Лекции Яголы / 1-9

Рассмотрим уравнение Вольтерра второго рода в операторной форме y =

λ

Ay + f ,

где оператор A имеет вид:

x

Ay = λ ∫ K (x, s) y(s) ds , x, s [a, b] .

.

a

Ядро K (x, s)

-

непрерывно по совокупности переменных на своей треугольной

области определения ∆

= {x, s : a ≤ s ≤

x ≤ b} и не равно нулю тождественно.

x

Докажите: 1) Если y(s)

- непрерывная на [a,b] функция, то z(x) = ∫ K (x, s) y(s) ds -

непрерывная на [a,b] функция,

a

т.е. можно рассматривать оператор A как действующий в

пространствах C[a, b] →

C[a, b] или

h[a, b] →

h[a, b] .

2) Интегральный оператор Вольтерра является вполне непрерывным при действии:

h[a, b] →

C[a, b],

h[a, b] →

h[a, b] .

Покажем, что интегральное уравнение Вольтерра 2 рода можно решать для любого

λ методом последовательных приближений:

yn+ 1 = λ Ayn + f , y0 C[a, b],

f (x) C[a, b] .

Как и в предыдущем параграфе определим оператор D:

C[a, b] →

C[a, b]

следующим образом: для любого y

C[a,b] Dy≡λ Ay+f и покажем, что оператор D (вообще

говоря, не сжимающий) обладает тем свойством, что некоторая его степень -

оператор

D k - сжимающий (натуральное число k зависит от λ , но не зависит от

f (!!!)).

что Dk -

Теорема.

Для

любого

λ

существует натуральноe

число

k

такое,

сжимающий оператор.

y1 (x)

y2 (x) . Определим

Доказательство.

Возьмем две непрерывные функции

и

z j = D y j

, j = 1,2.

z1 (x) −

z2 (x)

=

Dy1 −

Dy2

=

λ

Ay1 −

Ay2

.

Обозначим M =

max

K(x, s)

. Имеет место

неравенство

x,s ∆

x

Ay1 − Ay2

=

∫ K (x, s) ( y1 (s) − y2 (s)) ds

≤ M (x − a)

y1 − y2

C[a,b] .

a

Отсюда

и

Ay1 − Ay2

C[a,b] ≤ M (b − a)

y1 − y2

C[a,b]

Далее

Dy1 − Dy2

C[a,b] ≤

λ

M (b − a)

y1 − y2

C[ a,b] .

| D2 y − D2 y

|≤

λ 2

x K (x, s) ( Ay − Ay

) ds

≤

λ

2 M 2

(x − a)2

y − y

≤

λ

2

M 2

(b − a)2

y − y

1

2

∫

1

2

1

2

C[a,b]

1

2

C

a

и

2!

2!

D2 y − D2 y

≤

λ

2 M 2

(b − a)2

y − y

1

2

1

2

C[a,b

]

C[a,b]

2!

Dn y − Dn y

≤

λ

n M n

(b − a)n

y − y

.

1

2

C[a,b]

n!

1

2

C[ a,b]

$!!#!!"

(

qn )

Определим qn =

λ

n

M n

(b − a)n .

Для любого λ при n →

∞

qn → 0 . Следовательно,

при больших n

qn

<

n!

выберем минимальное натуральное n , при котором

1. В качестве k

λ

n

M n

(b − a)

n

<

1. Очевидно, что D

k

- сжимающий оператор. Теорема доказана.

n!

Теперь мы можем применить теорему о неподвижной точке, доказанную в конце

параграфа 7 и получить следствия.

Следствие 1.

Для

λ однородное уравнение имеет только тривиальное решение.

Следствие 2. Оператор Вольтерра не имеет характеристических чисел (и собственных

значений, если K (x, s) ≠

0 тождественно).

Таким

образом,

оператор

Вольтерра является примером вполне непрерывного

Метод последовательных приближений:

для любого начального приближения y0 :

y0 C[a,b], yn+ 1 = λ ∫x K (x, s) yn (s) ds +

f (x),

n =

0,1,2,..., или yn+ 1 =

λ Ayn + f .

a

Если y0 = 0 , то получаем ряд Неймана

y =

f + λ

A f + λ 2 A2 f + ... +

λ n An f + ... .