33. Интегральный признак сходимости ряда с положительными членами.

Теорема 13.7. (теорема Коши-Макларена). Пусть функцияf(x) неотрицательна и не возрастает всюду на полупрямой x  m , гдеm – любой фиксированный номер. Тогда числовой ряд

(1)

сходится тогда и только тогда, когда существует предел при последовательности

(2)

Доказательство. Пусть k – любой номер, удовлетворяющий условиюk  m + 1, аx– любое значение аргумента из сегмента. Т.к. по условиюf(x) не возрастает на указанном сегменте, то для всех xиз указанного сегмента справедливы неравенства

(3)

Функция f(x) ограниченна и монотонна, следовательно интегрируется на сегменте . Более того, из (3) вытекает, что

или

(4)

Неравенства (4) установлены для любого номера k  m + 1. Запишем эти неравенства для значений , гдеn– любой номер, превосходящийm.

Складывая почленно записанные неравенства, получим

(5)

Договоримся обозначать символом S_nn-ю сумму ряда (1), равную

(6)

Учитывая (2) и (6), неравенства (5) можно переписать следующим образом

(7)

Неравенства (7) позволяют доказать теорему. Из формулы (2) очевидно, что последовательность является неубывающей. Следовательно, для сходимости этой последовательности необходима и достаточна ее ограниченность. Для сходимости ряда (1) необходима и достаточна ограниченность последовательности. Из неравенства (7) следует, что последовательностьограничена тогда и только тогда, когда ограничена последовательность, т.е. когда последовательностьсходится.

Теорема доказана.

Пример.Сходимость обобщенного гармонического ряда. Функцияубывает и положительна на полупрямойx  1, вопрос о сходимости ряда эквивалентен вопросу о сходимости последовательности, где

Из вида элементов a_n вытекает, что последовательностьрасходится прии сходится при, при чем в последнем случае.

33. Признак Лейбница сходимости числового ряда.

Признак Лейбница относится к так называемому знакочередующемусяряду. Ряд называетсязнакочередующимся, если члены этого ряда поочередно имеют то положительный, то отрицательный знаки

(1)

где все p_k  0.

Теорема 13.14 (признак Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда, взятые по модулю, образуют невозрастающую бесконечно малую последовательность, то этот ряд сходится.

Доказательство. Пусть дан ряд (1) и известно, что последовательностьявляется невозрастающей и бесконечно малой. Частичную сумму этого рядачетногопорядка можно записать в виде

(2)

Т.к. каждая скобка в (2) неотрицательна, то при возрастании nпоследовательностьне убывает. С другой стороны,можно переписать в виде

, (3)

откуда очевидно, что для любого номера nбудет. Таким образом, последовательность частичных сумм не убывает и ограничена сверху. В силуТеоремы 3.15(Теорема 3.15. Если неубывающая (невозрастающая) последовательность ограничена сверху (снизу), то она сходится.) эта последовательность сходится к некоторому числуS, т.е.. Из очевидного равенстваи из того, что, вытекает, что и последовательностьнечетныхчастичных суммсходится кS, т.е.. Таким образом, вся последовательностьсходится кS.

Теорема доказана.

Замечание.Из (2) следует, что последовательность четных частичных сумм сходится кS не убывая. Аналогично из (3) следует, что сходится к S не возрастая, т.е.

(4)

Т.к. из (4) вытекает и. Т.е.

(5)

Неравенство (5) широко используется для приближенных вычислений с помощью рядов.