	предположим,	что функции	y = y(x),	z = z( x)	удовлетворяют уравнению
связи		Φ (x, y, z, y′, z′) = 0 .
		Φ (x, y, z, y′, z′) = 0 .
Поскольку Φ	зависит не	только от функций y =		y(x), z =	z( x) , а и от их первых

производных, такая связь называется неголономной.

Теорема (Необходимое условие экстремума для задачи с закрепленными
концами и неголомной связью).	Пусть: 1) y(x), z(x) осуществляют экстремум V [y, z] в
задаче с закрепленными концами	и неголономной связью; 2) F,Φ имеют непрерывные

частные производные до второго порядка включительно; 3) y(x), z(x) дважды непрерывно

дифференцируемы на [a,b], причем

z′ ≠

(для определенности будем считать,

что Φ z′ > 0 ).

Тогда

существует

дифференцируемая

функция λ

(x) ,

такая

что y(x), z(x)

удовлетворяют

системе

уравнений

Эйлера

для

функционала

∫ H (x, y, z, y′, z′) dx , где

H = F + λ (x)Φ

+ λ

−

λ Φ

) = 0;

y′

+ λ

−

λ Φ

z′

) = 0;

z′

Φ (x, y, z, y′, z′) = 0;

y(a) =

;

y( b) =

y ;

z(a) =

;

z( b) = z .

th2( x) ] ,

Доказательство.

Рассмотрим функционал V [y +

th1 (x), z +

где

h1 (x), h2( x) -

непрерывно дифференцируемые функции, удовлетворяющие граничным условиям:

(a)

= h1( b)

= 0;

h2 (a) = h2( b) = 0;

и посчитаем вариацию V и приравняем ее нулю:

V [y +

(x), z + th

(

x) ]

t= 0

= δ V ( y, z, h , h ) = 0.

Так

же,

как

предыдущем

параграфе,

после

интегрирования

по частям

(подстановки обращаются в нуль в силу граничных условий для h1

(x), h2(

) получаем:

δ V =

b (F h +

h′ +

F h

h′)dx

−

h dx

+ b F

−

h dx = 0.

∫

y′

z′

y′

∫

z′ 2

Если бы h1 (x), h2( x)

были

бы

независимыми, то мы получили бы систему

уравнений

Эйлера.

Однако

h1 (x), h2( x)

подчиняются

(по

крайней мере, для малых t)

уравнению связи

Φ [x, y + th1 , z + th2 , y′ + th1′, z′ + th2′] = 0 .

Получим уравнение, решая которое, мы сможем выразить h2 (x) через h1 (x) . Продифференцируем записанное выше равенство по t и положим t=0:

dΦ

или

t= 0

Φ y h1 + Φ y′h1′ + Φ z h2 + Φ z′h2′ = 0 .

Т.к. Φ z′ ≠ 0 , то

h′

= −

−

h −

y′

h′.

Φ z′

z′

Обозначим

= −

, b

= −

y′

тогда получим следующую задачу Коши

z′

для отыскания

h2 (x)

при условии, что h1

(x) задано:

h2′

= a2 h2 + (a1h1 + b1h1′);

(a) =

Уравнение,

которому

удовлетворяет

h2 (x) ,

является линейным дифференциальным

уравнением первого порядка. Общее решение этого уравнения хорошо известно из курса дифференциальных уравнений (например, может быть найдено методом вариации постоянной). Найдите сами (!!!) это общее решение и покажите, что решение задачи Коши имеет вид:

	x		′	x
h2 =	∫ (a1h1	+			dξ .
			b1h1) exp ∫ a2 dη
	a			ξ
Итак, мы выразили h2 (x) через	h1 (x) .	Подставляя это выражение во второй интеграл в

формуле для вариации, после простых преобразований получаем:

∫ Fz −

Fz′ dx∫ (a1h1 +

b1h1′) exp

∫ a2 dη

dξ =

∫(

a1h1 +

b1h1′) dξ

∫ Fz

−

Fz′

exp

∫ a2 dη

= b

(a h

b h′)γ

(x)dx =

b a γ

−

γ )

h dx,

∫

1 1

∫

где γ

(ξ ) =

∫

(Fz −

Fz′ ) exp

∫ a2 dη

dx.

Окончательно,

δ V =

∫ (Fy

−

Fy′

) + a1 γ −

(b1γ )

h1 (x) dx = 0.

По основной лемме вариационного исчисления:

−

γ )

= 0 .

y′

Поскольку

γ (x) =

∫

(F −

F ) exp

∫

dη

dξ

, то

dξ

z '

y '

a γ

−

γ )

= −

−

γ .

z '

Обозначим

λ (x) = −

γ (x) . Очевидно, что λ

(x) - непрерывная функция.

Φ z '

Заметим, что

−

(b γ ) =

λ Φ

−

(λ Φ

) ,

y '

или

−

+ λ Φ

−

(λ

) = 0 ,

или

+ λ Φ

−

λ Φ

) = 0 .

Мы получили первое из уравнений Эйлера из сформулированных в условиях теоремы. Перепишем второе уравнение таким образом:

(λ Φ

) =

(λ Φ

) +

−

z '

Рассмотрим это уравнение относительно

Φ z' . Тогда

λ Φ z ' =

∫ (Fz −

Fz ' ) exp

∫

z '

dη

dξ

является его решением. Осталось сравнить полученное выражение с выведенной ранее формулой для γ (x) = − λ Φ z ' . Тем самым, второе уравнение из системы уравнений Эйлера

тоже выполнено. Теорема доказана.

Рассмотрим теперь задачу с голономной связью. Требуется найти минимум функционала

V[ y, z] = ∫ F(x, y, z, y', z' )dx

при выполнении граничных условий

y(a) = y0 ; y(b) = y1; z(a) = z0 ; z(b) = z1;

и уравнения связи Φ (x, y, z) = 0 .

Граничные условия нельзя считать независимыми, поскольку

Φ (a, y0 , z0 ) = 0 ; Φ (b, y1, z1 ) = 0 .

Как и ранее, введем функцию H = F + λ (x)Φ и функционал

∫ H (x, y, z, z', y' ) dx .

В отличие от задачи с неголономной связью теперь Φ z ' ≡0. Поэтому предположим, что Φ z ≠ 0 . Система уравнений Эйлера в данном случае имеет вид:

	(F	+ λ Φ		) −		d		F	= 0;
						dx
	y		y					y′
						d
	(F	+ λ Φ	z	) −			F		= 0.

	z				dx			z′

Теорема (Необходимое условие экстремума для задачи с закрепленными
концами и голомной связью). Пусть: 1) функции									y(x) и z(x) реализуют экстремум в

поставленной выше задаче с голономной связью; 2) функция F непрерывна со своими частными производными до второго порядка включительно; 3) функция Φ непрерывна со своими частными производными, и Φ z ≠ 0 ; 4) функции y(x) и z(x) дважды непрерывно

дифференцируемы. Тогда существует дифференцируемая функция λ (x) такая, что y(x) и z(x) удовлетворяют системе уравнений, записанной выше.

Доказательство. Выражение для вариации функционала получено при

доказательстве предыдущей теоремы и имеет следующий вид:
δ V = ∫b [(Fy −	d	Fy′ )h1 +	(Fz −	d	Fz′ )h2 ]dx =	0 .
	dx			dx
a

Выразим теперь h2 через h1 из соотношения

Φ y h1 + Φ z h2 = 0,

полученного также, как и в предыдущей теореме. Отсюда легко находим

h		= −	Φ	y	h	,
	2
			Φ	1
				z

(используем условие Φ z ≠ 0 ). Подставляя h2 в выражение для вариации и применяя основную лемму вариационного исчисления, получаем уравнение

−

) − (F

−

)

= 0.

y′

z′

−

= −

z′

Полагая

, получаем первое

уравнение

из системы

уравнений Эйлера.

λ . Очевидно, что

Второе

уравнение

системы –

это

записанное выше

определение

λ= λ (x) - непрерывная функция. Теорема доказана.

Вкачестве простого примера рассмотрим задачу об отыскании так называемых геодезических линий. Пусть уравнение Φ (x, y, z) = 0 задаёт некоторую поверхность в

трёхмерном пространстве. Пусть на данной поверхности фиксированы две точки; поставим задачу отыскания геодезической линии, т.е. кривой минимальной длины, соединяющей эти точки. Если предположить, что уравнение кривой допускает введение параметризации с помощью параметра x, то данная задача сводится к минимизации функционала

V[ y, z] = ∫b	1+ ( y′)2 + (z′)2 dx.
a

В заключение параграфа рассмотрим так называемую изопериметрическую задачу. Пусть требуется экстремум функционала

V[ y] = ∫b F (x, y, y′)dx

при выполнении граничных условий:	a
при выполнении граничных условий:	y(a) = y0 ;
	y(a) = y0 ;
и дополнительного условия:	y(b) =	y1;
и дополнительного условия:
	b	y, y′)dx = l
I[ y] =	∫ G(x,	y, y′)dx = l

(функционал I[ y] имеет заданное значение).

Задача называется изопериметрической, т.к. если:

V[ y] =	b	ydx;
	∫
	a
I[ y] =	b	1+ ( y′)2 dx = l;
	∫

то требуется найти кривую, проходящую через заданные точки, площадь под которой максимальна.

Для того, чтобы применить полученные в данном параграфе результаты, введем новую функцию

z(x) =	x	G(x, y, y′)dx.
z(x) =	∫	G(x, y, y′)dx.
	a

Очевидно, что z(a) = 0, z(b) = l. Перепишем изопериметрическую задачу в следующем виде: найти экстремум функционала

V[ y, z] =	b	F (x, y, y′)dx
V[ y, z] =	∫	F (x, y, y′)dx
	a

при выполнении граничных условий

y(a) =

y0 , y(b) = y1 , z(a) = 0, z(b) =

l ;

и уравнения

неголономной связи

Φ (x, y, z, y′, z′) ≡− z′ + G(x, y, y′) = 0 .

Запишем систему уравнений Эйлера для функционала ∫b Hdx , где H =

F +

λ Φ

+ λ G

) −

− λ G

) = 0;

y′

dλ

= 0.

Обратите внимание на второе уравнение, из которого следует, что λ =

const .

Теорема (Необходимое условие экстремума для изопериметрической задачи с закрепленными концами). Пусть: 1) y(x) реализует экстремум функционала

V[ y] = ∫b F (x, y, y′)dx ; 2) функции F и G непрерывны вместе со своими производными

a		функция y(x) дважды непрерывно
до второго порядка включительно;	3)	функция y(x) дважды непрерывно
дифференцируема. Тогда существует λ =	const	такое, что y(x) удовлетворяет уравнению
Эйлера для функционала: ∫b Hdx , где H =	F + λ G .
a

Доказательство следует немедленно из теоремы о необходимом условии для задачи с закрепленными концами и неголономной связью.

Вернемся теперь к задаче об отыскании кривой заданной длины, ограничивающей

максимальную площадь. В	этом случае,	F=y,		V[ y] = ∫b	ydx , G = 1+ ( y′)2 ,
				a
H = y + λ 1+ ( y′)2 , λ = const .	Первый интеграл для уравнения Эйлера имеет вид:
	H − y′H y′ = C1 ,
или		y′
y +	λ 1+ ( y′)2 − y′λ	y′	=	C .
	1+	( y′)2		1
	1+	( y′)2

Приводя подобные члены, имеем

y − C1 = − λ

Введём вспомогательный параметр t : y′ = tg

y − C1 =

Найдем x(t):

1 .

1+ ( y′)2 t . Тогда

− λ cos t .

dx =	dy	=	λ	sin t	dt = λ					cos tdt	x − C2 = λ sin t .
dx =	y′	=			dt = λ					cos tdt	x − C2 = λ sin t .
	y′			tgt
Исключая параметр t, получим уравнение окружности
				(x − C		2		)2 +		( y − C )2	= λ 2 .
						2				1
Параметры C1 , C2 и λ можно найти из системы:
			(x − C				2		)2 +	( y − C )2	= λ 2 ;
							2			1
				y(a) =					y0 ;
				y(a) =					y0 ;
									y1;
				y(b) =					y1;
				b
				b		=			l.
				∫ Gdx		=			l.
				a

Соседние файлы в папке Лекции Яголы

#
06.05.2013125.85 Кб581-8.pdf
#
06.05.2013109.17 Кб541-9.pdf
#
06.05.201366.65 Кб582-1.pdf
#
06.05.201387.1 Кб552-2.pdf
#
06.05.2013148.64 Кб552-3.pdf
#
06.05.2013110.33 Кб552-4.pdf